[PDF] Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2002

View - Download Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2002

Previous PDF

Next PDF

Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2002

Exercice15 points

1.Il y a?3

10?=120 façons différentes d"extraire 3 boules parmi 10.

•On ap(X=100)=?

3 4?

120=4120=130;

•On ap(X=15)=?

1

6?×?24?

120=36120=310;

•On ap(X=4)=?

2

6?×?24?

120=60120=12;

•On ap(X=0)=?

3 6?

120=20120=16.

2.On aE(X)=90×1

30+5×310-6×12-10×16=-16<0. Le jeu est défavorable

au joueur.

3.•Avec une mise à 11?l"espérance mathématique passe à :

89×1

30+4×310-7×12-11×16=-76.

•Avec des gains diminués de 1?l"espérance est égale à :

89×1

30+4×310-6×12-10×16=-12.

La solution la plus rentable pour l"organisateur est donc demettre la mise à 11?.

Exercice25 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité 1.

P(z)=z3+?

14-i? 2? z2+?

74-14i?2?

z-74i?2. a.P(iy)=(iy)3+?14-i?

2?(iy)2+?74-14i?2?iy-74i?2=0??

-iy3-y2?14-i?

2?+?74-14i?2?iy-74i?2=0??

-iy3-14y2-(iy)2?

2+74iy+14?2y-74i?2=0. Il faut donc que?-14y2+14?

2y=0 -y3+y2?

2+74y-74?2=0??

?14y(?

2-y)=0

-y3-y2?

2+74y-74?2=0

y=0 ne peut être solution doncy=?

2 et en reportant dans la deuxième

équation on a :

-2?

2-2?2+74?2-74?2=0 qui est vraie.

b.En développant on aP(z)=z3+az2+bz-z2i?

2-azi?2-bi?2=z3+?14-i?2?z2+?74-14i?2?z-

74i?

2 d"où en identifiant les termes de même degré :???a-i?

2=14-i?2

b-ai?

2=74-14i?2

-bi?

2= -74i?2

La première équation donnea=14 et la troisièmeb=74.

On a doncP(z)=?z-i?

2??z2+14z+74?.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

c.D"après le résultat précédent :P(z)=0???z-i?

2??z2+14z+74?=0??z=i?2 ou

z

2+14z+74=0.

z (5i)

2=0??(z+7+5i)(z+7-5i)=0??z=-7-5i ouz=-7+5i.

L"équation a donc trois solutions : i?

2,-7-5i et-7+5i.

2. a. -1 -2 -3 -4 -51

234567891011

1-1-2-3-4-5-6-7-8

B A I O C I?N D b.La rotation est définie parz?-0=eiπ4(z-0).

DonczI?=eiπ

4×?2i=?2i?

?2 2+i? 2 2? =-1+i. c.On doit avoir--→AB=--→NC . Avec N(x+iy), on a donc :?0=1-x -10=y+1???0=1 y=11

L"affixe de N est 1+11i.

d.Le point D est le point N précédent.

Z=zA-zC

-4+4+8i+2i

4+16=10i20=12i.

On a donc|Z|=1

2et arg(Z)=π2+2kπ(k?Z).

Or arg(Z)=?--→BD ,--→CA?

2montre que les droites (AC) et (BD) sont per-

pendiculaires. c"est un losange

Nouvelle-Calédonie2novembre2002

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice25 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité On considère deux entiers naturels, non nuls,xetypremiers entre eux.

On poseS=x+yetP=xy.

1. a.•Par l"absurde : sixetx+yont un diviseur commun celui-ci-ci divisex

et leur différencex+y-xc"est-à-direxety. Ce n"est pas vrai, doncxetS sont premiers entre eux.

•Même démonstration pourxetS.

b.D"après la question précédente : puisquexetSsont premiers entre eux, il existe deux entiersuetvtels queux+vS=1. De même puisqueyetSsont premiers entre eux, il existe deux entiersu? etv?tels queu?y+v?S=1.

