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ISET Jerba

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Département Génie Électrique

Cours d"algèbre2

Haj Dahmane DHAFER

hajdahmaned@yahoo.fr

19 février 2015

Chapitre I

Généralités sur les matrices

SommaireI Définitions et notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

II Opérations sur les matrices

4

II.1 Somme de deux matrices

4

II.2 Multiplication d"une matrice par un scalaire

9

II.3 Produit de deux matrices

13

III Transposée d"une matrice

25

IV Série d"exercices

28 Dans tout ce chapitre,netpsont des entiers naturels non nuls etKdésigne l"ensemble

Rdes réels ou l"ensembleCdes nombres complexes.

I Définitions et notations

Définition 1

Unematricededimension(n;p)est un tableau rectangulaire de nombres comportantn lignes etpcolonnes. Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice. Lorsquen=p, on dit que la matrice et unematrice carrée d"ordren.

Remarque

Une matrice sera représentée par une lettremajuscule,la même lettre en miniscule sera utilisée pour désigner les coefficients de cette matrice.

Exemple 1

SiAest une matrice denlignes etpcolonnes alors pour tout1i; jnon désigne par a ij(la même lettre en miniscule)l"élémen td ela iièmeligne etjièmecolonne deA.

Notations :I-S-E-T Jerba

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I Définitions et notations 2

1. L"ensem bledes matrices de dimens ion(n;p)à coefficient dansKest notéM(n;p)(K). 2. L"ensem bledes matrices carrées d"ord renest notéMn(K).

Exemple 2

1.

Soit M=0

B B@5 p2 13

2 1131

C CA XMest une matrice de 3 lignes et 2 colonnes à coefficients réels doncMest un

élément deM(3;2)(R)

XMest une matrice de 3 lignes et 2 colonnes alors on dit queMest une matrice dedimension(3;2). Xm12est l"élément de la1èreligne et2ièmecolonne deMdoncm12=p2. Xm21est l"élément de la2ièmeligne et1ièrecolonne deMalorsm21=13 Xm32est l"élément de la3ièmeligne et2ièmecolonne deMd"oùm32= 113. XMest une matrice de 3 lignes et de 2 colonnes doncM23n"existe pas. 2.

Soien tA= 1 + 2i100

0 26i!

etN=0 B

B@1 5 0

5 2 0

3 0 01

C CA XAest une matricecarrée d"ordre2 à coefficients complexes alorsA2M2(C):

Xa11=1 + 2i,a12= 100,a21= 0eta22= 26i.

XNest une matricecarrée d"ordre3.

3.

Soit B=

12 0 5

Best une matrice d"une seule ligne et 4 colonnes. On dit queBest une matrice ligne ou "vecteur ligne". Best dedimension(1;4)et ses coefficients sont réels doncB2M(1;4)(R). 4.

Soit C= 1

2 + 5i!

Cest une matrice de 2 lignes et 1 colonne=)C2M(2;1)(C). On dit queCest une matrice colonne ou "vecteur colonne".

Cest une matrice dedimension(2;1).

Remarques

Toute matriceAdenlignes etpcolonnes s"écritI-S-E-T Jerba http://www.isetjb.rnu.tnDhafer Haj Dahmane hajdahmaned@yahoo.fr

I Définitions et notations 3

A=0 B

BBBBBBBBBB@a

11a12 a1p

a

21a22 a2p..................

.........aij...... a n1an2 anp1 C

CCCCCCCCCCA

Pouri,jindices "génériques", on appelleaijle terme général deAet on note

A= (aij)16i6n16j6n

Le premier indice désigne, toujours, le numéro de la ligne et le second celui de la colonne. S"il y a un risque de confondre les numéros, on les sépare par un "," et on écritai;j au lieu deaij. On écrit, par exemplea3;12et non pasa312.

Définition 2

Deux matricesAetBsont égales si

(i)elles ont la même dimension(n;p) (ii)aij=bijpour tout1inet pour tout1jp:

On note dans ce casA=B:

Exemple 3

1.

