Triangle rectangle et cercle circonscrit. Théorème de Pythagore et
Théorème 2 (du cercle circonscrit d'un triangle rectangle). Si le triangle. ABC est rectangle en A alors son cercle circonscrit est le cercle de diamètre [BC].
MODIFICATIONS DE PROGRAMME RENTRÉE 2016 – Niveau 6e
Cercle circonscrit à un triangle Théorème de Pythagore Distinction entre théorème et réciproque ... Théorème du triangle rectangle dans le cercle.
Calcul du rayon du cercle inscrit à un triangle rectangle
Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et Calculer l'aire du triangle rectangle ABC. ... D'après le théorème de Pythagore nous avons :.
FICHE DE REVISIONS N°4 : TRIANGLES RECTANGLES Théorème
Il s'agit de la contraposée du théorème de Pythagore et non de sa réciproque. ? Triangle rectangle et cercle circonscrit. Propriété : Si un triangle est
Outils de démonstration
Si la somme de deux angles aigus d'un triangle est de 90° alors ce triangle est un triangle rectangle . J'utilise la Réciproque du Théorème de Pythagore(
FICHE DE REVISIONS : TRIANGLES RECTANGLES Théorème de
Il s'agit de la contraposée du théorème de Pythagore et non de sa réciproque. Page 2. 3ème. ? Triangle rectangle et cercle circonscrit. Propriété :.
Modèle mathématique.
Le théorème de Pythagore : Dans le triangle ABC rectangle en B l'hypoténuse est [AC]
Triangle rectangle et cercle - Exercices - Correction 1
Le triangle EFG est inscrit dans un cercle ayant pour donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore
Les lunules dHippocrate
Soit le triangle ABC rectangle en B etC le cercle circonscrit à ABC (de diamètre [AC]). un demi-cercle. • Par le théorème de Pythagore nous savons que:.
CERCLE CIRCONSCRIT A UN TRIANGLE RECTANGLE
démontre en particulier les théorèmes de Thalès et Pythagore. I. Propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle. (Découverte par Thalès).
Triangle rectangle et cercle circonscrit Théorème de
Triangle rectangle et cercle circonscrit Théorème de Pythagore et réciproque 1 Triangle rectangle et cercle circonscrit Rappelons que le cercle circonscrit d'un triangle est le cercle passant par les ABC trois sommets B et AC du triangle Le théorème suivant précise où se trouve le centre de ce cercle Théorème 1 (du cercle
Collèges Rollinat et Lurçat Fiche n°1 : Le théorème de
démontre en particulier les théorèmes de Thalès et Pythagore I Propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle (Découverte par Thalès) Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse Conséquence : Si un triangle est rectangle alors le milieu de l’hypoténuse est
COURS 4EME PROPRIETES DU TRIANGLE RECTANGLE PAGE 1/3
Triangle rectangle et cercle Cercle circonscrit théorème de Pythagore et sa réciproque Caractériser le triangle rectangle : - par son inscription dans un demi-cercle - par la propriété de Pythagore et sa réciproque Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir de celles des deux autres
Triangles particuliers Théorème de Pythagore
Théorème 1 : Théorème de Pythagore Dans un triangle ABC rectangle en A le carré de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux autres côtés : BC2 =AB2 +AC2 Théorème 2 : Réciproque du théorème de Pythagore: Dans un triangle ABC si l’on a : BC2 = AB2 +AC2 alors le triangle ABC est rectangle en A PAUL MILAN 5 CRPE
Triangle rectangle et théorème de Pythagore - Mathsbook
Cercle circonscrit au triangle rectangle : Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l’hypoténuseetdoncpourdiamètrel’hypoténuse Réciproquement si l’un des côtés d’un triangle est le diamètre d’un cercle et que son troisième sommet est sur ce mêmecerclealorsletriangleestrectangle
Triangles rectangles : PYTHAGORE et TRIGONOMETRIE
Soit ABC un triangle rectangle tel que AB = 4 cm et AC = 5 cm Calcule BC Dans ABC rectangle en A d’après le théorème de Pythagore BC² =AB² + AC² BC² = 4² + 5² BC² = 16 + 25 BC² = 41 BC = ? ? 64 cm Utilisation de la calculatrice CASIO FX92 TI collège Pour calculer 6² + 8² je tape 6d + 8d V 6d + 8d =
Quelle est la différence entre un triangle rectangle et un cercle circonscrit?
