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DEUG MIAS premier niveau

Cours de mathématiques

année 2003/2004

Guillaume Legendre

legendre@math.uvsq.fr (version révisée du 24 janvier 2018) Ce document est mis à disposition selon les termes de la licenceCreative Commons " Attribution - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International »

Table des matières

1 Éléments de logique1

1.1 Assertions

1

1.1.1 Opérations sur les assertions

1

1.1.2 Tableaux de vérité

2

1.2 Quantificateurs

2

1.3 La démonstration en mathématiques

3

1.3.1 Démonstration directe

3

1.3.2 Démonstration par l"absurde

3

1.3.3 Démonstration par contraposée

3

1.3.4 Démonstration par récurrence

3

1.3.5 Le contre-exemple

4

I Algèbre5

2 Ensembles et relations7

2.1 Ensembles

7

2.1.1 Appartenance

7

2.1.2 Inclusion

7

2.1.3 Partie d"un ensemble. Ensemble des parties

8

2.1.4 Opérations sur les ensembles

9

2.1.5 Produit d"ensembles

10

2.2 Relations

11

2.2.1 Généralités

11

2.2.2 Relations d"équivalence

12

2.2.3 Relations d"ordre

13

2.3 Applications

14

2.3.1 Définitions

14

2.3.2 Surjection. Injection. Bijection

15

2.3.3 Restrictions et prolongements

16

2.3.4 Composition des applications

16

2.3.5 Images directes ou réciproques de parties par une application

17

2.3.6 Familles

17

2.4 Ensembles finis et infinis

18

2.4.1 Équipotence

18

2.4.2 Ensembles finis

18

2.4.3 Ensembles infinis

19

3 Espaces vectoriels21

3.1 Généralités

21

3.1.1 Loi de composition interne

21

3.1.2 Loi de composition externe

21

3.1.3 Structure de groupe

22
i

3.2 Structure d"espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Sous-espaces vectoriels

24

3.3.1 Intersection de sous-espaces vectoriels

24

3.3.2 Sous-espace engendré par une partie

25

3.3.3 Somme de sous-espaces vectoriels

25

3.4 Familles génératrices, familles libres et bases

26

3.5 Théorie de la dimension

26

3.5.1 Généralités

26

3.5.2 Rang d"une famille de vecteurs

29

4 Applications linéaires31

4.1 Généralités

31

4.2 Opérations sur les applications linéaires

32

4.3 Projecteurs et symétries

33

4.4 Familles de vecteurs et applications linéaires

33

4.5 Cas de la dimension finie

34

5 Matrices37

5.1 Calcul matriciel

37

5.1.1 Notion de matrice

37

5.1.2 Matrice représentative d"une application linéaire

38

5.1.3 L"espace vectoriel(Mn,p(K),+,). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

5.1.4 Multiplication des matrices

40

5.1.5 Matrices carrées

41

5.1.6 Matrices écrites par blocs

42

5.1.7 Rang d"une matrice

42

5.2 Changement de bases

43

6 Systèmes d"équations linéaires

45

6.1 Différentes interprétations d"un système d"équations linéaires

45

6.1.1 Interprétation géométrique

45

6.1.2 Interprétation matricielle

46

6.1.3 Interprétation en termes de combinaisons linéaires

46

6.1.4 Interprétation en termes d"une application linéaire

46

6.2 Méthode d"élimination de Gauss

47

6.2.1 Opérations élémentaires

48

6.2.2 Principe et mise en oeuvre de la méthode

49

6.2.3 Exemples

50

6.2.4 Autres applications de la méthode

52

II Analyse55

7 Nombres réels57

7.1 Rappels

57

7.2 Majorant, minorant, bornes supérieure et inférieure

58

7.3 Propriétés des nombres réels

58

7.3.1 Théorème d"Archimède

58

7.3.2 Partie entière d"un réel

59

7.3.3 Valeur absolue d"un réel

59

7.3.4 Densité deQdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