Soien tA= 1 0 24p565

etB= a b c d e f! A=B,8 >>>>>>>>>:a= 1 b= 0 c= 24 d=p5 e= f=65 2.

Soien tM= 1 2

0 3! etB=0 B B@1 2 0 3 0 01 C CA. AetBn"ont pas la même dimension doncA6=B:I-S-E-T Jerba http://www.isetjb.rnu.tnDhafer Haj Dahmane hajdahmaned@yahoo.fr

II Opérations sur les matrices 4

II Opérations sur les matrices

II.1 Somme de deux matrices

Définition 3

SoientAetBdeux matricesde même dimension(n;p). On appelle matrice somme de AetB, et on noteA+B, la matriceCdeM(n;p)(K)qui vérifie c i;j=aij+bij;81inet81jp:

A= (aij)16i6n16j6p

B= (bij)16i6n16j6p9

>>;=)A+B= (aij+bij)16i6n16j6pExemple 4 1.

Soien tA= 13

25!
etB= 17 2 1 !

A+B= 1 + (1)3 + 7

2 + 25 + 1!

= 0 10 44!

2.M= 0 4p5 0

11 1512!

etN= 0 31 125

1 23 5!

M+N= 0 7p51 125

3 1 127!

3.E= 1 3

21!
etF= 5 1 0 32 0!
EetFn"ont pas la même dimension doncE+Fn"est pas définie (i.e la matrice sommeE+Fn"existe pas).

Attention :

L"addition de deux matrices n"est possible qu"à condition que les deux matrices appar- tiennent toutes deux au même ensemble. Sinon, la somme n"existe pas!I-S-E-T Jerba http://www.isetjb.rnu.tnDhafer Haj Dahmane hajdahmaned@yahoo.fr

II Opérations sur les matrices 5

Définition 4

On appelle matrice nulle deM(n;p)(K)l"élément deM(n;p)(K)dont tous les coefficients sont nuls.

Remarque

La matrice nulle sera représentée par 0 et on doit distinguer, à partir des expressions, entre

la matrice nulle et le nombre zéro.

Exemple 5

1.

La matrice n ullede M2(K)est0 = 0 0

0 0! 2.

La matrice n ullede M(2;3)(K)est0 = 0 0 0

0 0 0!

3.

La matrice n ullede M(n;p)(K)est0 =p colonnes

z}|{ 0 B B@00 001 C CA9 >;n lignes

Définition 5

SoitA2M(n;p)(K). On appelle matrice opposée deAla matriceA= (aij)16i6n16j6p

Exemple 6

SoitA= a b

c d! .A= ab cd!

Propriétés

SoientA,BetCtrois matrices deM(n;p)(K).

1.A+B2M(n;p)(K).

2.A+ (B+C) = (A+B) +C.

=)l"addition dans l"ensembleM(n;p)(K)est associative.

3.A+B=B+A.

=)l"addition dans l"ensembleM(n;p)(K)est commutative.

4.A+ (A) =A+A= 0:(ici0 =matrice nulle).

5.A+ 0 = 0 +A=A.

=)La matrice nulle est un élément neutre de l"addition dansM(n;p)(K). On démontre que0est l"unique élément neutre de l"addition dansMn(K)

Preuve

A,BetCsont trois matrices deM(n;p)(K)donc elles peuvent être représenter de la façonI-S-E-T Jerba

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II Opérations sur les matrices 6

suivante : A=0 B

BBBB@a

11a12::: a1p

a

21a22::: a2p............

a n1an2::: anp1 C

CCCCA; B=0

B

BBBB@b

11b12::: b1p

b

21b22::: b2p............

b n1bn2::: bnp1 C

CCCCAetC=0

B

BBBB@c

11c12::: c1p

c

21c22::: c2p............

c n1cn2::: cnp1 C CCCCA 1.

P ardéfinition même.

2. Soit M=A+(B+C)etN= (A+B)+C. D"après 1. on aM; N2M(n;p)(K)donc

MetNont la même dimension. De plus

A+ (B+C) =0

B

BBBB@a

11a12::: a1p

a

21a22::: a2p............

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