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Licence grade MIE 2eme annee Universite Paris-Dauphine Microeconomie : theorie de l'equilibre general Annee 2017-2018

Responsable du cours : MiquelOliu-Barton

Enseignants charge des travaux diriges :

Joac himJarreau

Diomides Mavroyiannis

Miquel Oliu-Barton

Morgan Patty

FEUILLES D'EXERCICES

Table des matieres

1 Preferences et fonctions d'utilite 2

2 Le consommateur4

3 Economies d'echange 6

4 Optimalite de Pareto 8

5 Economies avec production 9

6 Defaillances du marche : eets externes et biens publics 11

7 Annales d'examens 13

Travaux diriges L2 MIDO

Microeconomie

1 Preferences et fonctions d'utilite

1.1 Preferences rationnelles

Soit%une preference rationnelle surX(i.e. complete et transitive). Montrer que :

1.est irre

exive et transitive

2.est re

exive, transitive et symetrique 3. si xy%z, alorsxz

1.2 Representation des preferences

Soitu:X!Rune fonction d'utilite representant les preferences%surX, i.e. telle que u(x)u(y)()x%y;8x;y2X Montrer que pour toute fonctionf:R!Rstrictement croissante,furepresente aussi%. Que se passe-t-il lorsquefest croissante mais non strictement?

1.3 Preferences sur un ensemble ni

SoitXun ensemble ni, muni d'une preference rationnelles%. Montrer qu'il existe une fonction d'utiliteu:X!Rrepresentant les preferences.

1.4 Axiome faible des preferences revelees

SoitX=fx;y;zgun ensemble d'alternatives,A=ffx;yg;fx;y;zggun sous-ensemble de parties deXetCune fonction de choix denie surAtelle queC(fx;yg) =fxg. Montrer que siCsatisfait l'axiome faible des preferences revelees, alorsC(fx;y;zg) est egal afxg, oufzgoufx;zg.

Rappelons queCverie l'axiome faible des preferences revelees si, lorsquexs'est revele ^etre aussi bon que

y,yne peut pas se reveler ^etre strictement mieux quex. Autrement dit, il n'existe pasA;B2 Atels que x;y2A\B,x2C(A),y2C(B) etx =2C(B).

1.5 Continuite des preferences

Soit%une preference rationnelle et continue sur un ensemble d'alternativesXRLcontenant [x;z] (l'intervalle connectant les pointsxetz). Montrer que siy2Xest tel quex%y%zalors il existe unm2[x;z] tel queym.Microeconomie Universite Paris-Dauphine 2017{20182

1.6 Utilite et continuite des preferences

1. Mon trerque si u:X!Rest une fonction d'utilite continue representant les preferences% alors%est rationnelle et continue. 2. Une pr eferencecon tinuep eut-elle^ etrerepr esenteep arune fonction d'utilit edisc ontinue? 3. Mon trerque dans le cas o ul'ensem bledes alternativ esest R, la preference representee par la fonction d'utiliteu(x) =bxc(la partie entiere dex) n'est pas une preference continue.

1.7 Ordre lexicographique

L'ordre lexicographique surR2est tel que (x1;x2)%(y1;y2) six1> y1ou six1=y1etx2y2. 1.

Mon trerque %est une preference rationnelle.

2. Mon trerque %ne peut pas ^etre represente par une fonction d'utilite.

1.8 Formulation de Kreps

SoitPune relation binaire sur un ensemble d'alternativesX, intepretee comme \strictement prefere". Supposons quePsatisfait les proprietes suivantes : 1. ( Asymetrie). Il n'existe pas un couplex;y2Xtels quex P yety P x. 2. ( Transitivite Negative). Pour tout couplex;y2Xsatisfaisantx P y, pour toutz2Zon a soit x P z, ouz P y, ou les deux. Montrer que cette formalisation est equivalente a la denition classique de preference rationnelle.

