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EXERCICE 1

Partie A

NotonsAl"évènement " la fleur provient de la serre A »,Bl"évènement " la fleur provient de la serre B » etF

l"évènement " la fleur donne un fruit ». Représentons la situation par un arbre de probabilités.

A B 0,55 0,45 F F F F 0,88 0,12 0,84 0,16 La probabilité demandée estP(F). D"après la formule des probabilités totales, P(F) =P(A)×PA(F) +P(B)×PB(F) =0,55×0,88+0,45×0,84=0,484+0,378 =0,862.

La proposition 1 est vraie.

La probabilité demandée estPF(A).

F(A) =P(A∩F)

P(F)=0,55×0,880,862=0,561arrondi à10-3.

La proposition 2 est fausse.

Partie B

1)Puisque237=250-13et263=250+13, les deux nombres237et263sont symétriques par rapport au nombre

250. Pour des raisons de symétrie,

P(237?X?263) =1-P(X?237) -P(X?263) =1-2P(X?237) =1-2×0,14=0,72.

2) a)On sait queYsuit la loi normale centrée réduite c"est-à-dire la loi normale de moyenne0et d"écart-type1.

b)X?237?X-250?-13?X-250 σ?-13σ?Y?-13σ. Les événementsX?237etY?-13σsont les mêmes et donc P Y?-13 =P(X?237) =0,14. c)La calculatrice fournit P Y?-13 =0,14?-13σ= -1,080...?σ=12,03...

Donc,σ=12arrondi à l"unité.

3) a)La suite(P(250-n?X?250+n))n?Nest croissante. La calculatrice fournit

La plus petite valeur de l"entiernpour laquelle la probabilité qu"une barquette soit conforme, est supérieure ou égale

à0,95, estn=24.

b)La suite(P(250?X?m))m?230est croissante. La calculatrice fournit P(230?X?284) =0,949... < 0,95etP(230?X?285) =0,950...?0,95. La plus petite valeur de l"entiermpour laquelleP(230?X?m)?0,95estm=285. http ://www.maths-france.fr 2 c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. EXERCICE 21)Pour tout réelx,f0(x) =0. DoncI(0) =0.

2) a) Représentation graphique.

123456

1 2 3 4-1-2-3

y=f 1(x) I(1)est l"aire, exprimée en unités d"aire, du domaine coloré en bleu. b)I(1) =? 1 0 (ex+1)dx= [ex+x]10=?e1+1?-e0=e.

I(1) =e=2,7arrondi au dixième.

3)Soitaun réel de[0,1].

I(a) =?

1 0 (aeax+a)dx= [eax+ax]10= (ea+a) -e0=ea+a-1.

La fonctionIest dérivable sur[0,1]et pour tout réelade[0,1],I?(a) =ea+1. La fonctionI?est strictement positive

sur[0,1]et donc la fonctionIest strictement croissante sur[0,1].

La fonctionIest continue et strictement croissante sur[0,1]. De plus,I(0) =0 < 2etI(1) =e > 2. D"après un

corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réela0de[0,1]et un seul tel queI(a0) =2.

La calculatrice fournitI(0,792) =1,999... < 2etI(0,793) =2,003... > 2. Donc,I(0,792)< I(a0)< I(0,793).

Puisque la fonctionIest strictement croissante sur[0,1], on en déduit que

0,792 < a

0< 0,793.

EXERCICE 3Partie A : Premier modèle - avec une suite1) a)Pour tout entier natureln, notonsunla masse, exprimée en grammes, de bactéries dans la cuve len-ème jour.

Puisqu"initialement, la cuve contient 1 kg ou encore1000g de bactéries, on a effectivementu0=1 000.

Soitn?0. La masse de bactéries l"annéen+1est obtenue en rajoutant à la masse de bactéries l"annéen, c"est-à-dire

u n, 0,2 fois cette masse puis en soustrayant 100 g. Donc u n+1=un+0,2un-100=1,2un-100. b)30kg sont encore30 000g. La calculatrice fournit les valeurs suivantes : nun

01 000

11 100

21 220

31 364

41 536,8

51 744,2...

61 993,0...

72 291,6...

82 649,9...

93 079,9...

103 595,9...

114 215,0...

124 958,1...

135 849,7...

146 919,6...

158 203,5...

169 744,2...

1711 593,...

1813 812,...

1916 474,...

2019 669,...

2123 503,...

2228 103,...

2333 624,...

Le jour no23 ou encore au bout de 23 jours, la masse de bactéries dépasse30 kg. c) Algorithme complété.

Variablesuetnsont des nombres

Traitementuprend la valeur1000

nprend la valeur0

Tant queu < 30 000faire

uprend la valeur1,2u-100 nprend la valeurn+1

Fin Tant que

SortieAffichern

2) a)Montrons par récurrence que pour tout entier natureln,un?1000.

http ://www.maths-france.fr 4 c?Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés. u0=1000et en particulieru0?1000. L"inégalité est vraie quandn=0. Soitn?0. Supposons queun?1000. Alors1,2un-100?1,2×1000-100ou encoreun+1?1100et en particulier,un+1?1000. On a montré par récurrence que pour tout entier natureln,un?1000. b)Soitnun entier naturel. u n+1-un=1,2un-100-un=0,2un-100. Puisqueun?1000, on en déduit queun+1-un?0,2×1000-100ou encoreun+1-un?100et en particulier u n+1-un?0. On a montré que pour tout entier natureln,un?un+1et donc la suite(un)n?Nest croissante.