En faisant le produit membre à membre on a :

uu ?P+?uv?x+uv?x+vv?S?S=1, ce qui montre par réciproque du théo- rème de Bezout quePetSsont premiers entre eux. c.Sixetysont pairs ils ne sont pas premiers entre eux : impossible. Sixetysont impairs, leur sommeSest paire et leur produitPest impair. Sixetysont de parités différentes,Sest impaire etPest paire.

DoncSetPsont de parités différentes.

2.84=7×12=7×4×3=22×3×7.

Lesdiviseurspositifsde84sontdonc:1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14;21; 28; 42; 84.

3.Il suffit de trouver dans la liste deux diviseurs de 84 premiers entre eux.

Onen peut prendrex=2 puisqu"alorsyserait pair (42); pour lamême raison on ne peut pas prendreS=6 ouS=14 ouS=42. S=3, n"est paspossible car lesnombresseraient troppetits; idempourS=4, S=6; S=42 ne peut être obtenu qu"avec 28 et 14 dont le produit est tropgrand. S=21 ne peut provenir que de 7 et 14 dont le produit est 98; impossible. ResteS=7 qui peut provenir dex=3 ety=4 oux=4 ety=3, le produit étant égal àP=12. Ce sont les deux solutions. on a donc : a+b=84??dx+dy=84??d(x+y)=84??dS=84 et d"autre part : ab=d2??dx×dy=d3??xy=d??P=d, soit en reportant dans la première équation : PS=84 :onest doncramené àlaquestion précédente, doncxy=3×4=12= d, d"où les deux nombres sonta=12×3=36 etb=12×4=48. On a bien 36+48=84 et 36×48=12×3×12×4=12×12×12=123.

Problème10 points

PartieA

f(x)=(3+x)e-x 2.

1.•En plus l"infini :f(x)=3e-x

2+xe-x2.

On sait que lim

x→+∞e-x

2=0 et que limx→+∞xe-x2=0, donc par somme de limites :

lim x→+∞f(x)=0. Donc l"axe des abscisses est asymptote horizontale à la repré- sentation graphique def.

•En moins l"infini : on a :

lim x→-∞(3+x)=-∞et limx→-∞e-x

2=+∞, donc par produit de limites :

lim x→-∞f(x)=-∞.

Nouvelle-Calédonie3novembre2002

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.La fonctionfest dérivable surRcomme produit de fonctions dérivables sur

Ret sur cet intervalle :

f ?(x)=e-x

2 et e

-x

2étant supérieurs à zéro quel que soitx, le signe def?(x) est celui de

-(x+1). • -(x+1)>0?? -1>x, doncf?(x)>0 sur ]-∞;-1[; • -(x+1)<0?? -1• -(x+1)=0?? -1=x, doncf?(-1)=0. La fonction est donc croissante sur ]-∞;-1[ puis croissante sur ]-1 ;+∞[, f(-1)=2e-1

2≈3,297 étant le maximum defsurR.

3. -1 -2 -3 -4 -51 234

1 2 3 4-1-2-3-4-5

012345

0 1 2 3 4 5O

4.On poseu(x)=xetv?(x)=e-x

2, d"où :

u ?(x)=1 etv(x)=-2e-x 2. Toutes cesfonctions sontcontinues cardérivables;onpeutdoncintégrerpar parties : I =? -2xe-x

2?0-3+?

0 -32e-x2dx=? -2xe-x2-4e-x2?0-3=-4-6e32+4e32=

I=-2e3

2-4≈-12,96.

5. a.•Sur ]-3 ;-1[,fest croissante def(-3)=0 àf(-1)>3,2; la fonctionf

étant continue il existe donc un réel uniqueα?]-3 ;-1[ tel quef(α)=3. La calculatrice donnef(-2)≈0,368 etf(-1,5)≈0,7, donc-2<α<-3 2. •Sur ]-1 ; 2[,fest décroissante def(-1)≈3,2 àf(2)≈1,8; la fonction fétant continue il existe donc un réel uniqueβ?]-1 ; 2[ tel quef(β)=3. b. graphiquement: •sim<0, on voit que l"équationf(x)=ma une solution (inférieure à -3);

•si 0

2, on voit que l"équationf(x)=ma deux solutions;

•sim=2e-1

2, on voit que l"équationf(x)=ma une solution-1;

•sim>2e-1

2, on voit que l"équationf(x)=mn"a pas de solution.