1.9 Preferences additives, monotones et continues

SoitX=R2+un ensemble d'alternatives, et soit%une preference rationnelle veriant : ( Additivite). Si (x;y)%(x0;y0), alors (x+s;y+t)%(x0+s;y0+t) pour touts;t2X. ( Monotonie stricte). Sixx0etyy0, alors (x;y)%(x0;y0). Si, en plus,x > x0ouy > y0, alors (x;y)(x0;y0). ( Continuite). Sixn%ynpour toutnet (xn;yn)!(x;y), alorsx%y. 1. Mon trerque si %possede une representation lineaire (i.e.%est repesentee par une fonction d'utiliteu(x;y) =ax+byaveca;b >0) alors%satisfait les trois proprietes ci-dessus. 2. Mon trerque p ourtout paire de propri etes(parmi les troi sci-dessus) il existe une pr eference qui ne satisfait pas la troisieme propriete. 3. ( ) Montrer que si%est une preference satisfaisant les trois proprietes ci-dessus, alors elle admet une representation lineaire. 4. ( ) Caracteriser les preferences satisfaisant l'additivite, la stricte monotonie et la propriete

suivante : (x;y)%(x0;y0) =)(x;y)%(x;y0) pour tout >0.Microeconomie Universite Paris-Dauphine 2017{20183

Travaux diriges L2 MIDO

Microeconomie

2 Le consommateur

2.1 Fonction de choix du consommateur

Ecrire le probleme du consommateur pour un panier deLbiens, sous forme (X;A;C), ouXest l'ensemble des alternatives realisables,A P(X) l'ensemble des experiences, etCla fonction de choix, qui verieC(A)Apour toutA2 A. Transposer l'axiome faible des preferences revelees au cadre d'un consommateur deLbiens.

2.2 Fonction d'utilite Cobb-Douglas

Les preferences d'un consommateur sur des paniers de 2 biens sont representees par une fonction d'utiliteu:R2+!Rtelle queu(x;y) =xy1pour un certain 0< <1 xe. 1. D eterminerles pr oprietesde la fonction u: continuite (justier rapidement), dierentiabilite (surR2++), (strictement) monotone, (strictement) (quasi)-concave. 2. Repr esentergraph iquementles courb esd 'indierencedu consommateur. 3. D eterminerla demande du consommate urd(p;w), en fonction du prixp= (px;py) et d'un revenuw2R+, en calculant le cas echeant le taux marginal de substitutionTMSy!x. Analyser les proprietes de cette demande et l'exprimer en fonction d'une dotation initialee= (ex;ey)2 R

2+du consommateur.

4. Mon trerque la fon ctionsuiv anterepr esenteles m ^emespr eferences: u(x;y) =lnx+(1)lny. Refaire les calculs de la question 3 en utilisant cette specication.

2.3 Fonction d'utilite lineaire

M^emes questions que precedemment (sauf 4), avecu(x;y) =ax+youa >0.

2.4 Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante

M^emes questions que precedemment (sauf 4) avecu(x;y) = (ax+by)1 oua;b >0 et 06=1

2.5 Fonction d'utilite Cobb-Douglas a trois biens

Les preferences d'un consommateur sur les paniers de 3 biens sont representes par la fonction d'uti- lite suivanteu(x;y;z) =x12 y16 z13 . La dotation initial du consommateur este= (2;1;3). Determiner la fonction de demande du consommateur (apres avoir justie que c'est bien une fonction) en fonction du vecteur des prixp= (px;py;pz).Microeconomie Universite Paris-Dauphine 2017{20184

2.6 Fonction d'utilite Leontief

Dans une economie a 2 biens (xety), on considere un consommateur qui dispose d'une dotation initialee1= (1;2); sa fonction d'utilite estu:R2+!R:u(x;y) = min(3x;y): 1. Repr esentezgraphiqu ementquelques courb esd 'indierencedu consommateur. 2. A partir de la repr esentationgraphique, etudiezles propri etesde la fonction d'utilit eudu consommateur. 3. D eterminezla demande d uconsommateur e nfonction de sa dotation initiale e= (ex;ey) et du prixp= (px;py) pourpx>0 etpy>0. Une representation graphique est souhaitable. 4. M ^emequestion qu'en 3. p ourun prix p= (px;py) tel quepx= 0 etpy>0, c'est-a-dire determinez toutes les solutions du probleme d'optimisation du consommateur dans ce cas. Une representation graphique est souhaitable.

2.7 Exercice supplementaire : Unicite

On considere une economie avecLbiens . On rappelle qu'une fonctionu:RL+!Rest strictement quasi-concave si et seulement si pour toutz;z02RL+, on au(z+ (1)z0)>minfu(z);u(z0)gpour tout 0< <1. La fonction d'utiliteude l'agent est continue, dierentiable, croissante et strictement quasi-concave. La richesse de l'agent estR >0. Les prix sont strictement positifs,p2RL++. 1. Ecrire le programme de l'agen t,mon trerque le pr ogrammeadmet une solution et que cette solution sature la contrainte budgetaire de l'agent. 2.