7.4 Intervalles

59

7.5 Droite numérique achevée

60
ii

8 Suites numériques61

8.1 Généralités

61

8.1.1 Définitions et propriétés

61

8.1.2 Opérations sur les suites

62

8.1.3 Suites extraites

62

8.1.4 Suites de Cauchy

62

8.1.5 Suites réelles monotones

63

8.2 Convergence d"une suite

63

8.2.1 Généralités

63

8.2.2 Suites réelles tendant vers l"infini

64

8.2.3 Suites adjacentes

64

8.2.4 Propriétés d"une suite réelle convergente

64

8.2.5 Propriétés d"ordre des suites réelles convergentes

65

8.2.6 Propriétés algébriques des suites convergentes

66

8.3 Existence de limites

69

8.4 Quelques suites particulières

72

8.4.1 Suite arithmétique

72

8.4.2 Suite géométrique

72

8.4.3 Suite arithmético-géométrique

73

8.4.4 Suite définie par récurrence

73

9 Fonctions d"une variable réelle

75

9.1 Généralités sur les fonctions

75

9.1.1 Opérations sur les fonctions

75

9.1.2 Relation d"ordre pour les fonctions réelles

75

9.1.3 Propriétés globales des fonctions

76

9.2 Limites

78

9.2.1 Notion de limite

78

9.2.2 Ordre et limite

81

9.2.3 Opérations algébriques sur les limites

81

9.2.4 Cas des fonctions monotones

83

9.2.5 Applications équivalentes au voisinage d"un point

84

9.3 Continuité

84

9.3.1 Définitions

84

9.3.2 Opérations algébriques sur les applications continues

86

9.3.3 Fonctions continues sur un intervalle

87

9.3.4 Continuité uniforme

88

9.3.5 Applications lipschitziennes

89

9.4 Fonctions hyperboliques

90

10 Dérivabilité91

10.1 Dérivées

91

10.1.1 Dérivabilité en un point

91

10.1.2 Propriétés algébriques des fonctions dérivables en un point

92

10.1.3 Application dérivée

93

10.1.4 Dérivées successives

93

10.2 Propriétés des fonctions dérivables

95

10.2.1 Extrema locaux d"une fonction réelle dérivable

95

10.2.2 Théorème de Rolle

95

10.2.3 Théorème des accroissements finis

96

10.2.4 Sens de variation d"une fonction dérivable

96

10.3 Formule de Taylor-Lagrange

97
iii iv

Chapitre 1

Éléments de logiqueNous rappelons ou introduisons dans ce chapitre préliminaire quelques éléments de logique et de vocabulaire

mathématique indispensables à la compréhension des démonstrations des chapitres suivants.

1.1 Assertions

Dans le cadre d"une théorie mathématique donnée, uneassertionest une phrase mathématique à laquelle on

peut attribuer une, et une seule,valeur booléenne, à savoirvrai(V en abrégé) oufaux(F en abrégé). Certaines

assertions sont déclarées vraiesa priori: ce sont lesaxiomes; sinon, la véracité d"une assertion doit résulter d"une

démonstration.

Les assertions démontrées sont appeléesthéorèmesoupropositionssuivant leur importance. Unlemmeest un

résultat préalable utile à une démonstration plus conséquente, tandis qu"uncorollaireest une assertion vraie qui

découle d"un résultat précédent.

1.1.1 Opérations sur les assertions

À une assertion, on peut associer sanégation, à deux assertions, leurdisjonctionou leurconjonction. Les valeurs

booléennes des ces assertions associées dépendent des valeurs des assertions de départ et sont données par les

définitions suivantes.

Définition 1.1

Lanégationd"une assertion(P)se note(non P). L"assertion(non P)est vraie si et seulement si(P) est fausse.

Définition 1.2

Étant données deux assertions(P)et(Q), on appelledisjonctionde ces deux assertions l"assertion (P ou Q)qui est vraie si et seulement si l"une au moins des assertions est vraie.

