[PDF] [PDF] Révision des équivalents et des développements limités - PAESTEL





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FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS. Limites usuelles Équivalents classiques pour les suites. Si un ??????? n?+?. 0 alors :.



Limites et équivalents

6.1.4 Limite au voisinage de l'infini. Définition 9. Soit f une fonction définie au voisinage de +? et soit l ? R. On dit que la fonction f admet pour.



Chapitre 10 - Équivalents La notion de fonctions équivalentes est un

De plus la notion a un intérêt en tant que telle : savoir qu'une fonction f est équivalente `a n donne n3 quand n tend vers l'infini cela donne en pratique une 



DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS ET ÉQUIVALENTS

L'équivalent d'un quotient est le quotient des équivalents. Attention : il est faux d'écrire II.3 Équivalents des fonctions polynômes en 0 et à l'infini.



CONVERSION DE TAUX

Laquelle des deux banques offre le meilleur rendement. Solution. La banque offre un taux trimestriel de 15 %. Le taux annuel équivalent (ou taux effectif) à ce 



SERIES NUMERIQUES

l'infini alors la série ? équivalents de restes ou de sommes partielles de séries : ... En déduire un équivalent de un quand n tend vers l'infini.



I´Equivalence II Négligeabilité

Ne jamais écrire une équivalence du type f(x) ? Un polynôme en x est équivalent en ±? `a son monôme de plus haut degré. ... En l'infini :.



LE POTENTIEL ÉLECTRIQUE

électrique autour de n'importe quel type d'objet chargé (infini ou non Wext + WFé + Wg = ?K Le travail extérieur est l'équivalent du travail fait par ...



1 La fonction Gamma : définition et ? (1)

d'équivalence avec une intégrale “de type Riemann” classique. En l'infini e. ?t tx?1 = o(e. ?t/2)



GELE2511 Chapitre 8 : Transformée en z

La transformée en z est l'équivalent dans le domaine discret de la que zéro et que la région de convergence s'étend `a l'infini ;.



[PDF] Limites et équivalents

Si f est monotone sur ]a b[ (croissante ou décroissante) alors f possède toujours une limite en a et b la limite pouvant être finie ou infinie Remarques : R 



[PDF] FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles lnx x ?????? x?+? 0 x lnx ?????? x?0+ 0 ln(x) x ?1 ???? x?1 1 ln(1+ x)



[PDF] Chapitre 10 - Équivalents La notion de fonctions équivalentes est un

De plus la notion a un intérêt en tant que telle : savoir qu'une fonction f est équivalente `a n donne n3 quand n tend vers l'infini cela donne en pratique une 



[PDF] developpements limités usuels

Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2



[PDF] Révision des équivalents et des développements limités - PAESTEL

Les deux thèmes abordés sont les équivalents et les développements limités avec des exercices d'application Ils sont précédés de rappels concernant les 



[PDF] I´Equivalence II Négligeabilité

I´Equivalence Définition : Soient fg deux fonctions définies sur I sauf peut-être en x0 et continues On dit que f est équivalente `a g au voisinage de x0 



[PDF] DL équivalents usuels limites à connaître

DL équivalents usuels limites à connaître Janvier 2012 ex =1+ x 1! + x2 2! + ··· + xn n! + xn?(x) = n ? k=0 xk k! + xn?(x) sin(x) = x ?



[PDF] DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS ET ÉQUIVALENTS

On cherchera l'équivalent de la fonction de transfert en 0 et à l'infini On utilisera donc la propriété que l'équivalent d'un quotient est le quotient des 



[PDF] Suites et équivalents

Une suite de nombre réels est une liste éventuellement infinie de réels u0u1u2u3 Autrement dit trouver un équivalent simple de la suite



[PDF] Analyse Asymptotique 1 : - Les Relations de comparaison —

13 jan 2018 · On peut prendre sans réfléchir des produits quotients puissances d'équivalents mais il faut prendre certaines précautions (voir ci-dessous!)

:
????x02R[f1;+1g??? ????? ??????[1;+1]?? ???? ?? ?????? ?? ???? x2]x0r;x0+r[nfx0g???? ?? ???????r >0;??x02R??? x2]1;A[???? ?? ???????A2R? ??x0=1? x2]A;+1[???? ?? ???????A2R? ??x0= +1? lim x!x

0h(x) =`???? ?? ??? ??`2R???`2C? ?

[8" >0;9 >0;8x2]x0r;x0[; x0 < x < x0) jh(x)`j< "]: x!x+

0h(x) =l????? ??? ???? ?????