Mon trerque cette solution est unique.

3. On supp osele pan ierde biens z= (z1;z2;:::;zL)2RL++verieTMSz2!z1(z)>p1p

2. Expliquer

pourquoi le panier ne peut pas ^etre solution du programme et comment l'agent veut modier ses consommations en bien 1 et 2, toutes choses egales par ailleurs.

2.8 Exercice supplementaire : Fonction d'utilite particuliere (dicile)

On considere la fonction d'utilite suivanteu(x;y) =x+py. Determiner la demande du consom-

mateurd(p;w) (Il est imperatif de tracer precisement les courbes d'indierences pour se donner une idee

des solutions (plusieurs cas a traiter)).Microeconomie Universite Paris-Dauphine 2017{20185

Travaux diriges L2 MIDO

Microeconomie

3 Economies d'echange

On considere une economie d'echange a 2 agents (1 et 2) et 2 biens (xety). Les dotations initiales des agents sont noteesei= (eix;eiy)2R2+et leurs fonctions d'utiliteui:R2+!R,i= 1;2.

3.1 Fonction d'utilite Cobb-Douglas

Soiente1= (1;1),e2= (1;2) les dotations initiales etu1(x;y) =x13 y23 ,u2(x;y) =x23 y13 les utilites. 1. V eriersi l' economiep ossedeun equilibreconcurren tiel. 2. Si oui, d eterminerles prixetles allocationscorrespondantes. 3. Repr esenterles di erentesquan titesdans une b o^ted'Edgew orth.

3.2 Fonction d'utilite de Leontief

M^emes questions que precedemment, avecu1(x;y) =u2(x;y) = min(x;y) ete1= (2;6); e2= (1;2).

3.3 Fonction d'utilite lineaire

On considere une economie avec 2 agents (1 et 2) et 2 biens (xety). Les fonctions d'utilite sont u

1(x;y) =x+yetu2(x;y) =x; les dotations initiales sonte1= (1;1) ete2= (1;1).

1. P eut-onappliquer le th eoremed'existence ?P ourquoi? 2. Dans la b o^ted'Edgew orth,dessiner pr ecisementles courb esd'indi erencepassan tpar les dotations initiales. 3. En raisonnan tdans la b o^ted'Edgew orth,d eterminerexplicitemen t,mais sans calculs, l' equilibre concurrentiel (prix et allocation d'equilibre).

3.4 Fonction d'utilite a elasticite de substitution constante

On considere une economie d'echange comprenant deux consommateurs (1 et 2) et deux biens (x ety). Les dotations initiales sonte1= (e1x;e1y)2R2+ete2= (e2x;e2y)2R2+. Les fonctions d'utilite des deux consommateurs sont donnees paru1(x;y) =u2(x;y) =xyx+4ypour tout (x;y)2R2+. 1. Ecrire la fonction d'utilit edes consommate ursde mani ere am ontrerqu'elle est a elasticitede substitution constante; indiquer la valeur des parametres. 2.

Repr esenterprecisementau moins 3 courbes d'indierence.Microeconomie Universite Paris-Dauphine 2017{20186

3.V erierpar le calcul que les courb esd'indi erenceson tstrictemen td ecroissanteset strictemen t

convexes. Que peut-on en deduire sur la fonction d'utilite des consommateurs? 4. P eut-ondire, sans faire aucun calcul, que cette economie possede un equilibre concurrentiel? 5. D eterminerla demande de c hacundes age ntsen fonction du prix p= (px;py), pourpx>0 et p y>0, et de sa dotation initiale, en donnant les etapes du calcul. 6. Ecrire les equationsd' equilibresur les marc hesdes biens en fonctions du prix ( px;py). Montrer que le prix (p;1) (on normalise du prix du bieny) est un prix d'equilibre si et seulement si p = 4(e1y+e2y)2(e1x+e2x)2. 7. P ourles dotations e1= (3;1) ete2= (5;1) determiner l'equilibre concurrentiel et representer precisementl'economie et l'equilibre dans la bo^te d'Edgeworth (bo^te, dotations initiales,

courbes d'indierence, contraintes budgetaires, allocations).Microeconomie Universite Paris-Dauphine 2017{20187

Travaux diriges L2 MIDO

Microeconomie

4 Optimalite de Pareto

On considere, dans tous les exercices ci-dessous, une economie d'echange a 2 agents (1 et 2) et 2

biens (xety). Les dotations initiales des agents sont noteesei= (eix;eiy)2R2+et leurs fonctions d'utilite

u i:R2+!Ri= 1;2. On notexila consommation de bien 1 de l'agentietyi, la consommation de bien 2 de l'agenti(i= 1;2). Une allocation est designee parz= [(x1;y1);(x2;y2)].

