الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشعبية
Nov 10 2017 Exercice N°2 : Soient les points A
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Corrigés des exercices
Ensembles et applications
N"hésitez pas à m"envoyer un mail si vous avez des questions. 11 Ensembles
Exercice 1. Echauffements I (?)
SoitEun ensemble. Que dire de deux sous-ensemblesAetBdeEtels queA[B= A\B?Solution de l"exercice 1.
Faire un dessin pour se convaincre que dans une telle situation,A=B. Montrons que c"est bien le cas. Pour ce faire, nous allons utiliser une technique très importante : la double inclusion. Le principe est d"utiliser l"équivalence suivante :A=Béquivaut àABetBA. On peut donc montrer le second pour en déduire le premier. Montrons queAB.Par définition de l"inclusion, nous devons donc montrer que :Pour touta2A;on a quea2B:
Soita2A. Par définition de l"union, an a alors quea2A[B. Or,A[B=A\B, donca2A\B. Par définition de l"intersection, on a alorsa2B.Conclusion :Pour touta2A, on a quea2B, doncAB.
Montrons queBA.L"énoncé est symétrique enAetB, etAB, donc BA. Conclusion :On a bien montré queABetBA, i.eA=B.Exercice 2. Echauffements II (?)
SoitEun ensemble et soientA,BetCtrois parties deEtelles queA[B=A[C etA\B=A\C. Montrer queB=C.Solution de l"exercice 2.
On procède à nouveau par double inclusion.1. vadim.lebovici@ens.fr 1 Montrons queBC.Soitb2B. On a alors queb2A[B. CommeA[B= A[C, on ab2A[C. Par définition de l"union, l y a alors deux possibilités :1er cas :b2C.on a ce qu"on voulait,b2C.
2nd cas :b2A.on a alorsb2A\B=A\Cet doncb2C. Dans tous les cas,
on a bienb2C.Conclusion :pour tousb2B, on ab2C, doncBC.
Montrons queCB.Le problème est symétrique enBetCetBC, donc CB.Conclusion.On a montré queBCetCB, doncB=C.
Exercice 3. Des parties (?)
SoientEetFdeux ensembles. Quelles relations d"inclusion y a-t-il entre :1.P(E[F)etP(E)[ P(F)?
2.P(E\F)etP(E)\ P(F)?
Solution de l"exercice 3.
1. Montrons queP(E)[ P(F) P(E[F).Pour montrer qu"une union est
incluse dans un ensemble, il suffit de montrer que chaque terme de l"union est inclus dans l"ensemble. Montrons queP(E) P(E[F).SoitA2 P(E), montrons queA2 P(E[F). Pour touta2A, on a quea2E, et donca2E[F, doncAE[F, i.e.A2 P(E[F). Ceci étant vrai pour tout élémentAdeP(E), on a bienP(E) P(E[F). Montrons queP(F) P(E[F).CommeEetFjouent des rôles symétriques et queP(E) P(E[F), on a égalementP(F) P(E[F). Conclusion :On a montré queP(E) P(E[F)etP(F) P(E[F), doncP(E)[ P(F) P(E[F):
Montrons qu"en général, on a pasP(E[F) P(E)[P(F).Pour cela, il faut que l"on exhibe un contre-exemple à cette proposition. PrenonsE=f0getF=f1g.On a alorsE[F=f0;1get donc :
P(E) =f;;f0gg;
P(F) =f;;f1gg;
P(E)[ P(F) =f;;f0g;f1gg;
P(E[F) =f;;f0g;f1g;f0;1gg;
ce qui montre bien que dans cet exempleP(E)[ P(F)6=P(E[F). 22.Montrons queP(E\F) =P(E)\ P(F).PourAun ensemble, on a que
AE\FéquivautAEetAF, par définition de l"intersection.2Autrement dit, on a équivalence entreA2 P(E\F)etA2 P(E)\ P(F), d"où le résultat.Exercice 4. Différence symétrique (???)
SoientAetBdeux parties d"un ensembleE. On appelledifférence symétrique deAetB, et on noteABl"ensemble défini par :
AB= (A[B)n(A\B):
1. Faire un dessin, puis calculerABpourA=f0;1;2;3getB=f2;3;4g.
2. Montrer queAB= (AnA\B)[(BnA\B).
3. Supposons queAB=A\B. Montrer queA=B=;.
4. SoitC2 P(E). Montrer queAB=ACsi, et seulement siB=C.
5. Résoudre l"équation d"inconnueX2 P(E),AX=;.
Solution de l"exercice 4.
1.De beaux dessins sont disponibles sur la page wikipédia de la différence symé-
trique. PourA=f0;1;2;3getB=f2;3;4g, on aAB=f0;1;4g:
2.Procédons par double-inclusion.
Montrons queAB(AnA\B)[(BnA\B).Soitx2AB. Par définition, x2A[B, doncx2Aoux2B. Supposons d"abord quex2A, l"autre cas étant symétrique. Par définition de la différence symétriquex62A\B, on a donc bien x2AnA\B. Par symétrie, six2B, on aurax2BnA\B. Conclusion :On a montré que pour toutx2AB, on ax2AnA\Boux2BnA\B, i.eAB(AnA\B)[(BnA\B).
Montrons que(AnA\B)[(BnA\B)AB.La preuve est similaire.3.SupposonsAB=A\B. Pour montrer queA=B=;, il nous suffit de
montrer queA=;, carAetBjouent des rôles symétriques. Montrons donc que A=;. Supposons par l"absurde qu"il existea2A. Deux cas sont alors possibles :1er cas :a2B.On aa2A\B=AB. Or, par définition de la différence
symétrique,a62A\B, une contradiction.2nd cas :a62B.On a alors quea62A\B. Puisquea2A, on a quea2A[B, et
donca2AB. Or,AB=A\B, donca2A\B, donca2B, une contradiction. Conclusion :Tous les cas mènent à une contradiction, c"est donc qu"il n"existe pasdea2A, et doncA=;.2. Si vous n"êtes pas convaincu, prouvez-le, en prenant des élémentsa2Aet en montrant
l"équivalence. 34.SiB=C, alors il est clair queAB=AC. Supposons maintenantAB=
AC, et montrons queB=C. A nouveau, nous allons procéder par double inclusion. Montrons queBC.Soitb2B. Il y a plusieurs possibilités :1. Sib2A, alors il est dansA\B, et ne peut donc pas être dansAB. Comme
AB=ACpar hypothèse,b62AC. Commeb2A, c"est qu"il doit être dansA\C, etb2C.2. Sib62A, alors il est dansA[BnA\B=AB=AC. Doncb2A[C,
maisb62A, doncb2C. Dans tous les cas,b2C. Ceci étant vrai pour tousb2B, on a bienBC. Montrons queCB.L"énonce est symétrique enBetC, etBC.Conclusion :B=C.
5.On a que
AA=A[AnA\A=AnA=;;
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