[PDF] m. abdou salam diop professeur de mathematiques au lycee de koki

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1 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

M A T H E M A T I Q U E S TleL

™ SUPPORT DE COURS

& CAHIER

™ QUELQUES DEVOIRS

™ QUELQUES BACS

ANNEE SCOLAIRE : 2018/2019

EDITEUR

MONSIEUR ABDOU SALAM DIOP

PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI

abdousalamdiop13@gmail.com

2 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

ACADEMIE DE LOUGA ANNEE SCOLAIRE : 2018/2019 LYCEE DE KOKI CLASSE : TERMINALE L'1 et L2

PROFESSEUR: M. A S DIOP

™ DOMAINE 1 : ALGEBBRE

¾ Chapitre 0 : RAPPEL DES METHODES DE

FACTORISATION D'UN POLYNOME

¾ Chapitre I : COMPOSITION DE FONCTIONS

™ DOMAINE 2 : ANALYSE

¾ Chapitre II: COMPLEMENTS SUR LES LIMITES ET

CONTINUITE

¾ Chapitre III : DERIVATION

¾ Chapitre IV : ETUDE DE FONCTIONS

¾ Chapitre V : FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

¾ Chapitre VII : SUITES NUMERIQUES

¾ Chapitre VIII : FONCTION EXPONENTIELLE

¾ Chapitre X : PRIMITIVES ET INTEGRALES

™ DOMAINE 3 : ORGANISATION DES DONNEES

¾ Chapitre VI : DENOMBREMENT ET PROBABILITE

¾ Chapitre IX : STATISTIQUE A DEUX VARIABLES

PROGRAMME

3 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

SUPPORT DE

COURS ET

CAHIER

G·$33IHF$7

ION

4 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

Activité 1

1. Calculer l'image de 4 par la fonction ݂, on appelle cette image a. Calculer l'image de a par ݃.

2. Calculer l'image de 2 par la fonction ݃, on appelle cette image b. Calculer l'image de b par ݂.

Définition 1

Fig.1

Exemple 1

Chapitre I

COMPOSITION DE FONCTIONS

Thème : Equations Inéquations et système

T

Soient ࢌ et ࢍ deux fonctions définies respectivement sur les ensembles ࡰࢌ et ࡰࢍ. La fonction

obtenue en appliquant successivement ࢌ, puis ࢍ est la composée de ࢌ par ࢍ. Elle se note ࢍᣧࢌ

et se lit "ࢍ rond ࢌ».

5 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

Application 1

Correction :......................................................................................................................................

TAF1 (Travail A Faire N°1)

Remarque 1

Les composées de fonctions ݃ᣧ݂ et ݂ᣧ݃ sont en général différentes. Toute fonction non élémentaire peut être vue (ou décomposée) comme une composée de fonctions élémentaires. FIN

6 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

AUTRES EXEMPLES

Résumé des Définitions, Propriétés et Théorèmes NOTES

7 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

I. RAPPEL SUR LES LIMITES

1) Limites de références

Soit n un entier naturel non nul et k un nombre réel quelconque, nous admettons les résultats suivants. Limites en un réel a Limites en нь Limites en -ь

Pour tout aш0,

2) Opérations sur les limites

Soit l et O · deux nombres réels. Les limites en ࢞૙ peuvent être des limites en нь , en -ь, en ࢇ (ࢇ

un nombre réel quelconque), des limites à droite ou à gauche. Mais bien entendu toutes les limites

a) Limite d'une somme f + g

On a :

Et nous admettons les résultats du tableau suivant :

FI :_Forme_indéterminée

Exemple 1

௫య deux fonctions. Calculons la limite en ͳ de ݂ǡ݃ et ݂൅݃.