??lim x!x

0h(x) =1:

?????? ??x0?? ?? ??? ???? ?????? ??x0? ????`2[1;+1]??`2C? ]x0r;x0+r[nfx0g? ?? ???? ???h???? ????l???????x???? ????x0? lim x!x

0h(x) =l??lim

x!x+

0h(x) =l;

8" >0;9 >0;8x2]x0r;x0+r[;0 x!x

0h(x) =l?

x!x+

0h(x) =l?

??????? ?????h?????? ???h(x) = 0??x6= 0??h(0) = 1? lim lim BY: C x lim ???? ?? ??? ??f??g???? ??????? ??x0? ?? ??????? ?? ???? ??? fx0g,8 :lim x!x0x6=x0f(x)g(x)= 1 (f(x0) =g(x0)??f??g???? ??????? ??x0?? ?? ?? ???? ??????? ??? ?????(wn)?????? ????n????? ????? ????? ??? ? lim u n+1vn,limn!+1u nv n= 1: lim BY: C f?????? ???R+???f(x) =xx+ 1? ???? ??????1??+1????f+11? ??? sinx0x? tanx0x?1cosx0x 22
ln(1 +x)0x? e x10xln(x)1x1? ????2R: (1 +x)10x: ??P(x) =adxd+ad+1xd+1++anxn????ad6= 0??an6= 0?(d;n)2N2??? f(x)f(x0)x0f0(x0)(xx0): ??fx0g?? ??limx!x0x6=x0f(x) =l(l2[1;+1]??l2C)?????limx!x0x6=x0g(x) =l BY: C x x ????fg?? ????fg ?? ?? ???? ??? ?? ????? ????f+g? f(x) =xx2??g(x) =x+x3? ?? ? ?????f0x?0x??0x2? ??fx0g? ??2R??n2N?????fnx0gn??jfjx0jgj? ln(1 +x)0x?? ????? ? ??fx0g;????? ??????? ???? ?'fx0'g? ?? ??????? ? ???????f(x) =1x+x2??g(x) =1x ?????f0g????x!ef(x)?? f(x)g(x)=xx+x2=11 +x!x!01????f0g: BY: C exp(f(x))exp(g(x))=ef(x)g(x)=e1x+x21x

1x+x21x

=x2x(x+x2)=11 +x!x!01 ??????? ? ???un+1vn?? ??limn!+1un= +1?????lnun+1lnvn? ?? ???? ? u ?? ???? ???? ??????? ????n????? ????? ? lnunlnvn=lnu nv n + ln(vn)ln(vn)=lnu nv nln(vn)+ 1: ??limn!+1lnu nv n = 0??limn!+1ln(vn) = +1? ???? ?limn!+1lnunlnvn= 1?? ????lnun+1lnvn? ??f(x) =sinxtanx(?x1)2 ??f(x) =sinx+ cosxtanx1x 2 ??f(x) =cosxpcos(2x)sin

2(x)??f(x) =?sin(2x)?sin(x)tanx

??f(x) =?2xln(?+x)x

3+ sin(x)cos(x)

??f(x) =(ln(cosx))2x(sinxtanx) ??a >0?f(x) =pxpa+pxapx BY: C ??a= 1?f(x) =1x1p1cos(x2 ??a=3 ?f(x) =sin(x)p3cos(x)2cos(x)1 y=xx36 +x5120 ?? ?? ?????y=xx36 +x5120 +x75040 ?xy 2 21
10 lim ???? ?? ??? ??f??g???? ??????? ??x0? ?? ??????? ?? ???? ??? f(x0) = 0: lim BY: C u ????n????? ????? ????? ??? ? ? lim u n=+1o(vn),limn!+1u nv n= 0: lim x!x0x6=x0"(x) = 0: ?? ? ???? ?limx!x0x6=x0o(1) = 0: x BY: C ??f1=x0o(g)?? ??f2=x0o(g)?????f1+f2=x0o(g)??? ???? ???? ??? ????p2N??n2N? ?? ? ?xn+p=x!0o(xn)??xno(xp) =x!0o(xn+p): ????? ??????? ?? ?? ?????? ??0?? ?? ??????? ??x(lnx)? ?????x ??? ?????? ?? ?????? ???6= 0?? ????? ??????? ?? ?? ?????? ?? ??????? ??xex? ?????ex??? ?????? ?? ??b??? ???? ?