4.1 Fonction d'utilite Cobb-Douglas

Soientu1(x;y) =x13

y23 ,u2(x;y) =x23 y13 ete1= (1;1),e2= (1;2) etz= [(1;125 );(1;35 )], les fonctions d'utilite, les dotations initiales et une allocation. 1. D eterminerla courb edes con tratset la repr esenterdans une b o^ted' Edgeworth. 2. V erier,si v ousdisp osezdes donn eesn ecessaires,que les equilibresconcurren tiels eventuels sont Pareto-optimaux. 3. Le cas echeant,mon trerqu el'allo cationzcorrespond a un equilibre concurrentiel moyennant un transfert approprie de richesse. Determiner ce transfert.

4.2 Fonction d'utilite lineaire

Soiente1= (0;3),e2= (2;1) etu1(x1;y1) =x1+5y1etu2(x2;y2) = 5x2+y2, dotations et utilites. Determinez la courbe des contrats et representez-la dans une bo^te d'Edgeworth, dans laquelle vous indiquerez aussi les dotations initiales.

4.3 Decentralisation

Soiente1= (1;1) ete2= (1;1) etu1(x;y) =x13

y23 etu2(a;b) =x14 y34 , dotations et utilites. 1. D eterminerla courb edes con tratset la repr esenterdans la b o^ted'E dgeworth. 2. P ourdes raisons d' equite,l'Etat souhaiterait privil egierl'optim umde P aretoqui garan titune quantite egale de bienxaux deux consommateurs. De quel optimum s'agit-il? 3. P ourd ecentralisercet optim um,l'Etat a l ap ossibilited'eectuer un transfert dans les dotations

initiales en bienx. Determiner ce transfert et l'equilibre concurrentiel correspondant.Microeconomie Universite Paris-Dauphine 2017{20188

5 Economies avec production

5.1 Rendements

Soit la fonction de production Cobb-Douglasg:R2+!Rdenie parg(x;y) =xy, avec; >0. 1. D ecrirel'ensem blede pro duction,en f onctiondes param etres;. 2. Les rendemen tsson t-ilsd ecroissants?constan ts?croissan ts?(en fonction des p arametres) 3. Soit la fonction de pro duction a elasticitede substitution constan teg:R2+!Rdenie par g(x;y) = (ax+by)1 , <1. Montrer que les rendements sont constants.

5.2 Maximisation du prot

1. P ourdes fonctions de pro ductionlin eaires,d eterminergraphiquemen tet analytiquemen tles solutions du probleme de maximisation du prot en dessinant les courbes d'isoprot, dansR2. 2. Soit la fonction d epro ductionCobb-Douglas g:R+!Rdenie parg(x) =xou 0< <1. Determiner l'ore de l'entreprise et le prot associe en fonction des prix.

5.3 Equilibre avec un producteur

On considere une economie avec production, comprenant un consommateur, une entreprise et deux biens. Le consommateur a une dotation initialee= (ex;ey) = (10;0) et une fonction d'utilite u(x;y) =xyx+4y. L'entreprise produit une quantitey=g(x) du second bien a partir dexunites du premier. On normalise le prix du premier bienpxa 1 et on notepy=ple prix du second bien. 1. D enirl' \elasticitede substitution". Ecrire la fonction d'utilit edu consommateur de mani ere a montrer qu'elle est a elasticite de substitution constante. Indiquer la valeur des parametres. 2. D eterminerla fonction d edemande ( dx(p;);dy(p;)) du consommateur en fonction du prixp et du protde l'entreprise. 3. On supp oseque g(x) = 9x. Representer graphiquement l'ensemble de production et les droites d'isoprot de l'entreprise. Determiner, en fonction du prixp, l'ore (ou les ores) (x(p);y(p)) et le prot maximal(p) de l'entreprise (pour autant que ces quantites existent). 4. Calculer l' equilibre(ou les equilibres)concurren tiel(s) eventuel(s),lorsque g(x) = 9x. 5. Calculer l' equilibre(ou les equilibres)concurren tiel(s) eventuel(s),lorsque g(x) =ex1.