Chapitre II

COMPLEMENTS SUR LES LIMITES ET CONTINUITE

Thème : Equations Inéquations et système

T

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Application 1

௫ర deux fonctions. Calculer la limite en െλ de , ݃ et ݂൅݃. TAF 1 ξ௫ deux fonctions. Calculer la limite en ൅λ de ݂ǡ݃ et ݂൅݃. ௫ାଵ deux fonctions. Calculons la limite en 2 de ݂ , ݃ et ݂൅݃. b) Limite d'un produit ࢌൈࢍ

On a :

Et nous admettons les résultats du tableau suivant :

Exemple 2

௫మ deux fonctions. Calculons la limite en ൅λ de ݂ǡ݃ et ݂ൈ݃.

Application 2

TAF 2 ௫ deux fonctions. Calculer la limite en -ି de ݂, ݃ et ݂ൈ݃.

On a :

9 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

Et nous admettons les résultats du tableau suivant : ou l > 0 ou l < 0 ou l < 0 ou 0

݈Ԣ<0 ݈ᇱ> 0

݈ᇱ< 0 േλ -ା -ି -ା -ି 0

࢒ Ԣ 0 ൅λ െλ െλ ൅λ ܫܨ ൅λ െλ െλ ൅λ ܫܨ

Exemple 3

௫ିଷ , Calculons la limite en ͵ା de ݂.

Application 3

௫ିଷ , Calculer la limite en 2 de ݂. ௫ିଷ , Calculer la limite en ͵ି de ݂. TAF 3

10 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

d) Limite d'une composĠe ࢌל

Exemple 4

Application 4

TAF 4 ௫యାଵ , Calculons la limite en ൅λ de ݂.

Remarque 1

Lorsque le tableau ne donne pas de résultat général, on parle souvent de Forme Indéterminée (FI).

Les formes indéterminées sont de quatre types : ൅λെλ ou െλ൅λ ; ૙ൈേλ ; ૙

2. LeǀĠe d'une indĠtermination

Propriété 1

Exemple 5

En ൅λ ou en െλ, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.

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Application 5

bornes de ܦ aux bornes de ܦ TAF5 bornes de ܦ ௫ , déterminer son ensemble de définition ܦ aux bornes de ܦ

Propriété 2

Exemple 6

௫రାଷ௫యିଵ en െλ.

En ൅λ ou en െλ, une fonction rationnelle a la même limite que le quotient du terme de

plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur.

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Application 6

ଷ௫మାଷ௫ିଵ , calculer la limite de ݂ en െλ. ௫మିଵ଴଴ , calculer la limite de ݂ en ൅λ. TAF6 ଷ௫మିଵ , calculer la limite de ݂ en െλ et en ൅λ. b) La factorisation en vue de simplifier

Propriété 3

Exemple 7

௫ାଵ , calculons la limite de ݂ en -1.

Application 7

௫మିଽ , calculer la limite de ݂ en 3. TAF7 ௫మାସ௫ାଷ , calculer la limite de ݂ en -1. ௫ିଵ , calculer la limite de ݂ en 1. Pour déterminer la limite en a d'une fonction du type ࢌ simplifier avant de calculer la limite en a.

13 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

c) Multiplication par l'edžpression conjuguĠe

Propriété 4

Exemple 8

Application 8

௫ିଷ , calculer la limite de ݂ en 3 . TAF8 ଷ௫ , calculer la limite de ݂ en 0 .

II. BRANCHES INFINIES

NB : dans toute la suite ࢌ et ࢍ désignent des fonctions numériques, ࡰࢌ et ࡰࢍ leurs ensembles de

définition respectifs, ࡯ࢌ et ࡯ࢍ leurs courbes représentatives respectives.

1) Asymptotes d'une courbe

a) Asymptote Verticale

Propriété 5

Exemple 9

Application 9

parfois aider à lever la forme indéterminée.

14 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

Illustration graphique

Fig2 Fig3 TAF9 en െλ et en ൅λ. b) Asymptote Horizontale

Propriété 6

Exemple 10

Application 10

െλ ou respectivement en ൅λ.

15 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

Illustration graphique

Fig4 Fig5 TAF10 en െλ et en ൅λ. c) Asymptote Oblique

Propriété 7-1

Exemple 11

૛࢞െ૝ est une asymptote oblique de la courbe ࡯ࢌ en െλ (puis en ൅λ).