3) a)Soitnun entier naturel.

v n+1=un+1-500=1,2un-100-500=1,2un-600=1,2(un-500) =1,2vn. Donc, la suite(vn)n?Nest une suite géométrique de raisonq=1,2.

b)La suite(vn)n?Nest une suite géométrique de raisonq=1,2et de premier termev0=u0-500=1000-500=500.

On en déduit que pour tout entier natureln,

v n=v0×qn=500×1,2n, puis que u n=vn+500=500×1,2n+500.

Pour tout entier natureln,un=500×1,2n+500.

c)Puisque1,2 > 1, on sait que limn→+∞1,2n= +∞et on en déduit que lim n→+∞un= +∞.

Partie B : second modèle - avec une fonction

1) a)f(0) =50

1+49e0=501+49=1.

b)Soittun réel positif. Puisque la fonction exponentielle est strictement positive surR,1+49e-0,2t> 1puis

1+49e-0,2t< 1puis50×11+49e-0,2t< 50×1et donc501+49e-0,2t< 50.

On a montré que pour tout réelt?0,f(t)< 50.

c)La fonctionfest dérivable sur[0,+∞[en tant qu"inverse d"une fonction dérivable sur[0,+∞[et ne s"annulant pas

sur[0,+∞[. De plus, pourt?0, f ?(t) =50×-?1+49e-0,2t?? La fonctionf?est strictement positive surRet donc la fonctionfest strictement croissante surR. d)limt→+∞e-0,2t=limX→-∞eX=0. Donc, limt→+∞f(t) =50

1+49×0=50.

2)La masse de bactéries est initialement de 1kg. Cette masse croît avec le temps, reste strictement inférieure à 50 kg

3)Soitt?0.

f(t)> 30?50

1+49e-0,2t> 30

1+49e-0,2t

50<130(par stricte décroissance de la fonctionx?→1xsur]0,+∞[)

?1+49e-0,2t<5

3?49e-0,2t<23?e-0,2t<2147

?-0,2t (par stricte croissance de la fonctionx?→ln(x)sur]0,+∞[) ?t >-1

0,2ln?2147?

?t > 5ln?1472? ?t > 21,4.... La masse de bactéries dépassera 30 kg au bout de 22 jours.

Partie C : un contrôle de qualité

Ici,n=200et on suppose quep=0,8. On note quen?30,np=160etn(1-p) =40et doncnp?5etn(1-p)?5.

Un intervalle de fluctuation au seuil95% est

p-1,96? p(1-p)⎷n,p+1,96? p(1-p)⎷n?

0,8-1,96⎷

0,8×0,2⎷200;0,8+1,96⎷

0,8×0,2⎷200?

= [0,744;0,856]

en arrondissant de manière à élargir un peu l"intervalle. Lafréquence observée estf=146

200=0,73.fn"appartient pas

à l"intervalle de fluctuation et donc l"affirmation de l"entreprise doit être remise en cause au risque de se tromper de

EXERCICE 4Partie A : quelques résultats1) a)9×3-26×1=27-26=1et donc le couple(3,1)est un couple solution.

b)Soit(d,m)un couple d"entiers relatifs.

9d-26m=1?9d-26m=9×3-26×1?9d-9×3=26m-26×1?9(d-3) =26(m-1).

c)Soit(d,m)un couple d"entiers relatifs. D"après b), si le couple(d,m)est solution de l"équation(E), alors l"entier

26divise l"entier9(d-3). Puisque les entiers9et26sont premiers entre eux (d"après la question 1)a) et le théorème

deBézout), le théorème deGausspermet d"affirmer que l"entier26divise l"entierd-3. Par suite, il existe un entier

relatifktel qued-3=26kou encored=26k+3. De même, l"entier9divise l"entierm-1et donc il existe un entier

relatifk?tel quem-1=9k?ou encorem=9k?+1. Réciproquement, soientketk?deux entiers relatifs puisd=26k+3etm=9k?+1.

9d-26m=1?9(d-3) =26(m-1)?9×26k=26×9k??k=k?.

On a montré que les couples(d,m)d"entiers relatifs solutions de l"équation(E)sont les couples de la forme

(26k+3,9k+1),k?Z.

2) a)Soientnetkdeux entiers relatifs tels quen=26k-1. Alors(-1)×n+k×26=1et le théorème deBézout

permet d"affirmer quenet26sont premiers entre eux. b)Soientdetkdeux entiers relatifs tels qued=26k+3.

9d-28=9×26k+27-28=26(9k) -1.

n=9kest un entier et donc, d"après la question précédente,9d-28et26sont premiers entre eux.

Partie B : cryptage et décryptage

1)A ES, on associeC1=?4

18? .AC1=?9 47 3?? 4 18? =?108 82?

Puisque108=4×26+4et82=3×26+4,?108

82?
≡?44? [26]et donc ES est codé en EE.

Finalement, le mot ESPION est codé en EELZWH.

2) a)Soienta,b,cetdquatre réels puisB=?a b

c d?

AB=?9 47 3??

a b c d? =?9a+4c 9b+4d

7a+3c 7b+3d?

et donc

AB=I2??9a+4c 9b+4d