5.4 Equilibre avec deux producteurs

On considere une economie a deux consommateurs, deux biens de consommation, un facteur de production (le travail) et deux entreprises. On notexila consommation de bien 1 du consommateuri etyi, la consommation de bien 2 du consommateuri, (i= 1;2). La dotation initiale du consommateur

1 est d'une unite de travail; celle du consommateur 2, de 2 unites de travail. Leurs fonctions d'utiliteMicroeconomie Universite Paris-Dauphine 2017{20189

sontui(xi;yi) =px iyi,i= 1;2. L'entreprise 1 produit le premier bien de consommation a l'aide de travail, suivant la technologieq1=z1. L'entreprise 2 produit le second bien de consommation a l'aide de travail, suivant la technologieq2=12 z2(qkdesigne l'output de bienketzk, l'input de travail, k= 1;2). On suppose enn que le consommateur 1 possede les entreprises. 1. Ecrire les conditions q uedoit s atisfaireune all ocation( x1;y1;x2;y2;q1;z1;q2;z2) pour ^etre realisable dans cette economie. En deduire qu'une allocation (x1;y1;x2;y2) en biens de consom- mation est realisable si et seulement si,x1+x2+ 2(y1+y2) = 3. 2. Mon trerque l' economiep ossedeun equilibreconcurren tiel,en xan tle prix du tra vail a1 et en notantpkle prix du bien de consommationk,k= 1;2. Calculer l'utilite de chaque consommateur a l'equilibre. 3. Sans faire d ecalcul, p eut-onarmer que l' equilibreconcurren tielest P areto-optimal? 4. En utili santle p oint1, ecrirele programme d'optimisation so cialequi p ermetde d eduireles optima de Pareto. Determiner les allocations Pareto optimales interieures et montrer qu'une paire de niveaux d'utilites (v1;v2) pour les consommateurs est Pareto-optimale si et seulement siv1+v2=32 p2 ,v1;v20. Representer graphiquement l'ensemble des niveaux d'utilites realisables dans l'economie et les niveaux d'utilites de l'equilibre concurrentiel. Verier que l'equilibre est Pareto optimal.

5.5 Production sur deux periodes

Denir l'equilibre des economies suivantes :

1. On consid ereune economied' echangepur o utous l esp roduitsson tfabriqu es apartir du p etrole sur 2 periodes. Seul le petrole est negocie. Il y a deux menages et deux sites de dep^ot de petrole qui ont chacun une capacite de production sur l'ensemble des deux periodes de 1 tonne. Le premier site appartient au menageA, une quantite de petrole peut en ^etre extraite a chaque periode. Le deuxieme appartient aB, mais celui-ci ne peut extraire du petrole qu'a la seconde periode. Les menages ont la m^eme fonction d'utilite (strictement concave) et sont impatients. 2. Les individus son tdot esd'une unit ede capital h umainet d'une unit ede temps. Dans la premi ere periode, ils divisent leur temps entre l'accumulation de capital humain (les etude), le travail, et

le loisir. Dans la deuxieme, ils le divisent uniquement entre loisir et travail. L'entreprise produit

un bien de consommation, en utilisant le travail, et la contribution de chaque heure de travail est proportionnelle au capital humain du travailleur.

5.6 Production a deux vitesses

Imaginons une economie ou un seul bien est produit par deux types des programmeurs : des bons

programmeur et les programmeurs mediocres. Les premiers sont 10 fois plus productifs que les seconds.

Determiner une fonction de prot pour l'entreprise. Determiner l'equilibre d'une economie possedant

un programmeur de chaque type, tous les deux ayant des parts egales dans l'entreprise.Microeconomie Universite Paris-Dauphine 2017{201810

Travaux diriges L2 MIDO

Microeconomie

6 Defaillances du marche : eets externes et biens publics

6.1 Externalite

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

[PDF] déterminer l'expression d'une fonction affine

[PDF] déterminer l'ordre d'une réaction chimique

[PDF] déterminer la concentration massique en saccharose d'un soda

[PDF] déterminer le pka du couple acide ascorbique/ion ascorbate

[PDF] déterminer les coordonnées des points i j et k

[PDF] déterminer les points critiques d'une fonction

[PDF] deua 2017

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