Nouvelle-Calédonie4novembre2002

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieB

?(x)=3ex 2-3.

1.f(x)=3??(x+3)e-x

2=3??x+3=3ex2??x=3ex2-3??x=?(x).

2. a.??(x)=3×1

2ex2=32ex2>0 car produit de deux nombres supérieurs à zéro;

??(x)=3

2×12ex2=34×ex2>0.

αest défini parf(α)=3???(α)=α??3eα

2=α+3.

Donc??(α)=3eα

2

2=α+32.

b.Comme???(x)>0, la fonction??est croissante surR.

Comme??(x)>0, la fonction?est croissante surR.

3.Montrer que, pour toutxappartenant à I;

a.Sur [-2 ;α], la fonction?est croissante def(-2)= ?(-2)???(x)???(α)??3×1

2e-1???(x)?α+32.

Or 3

2e>12etα?-32?α+32?34.

Donc 1

2 b.On intègre l"encadrement précédent sur l"intervalle [x;α] (x?α) :?α x1 2dt?? x ??(t)dt?? x34dt. La premiere intégrale est bien entendue positive. On peut donc écrire : 02(x-α)??(α)-?(x)?34(x-α)

u0= -2 u n+1=?(un)

4. a.Initialisation:u0=-2?I. La relation est vraie au rang 0.

Hérédité: supposons que pourn?Non aitun?I. On a montré à la ques- tion 3. a. que siun?I, alors?(un)?I, doncun+1?I. La relationest vraie au rang 0et si elle est vraie au rangn?N,elle est vraie au rangn+1. On adonc montré par le principe de récurrence que pour toutn?N,un? I. b.En utilisant l"encadrement de la question 3. c. avecun?I, on obtient :

0??(α)-?(un)?3

4(α-un)??0?α-un+1?34(α-un).

Or-2<α<-3

2etu0=-2 entraînent que :

0?α-u0?1

2??34?

0 (1). Supposons qu"il existe un entierptel que 0?α-up??3 4? p En utilisant l"encadrement (1), on peut donc écrire :

0?α-up+1?3

4×?34?

p ou encore 0?α-up+1??34? p+1 On a donc montré par récurrence que pour tout natureln,

0?α-un??3

4? n

Nouvelle-Calédonie5novembre2002

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

c.Comme-1<34<1, on sait que limn→+∞? 34?
n =0, donc par application du théorème des "gendarmes», lim n→+∞α-un=0, soit limn→+∞un=α d.On a?3 4? p ?10-2?pln?34? ?-2ln10, par croissance de la fonction lo- garithme népérien, d"où puisque ln ?3 4? <0, p?-2ln10 ln?34? Or -2ln10 ln?34? ≈16,008. Il faut donc prendrep=17. La calculatrice donneu17≈ -1,75 au cen- tième près. L"encadrement-1,75Nouvelle-Calédonie6novembre2002

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] correction bac pratique informatique 2011

[PDF] correction bac pratique informatique 2010

[PDF] passer de bac pro a general

[PDF] passer de pro a general

[PDF] projet d'accompagnement bac pro assp exemple

[PDF] sequence animation bac pro assp

[PDF] e32 projet d'animation

[PDF] cours animation assp

[PDF] fiche projet d'animation bac pro assp

[PDF] exemple dossier e32 bac pro assp

[PDF] nutrition alimentation bac pro assp nathan technique

[PDF] stage seconde pro commerce

[PDF] période de formation en milieu professionnel bac pro

[PDF] période de stage en lycée professionnel

[PDF] durée stage bac pro commerce