8" >0;9 >0;b < x < b=) jf(x)j< "jg(x)j

8" >0;9 >0;b < x < b=) jf(x)g(x)j< "jg(x)j

??b= +1?

8" >0;9A >0;x > A=) jf(x)j< "jg(x)j

BY: C ??f??? ? ??????? ????C?a0;:::;an???? ??? ???? ????x????U? f(x) =a0+a1(xx0) ++an(xx0)n+o((xx0)n):() f(x0) =a0: o x!x0((xx0)n): a ?????U= ]x0;x0+"[???? ?? ???????" >0? ?? ??? ???f????? ?? ????? ??????U= [x0;x0+"[???? ?? ???????" >0? ?? ??? ???f????? ?? ????? ??????U= ]x0";x0+"[nfx0g???? ?? ???????" >0? ?? ??? ???f????? ?????U= ]x0";x0+"[???? ?? ???????" >0? ?? ??? ???f????? ?? ?????DL3(0)??sin??? ?sinx=xx36 +ox3? ??DL??? ??????? ????x BY: C ?????? ?? ??????? ????x6= 0?sinxx = 1x26 +ox2? ?? ?????? ????DL2(0) ?? ????]";"[nf0g?" >0? ?? ?? ????? ??? ??????? ??x= 0????sinxx ????? ??? ????? ??0??? ?? ?????? ???? ?? ??0?0?????? f(x0+h) =h!0hp(a0+a1h++amhm+o(hm))????a06= 0 (n=m+p): ????? ?f(x0+h)h!0a0hp????a06= 0?? sinx=x 1x26 +ox2 ?????f????? ??DLn(x0)????? ??DL??? ??????? ???????f????? ??DLn(x0)?? ????()????n1? ?????f????? ?? DL n1(x0)????? ??? f(x) =a0+a1(xx0) ++an1(xx0)n1+o (xx0)n1 x 0 ??x0 BY: C x 0 ??x0 ???? ?? ????f0(x0) =a1: ??????? ?? ??? ??x0=2 U?? ??f????? ??? ?????? ??x0? ?? ???? ?? ?????? ?? DL

0(x0)?x0?????;????? ???f(x) =a+o(1)? ?? ???? ???????

lim x!x0x6=x0e f(x) = limx!x0x6=x0f(x) = limx!x0x6=x0[a+o(1)] =a=ef(x0)? lim x!x0x6=x0e f(x)ef(x0)xx0= limx!x0x6=x0f(x)axx0= limx!x0x6=x0[b+o(1)] =b:

0(x0) =b?

f(0) = 1??f(x) =ex1x BY: C ????x2R?ex= 1 +x+x22 +ox!0x2? ?? ?? ??????? ????x6= 0?f(x) = 1 +x2 g(0) = 2??g(x) =ex1x ??x6= 0: x

0?x0??????

??DLn(x0)?x0?????? ????? ??? ?

8x2I; f(x) =nP

k=0f BY: C f(x) =a0+a1(xx0) ++an(xx0)n+o((xx0)n)? ?????? ??? ??????? ??DL?8k2[[0;n]]; ak=f(k)(x0)k!? sinxx!0xx36 x=nP k=0x kk!+o(xn) (DLn(0)??exp);cosx=nP k=0x

2k(2k)!+ox2n+1(DL2n+1(0)??ch);??x=nP

k=0x

2k+1(2k+1)!+ox2n+2(DL2n+2(0)??sh);ln(1 +x) =nP

k=1(1)k+1xkk +o(xn) (DLn(0)?? ?x7!ln(1 +x));????2R?DLn(0)?? ?x7!(1 +x)?(1 +x)= 1 +x+(1)2! =11

1+x=nP

BY: C ??? ???? ??? ????n > p?? ????n p????np? ?? ? ????np? (1 +x)p=pX k=0 p k x k? ?? ????? ??? ???? ???? ?? ???? ????? ?? ??????? ???DLn(0)??p1 +x?=12 ? ??1p1+x?= 12 ??p1 +x= 1 +12 x+nP k=2(1)k1135(2k3)246(2k)xk+o(xn)1p1+x= 1 +nP

4(P) =P:

BY: C o(xn)????(P;Q)2(Cn[X])2????? f(x) +g(x) =P(x) +Q(x) +o(xn): o(xn)????(P;Q)2(Cn[X])2????? f(x)g(x) =?????n[P(x)Q(x)] +o(xn): (Cn[X])2?? ??g(0) = 0?? ??g(V2)V1?????fg??? ???? ?????? ?? f(g(x)) =?????n[P(Q(x))] +o(xn): ????g(x) = sinx?? ?? ? ????sin(0) = 0: sinx=xx36 +ox3??exp(u) = 1 +u+u22 +u36 +ou3: ??????Q(x) =xx36 :??DL3(0)??exp(sinx)?? ??????? ?? ???? 3: exp(sinx) =?????3"