Définition 1.3

Étant données deux assertions(P)et(Q), on appelleconjonctionde ces deux assertions l"assertion (P et Q)qui est vraie si et seulement si les deux assertions sont simultanément vraies.

À ces trois opérations ouconnecteurs, on ajoute les opérations d"implicationet d"équivalence.

Définition 1.4

Étant données deux assertions(P)et(Q), on définit l"assertion "(P)implique(Q)», appeléeimplica-

tion

et notée(P)Q), de la manière suivante : l"assertion(P)Q)est vraie quand(P)est fausse ou lorsque(P)et

(Q)sont vraies.

On dit encore que"(P)est une condition suffisante pour(Q)»et que"(Q)est une condition nécessaire pour(P)».

L"assertion(P)est appelée l"hypothèseet(Q)laconséquence.

Définition 1.5

Étant données deux assertions(P)et(Q), on définit l"assertion "(P)équivaut à(Q)», appelée

équivalenceet notée(P,Q), de la manière suivante : l"assertion(P,Q)est vraie si(P)et(Q)sont toutes les

deux vraies ou fausses.

On dit encore que"(P)et(Q)sont équivalentes »ou que"(P)est une condition nécessaire et suffisante pour(Q)».

1

CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE

1.1.2 Tableaux de vérité

La définition des assertions précédentes est résumée dans lestableaux de véritéci-dessous.(P)(nonP)VF

FV(P)(Q)(PouQ)VVV

VFV FVV

FFF(P)(Q)(PetQ)VVV

VFF FVF FFF (P)(Q)(P)Q)VVV VFF FVV

FFV(P)(Q)(P,Q)VVV

VFF FVF

FFVLes opérations que nous venons d"introduire peuvent être répétées pour former des assertions dépendant

d"assertions initiales(P1),(P2),(P3), etc... Deux assertions ainsi construites sont ditessynonymessi elles ont le

même tableau de vérité.

Exemple.

Montrons que lorsque l"on a simultanément(P)Q)et(Q)P), on a(P,Q). On établit pour cela le tableau de vérité suivant(P)(Q)(P)Q)(Q)P)((P)Q)et(Q)P))(P,Q)VVVVVV

VFFVFF

FVVFFF

FFVVVV

Quelques synonymies classiques.Soient(P),(Q)et(R)trois propositions. On a alors -(non(PouQ))est équivalente à(nonPet nonQ), -(non(PetQ))est équivalente à(nonPou nonQ), -(P)Q)est équivalente à(nonQ)nonP), -(Pou(QetR))est équivalente à((PouQ)et(PouR)), -(Pet(QouR))est équivalente à((PetQ)ou(PetR)).

La preuve des ces affirmations est laissée en exercice au lecteur (il suffit d"écrire les tableaux de vérité).

1.2 Quantificateurs

Lesquantificateurssont des symboles utilisés pour écrire des énoncés. Unephrase quantifiéeest une assertion

mathématique contenant un ou des quantificateurs.

Le symbole9désigne lequantificateur existentiel. Ainsi,9xse lit" il existe au moins un élémentx»et9!xsignifie

" il existe un et un seul élément x ». Le symbole8désigne lequantificateur universelet8xsignifie" pour tout élément x ».

La lettre affectée par un quantificateur est muette et peut être remplacée par n"importe quelle autre lettre n"ayant

pas déjà une signification dans l"énoncé.

Exemple.

La notationx2Esignifie"xappartient àE». Soit par ailleursP(x)une assertion dépendant dex.

Alors(8x2E,P(x)),(8y2E,P(y)),

(9x2E,P(x)),(9y2E,P(y)). Lanégation d"une phrase quantifiéese définit comme suit : (non(8x2E,P(x))),(9x2E, nonP(x)), (non(9x2E,P(x))),(8x2E, nonP(x)). 2

1.3. LA DÉMONSTRATION EN MATHÉMATIQUES

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