- 2) Triangle rectangle et cercle circonscrit. ?Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle. ?Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
Comment savoir si un triangle est rectangle?
- SI un triangle est rectangle. ALORS Le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. Exemple SI un triangle ABC est rectangle en A, ALORS ABC est inscrit dans un (demi) cercle de diamètre [BC] (l’hypoténuse). Remarques : ?Le centre de ce demi-cercle est le point O, milieu de l’hypoténuse.
Pourquoi Pythagore a-t-il inventé le triangle rectangle?
- Pythagore dont on situe la vie entre 570 et 480 avant J.C. est un mathématicien et philosophe grec. Il est à l’origine du résultat suivant: Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.
Comment calculer le théorème d’un triangle rectangle?
- Ce théorème s’énonce ainsi : Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = BA² + AC² La réciproque de ce théorème est donc : Si BC² = BA² + AC² ,alors ABC est un triangle rectangle en A
Exercice 1 :
Soit ABC un triangle rectangle en C.
Nous appellerons a la longueur du coté [BC] , b la longueur du côté [AC] et c la longueur du coté [AB] . Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et soit r le rayon de ce cercle.1. Calculer l·MLUH GX PULMQJOH UHŃPMQJOH $%FB
2. Calculer les aires des triangles CIB , AIC et
BIA .
3. En déduire que ar + br + cr = ab , puis que
c b a ab r4. Applications numériques : ( unité : le cm )
a)Calculer le rayon du cercle inscrit du triangle rectangle dont les côtés mesures 3 , 4 et 5. b)Calculer le rayon du cercle inscrit au triangleEFG rectangle en E tel que EF = 5 et FG = 13.
Exercice 2:
Soit ABC un triangle rectangle en C.
Nous appellerons a la longueur du coté [BC] , b la longueur du côté [AC] et c la longueur du coté [AB] . Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et soit r le rayon de ce cercle.1. Montrer que BR = BT , puis que AS = AT.
2. Déterminer BR et AS.
THEME :
Calcul du rayon du cercle
inscrit dSun triangle rectangle3. En constatant que BA = BT + TA, en déduire que :
) c - b a ( 21 r ou 2
c - b a rFRUUHŃPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 1 :
1. Aire du triangle ABC :
IH PULMQJOH $%F pPMQP UHŃPMQJOH HQ F O·MLUH GX PULMQJOH $%F HVP pJMOH j : 2 ab 2 b a 2AC BCu u
2. Calcul des aires des triangles CIB , AIC et
BIA :Aire du triangle CIB :
2 r a 2IR BCu
Aire du triangle AIC :
2 r b 2IS ACu
Aire du triangle BIA :
2 r c 2IT ABu
3. Calcul de r en fonction de a , b et c :
I·MLUH GX PULMQJOH $%F HVP pJMOH j OM VRPPH GHs aires des trois triangles CIB , AIC et BIA .BIAAICCIBABC AAAA
donc : 2 r c 2 r b 2 r a 2 ab 2 r c r b r a 2 abPuis en simplifiant par 2,
ab = a r + b r + cr ab = r ( a + b + c ) c b a ab = r r = c b a ab4. Applications numériques :
Cas 1 : Rayon du cercle inscrit du triangle rectangle dont les côtés mesures 3 , 4 et 5.I·O\SRPpQXVH GH ŃH PULMQJOH UHŃPMQJOH HVP D GRQŃ Ń 13B 0MLQPHQMQP OH ŃORL[ GH M HP N HVP V\PpPULTXHB