1 +Q(x) +Q(x)22

+Q(x)36 BY: C ? ???????3: exp(sinx) = 1 +x+12 x2+ox3: ?xx 2x 311

Q(x)11=6Q

2(x)1 Q 3(x)? ??cosx?????cosx= 1x22 +ox3:?? ???? ???? ?????? ? e cosx= exp 1x22 +ox3 =e1exp x22 +ox3 +ox3?g1??? ??? ??????? ???? ????? ??DL3(0)??exp(g1(x))??? ?? ??????? ???DL3(0) ??exp(u)?? ??g1(x):???? ? exp x22 +ox3 =?????3"

1 +Q(x) +Q(x)22

+Q(x)36 +ox3 = 1x22 +ox3: e cosx=eex22 BY: C f(x) =a0+a1x+a2x2++anxn+o(xn);????a06= 0?

1f(x)=1a

011 + a1a

0x++ana

0xn+o(xn):

?? ????Q(x) =a1a

0x++ana

???? ??DLn(0)??11+u:

11 +u=nX

k=0(1)kuk+o(un):

1f(x)=1a

0?????n"

nX k=0(1)kQ(x)k# +o(xn): ???????DL

3(0)??x=sinx?

f

1(x) = 1x26

+ox2

1=f1(x)?

f BY: C ? ?? ? ???? ??? ?????? ?? ?? ?????? ???? ? ??????? ??f1??? ?????? ??? DL

2(0)??11+u? ?

11x26 +o(x2)= 1 +x26 +ox2: xsinx=11x26 +o(x3)= 1 +x26 +ox3 ????1sin(x)=1x xsin(x)? ? ??? ?

1sinx=1x

+x6 +ox2: ?????cos(x) = 1x22 +o(x3)?

1cos(x)=11x22

+o(x3)= 1 +x22 +o(x3) ?????tan(x) =sin(x)cos(x)? tan(x) = xx36 +o(x3)

1 +x22

+o(x3) =x+12 16 x

3+o(x3)

????tan(x) =x+x33 BY: C ]x0r;x0]????? ?? ???????r >0?? ??f0????? ??DLn(x0)?x0?????? f

0(x) =a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n+o((xx0)n);

?????f????? ??DLn+1(x0)?x0?????? ????? ??? f(x) =f(x0)+a0(xx0)+a1(xx0)22 ++an(xx0)n+1n+ 1+o (xx0)n+1

11 +x=nX

k=0(1)kxk+o(xn) )ln(1 +x) = ln(1) +nX k=0(1)kxk+1k+ 1+oxn+1: ?? ???? ????? ??????? ??DL??0??arctan?? ??arcsin????? ? ? (arctan)

0(x) =11+x2??(arcsin)0(x) =1p1x2?arctan(x) =n1P

k=0(1)kx2k+12k+1+o(x2n)arcsin(x) =x+nP x BY: C ???? ??? ??DL? ???????3????? ??h????? ??DL??0? ???? ????? ?? ??????? ????? ??? ???? DL

5(0)??(sinx)3? ?? ???? ??????? ??DL2(0)??(h(x))3:??????? ??

sinx=xx36 +ox3 (sinx)3= xx36 +ox33 =x3 1x26 +ox23 ?????h(x) = 1x26 +ox2?? 1x26 +ox22 1x26 +ox2 1x26 +ox2 =?????2 1x26 2! +ox2= 1x23 +ox2: 1x26 +ox23 1x26 +ox22 1x26 +ox2 =?????2 1x23 1x26 +ox2 = 1x22 +ox2: 1x26 +ox23()=?????2 1x26 3! +ox2= 1x22 BY: C (sinx)3=x3 1x22 +ox2 =x3x52 +ox5: ?? ?? ??0? ???? ?????? ?? ? ???? ?(ex1)m=xm(h(x))m? ??? DL (ex1)m= (x+o(x))m=xm(1 +o(1))m: ?? ?? ? ???????0????(1 +o(1))m????? ?? ?? ? ???????0? (1 +o(1))m=?????0(1m) +o(1) = 1 +o(1)? (ex1)m=xm(1 +o(1)) =xm+o(xm):quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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