Nous pouvons poser a = 3 et b = 4 ou a = 4 et b = 3. Le rayon r du cercle inscrit est donc égal à : r = 11212
5 4 3
4 3 u Cas 2 : Rayon du cercle inscrit du triangle EFG rectangle en E tel que EF = 5 et FG = 13. FMOŃXORQV PRXP G·MNRUG OM ORQJXHXU GX PURLVLqPH Ń{Pp BDans le triangle EFG rectangle en E
G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH QRXV MYRQV :
FG² = EF² + EG²
13² = 5² + EG²
169 = 25 + EG²
169 ² 25 = EG²
EG² = 144
EG = 144= 12 Le rayon r du cercle inscrit est donc égal à : r = 2 6
2 6 6 5
12 5 30
12 513 12 5
12 5u u
u u uRemarque :
GMQV GH QRPNUHXVHV IRUPXOHV PMPOpPMPLTXHV ŃRQŃHUQMQP OH PULMQJOH RQ XPLOLVH XQH GRQQpH V·MSSHOMQP OH
demi-périmètre. IH SpULPqPUH G·XQ PULMQJOH TXHOŃRQTXH GRQP OHV Ń{PpV PHVXUHQP M N HP Ń HVP pJMO j : a + b + c Le demi-périmètre p est alors égal à p = 2 c b aGMQV OH ŃMV G·XQ PULMQJOH UHŃPMQJOH QRXV YHQRQV GH GpPRQPUHU TXH OH UM\RQ GX ŃHUŃOH LQVŃULP HVP j JMO j :
c b a ab r Nous avons également MYHŃ 6 O·MLUH GX PULMQJOH HP S le demi périmètre ) r = p S 2 c b a 2 b a r = p SFRUUHŃPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 2 :
1. Montrer que BR = BT , puis que AS = AT :
Soit C un cercle et soit M un point extérieur à ce cercle. Si (MA) et (MB) sont les tangentes issues de M à ce cercle enA et B, alors MA = MB
( Cf. Thème : Tangente à un cercle ) Sans utiliser ce résultat, nous pouvons faire une démonstration rapide en utilisant le théorème dePythagore.
Dans le triangle BRI rectangle en R ,
G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJore, nous avons :
BI² = BR² + RI²
BI² - RI² = BR²
BR² = BI² - r² (1)
Dans le triangle BTI rectangle en R ,
G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH QRXV MYRQV :
BI² = BT² + TI²
BI² - TI² = BT²
BT² = BI² - r² (2)
Des deux égalités (1) et (2), nous en déduisons :BR² = BT²
Et comme BR et BT sont des nombres positifs ( longueurs de cotés de triangle ), nous avons :BR = BT
Une démonstration identique permet de démontrer que AS = AT et même que CR = CS ( égalité déjà
connue car CR = CS = r ).2. Calcul de BR et AS :
Le quadrilatère CSIR est un carré ( 3 angles droits et deux côtés consécutifs de même longueur )
Donc RC = r.
R est un point du segment [BC], donc BC = BR + RC
Donc a = BR + r
Et par suite BR = a - r
S est un point du segment [AC], donc AC = AS + SC
Donc b = AS + r
Et par suite AS = b - r
3. Calcul du rayon du cercle inscrit au triangle :
Nous avons :
BA = BT + TA
Or BR = BT et AS = AT
Donc BA = BT + TA
Donc : c = ( a ² r ) + ( b ² r )
c = a ² r + b - r c = a + b ² 2r2r = a + b ² c
Et par suite
) c - b a ( 21 r ou 2
c - b a r9pULILŃMPLRQ SRXU OHV GHX[ ŃMV QXPpULTXHV pPXGLpV GMQV O·H[HUŃLŃH 1
Cas 1 :
r = 1 2 2 25 - 4 3
Cas 2 :
r = 2 2 4 213 - 12 5
Remarque :
Le rayon du cercle circonscrit à un triangle rectanglH HVP pJMO j OM PRLPLp GH OM ORQJXHXU GH O·O\SRPpQXVHB
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