Application 11

courbe ࡯ࢌ en ൅λ (puis en െλ).

16 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

Illustration graphique

Fig6 Fig7

Remarque 2

Les courbes représentatives de deux fonctions ࢌ ‡- ࢍ sont asymptotes l'une de l'autre en

േλ lorsqueܕܑܔ TAF11

2. En déduire une asymptote oblique à la courbe ࡯ࢌ en ൅λ (puis en െλ).

2) Branche parabolique

Oblique en േλ.

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Théorème 1

Propriété 7-2

Fig8

Alors ܥ

une Branche

Parabolique de

direction (OY) en േλ

Alors ܥ

une Branche

Parabolique de

direction (OX) en േλ

Alors ܥ

une Asymptote

Oblique la droite

en േλ ; אܾ

Alors ܥ

une Branche

Parabolique la

en േλ Je calcule Je calcule

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Exemple 12

ସ௫ାଵ, déterminons ܦ௙ puis étudions la branche infinie de ܥ

Application 12

ସ௫ାଵ, déterminer ܦ௙ puis étudier la branche infinie de ܥ

19 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019

TAF12 ௫ାଷ , déterminer ܦ௙ puis étudier la branche infinie de ܥ

Propriété 7-3

Exemple 13

௫ାଷ , étudions la branche infinie de ܥ

Application 13

ସ௫ାଵ , étudier la branche infinie de ܥ TAF13 ௫ାଷ , déterminer ܦ௙ puis étudier les branches infinies de ܥ NB2

III. CONTINUITE D'UNE FONCTION

1) Continuité en un point

Définition 1

Exemple 14

et est fini). On dit que ࢌ est continue en ࢇ lorsque :

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Application 14

TAF14 ௫ , étudier la continuité de ݂ en 1 puis en 0.

Propriété 8

Remarque 3

Si ݂ et ݃ •‘- continues en ܽ

o La fonction ݂݇ est continue en ܽ o La fonction ȁ݂ȁ est continue en ܽ o La fonction ݂൅݃ est continue en ܽ o La fonction ݂ൈ݃ est continue en ܽ

La fonction ݂ est continue sur un intervalle ܫ signifie que ݂ est continue en tout point de ܫ

intervalle ܫ est appelé ensemble de continuité de ݂ ݁ݐ ܦؿܫ Si ݂ est continue sur ܫ et ݃ continue sur ܬ o La fonction ݂൅݃ est continue sur ܬתܫ o La fonction ݂ൈ݃ est continue sur ܬתܫ o La fonction ௙

Toute fonction polynôme est continue sur Թ.

Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.

2) Illustration graphique de la continuité

Fig.9 fig.10 ࢌ est continue en ࢇ

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3) Prolongement par continuité

Propriété 9

Exemple 15

par continuité en 2 et donnons son prolongement par continuité.

Application 15

continuité en -3 et donner son prolongement par continuité. TAF15 a) Déterminer ܦ b) Etudier la continuité de ݂ en -2 ;

c) ݂ est-elle prolongeable par continuité en -2 ? Si oui, déterminer ce prolongement par continuité.

réel) prolongement par continuité de ݂ en ܽ FIN

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AUTRES EXEMPLES

Résumé des Définitions, Propriétés et Théorèmes NOTES

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AUTRES EXEMPLES

Résumé des Définitions, Propriétés et Théorèmes NOTES

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I. DERIVABILITE D'UNE FONCTION EN UN POINT

1) Mise en route

Fig.1

Sur la Fig.1, le coefficient directeur de la droite (AM) ou le taudž d'accroissement de ݂ entre ܺ ݁ݐ ܽ

௑ି௔. Lorsque ܺ tend vers ܽ ௑ି௔. Cette pente est aussi appelée

݂ est dérivable en ܽ

Définition 1

Exemple 1

Application 1

Chapitre III

DERIVABILITE

Thème : Equations

Inéquations et système

T dérivable en ݔ଴ si ܕܑܔ

࢞ି࢞૙ est finie. Cette limite est appelée nombre dérivée de ࢌ en ࢞૙

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TAF1

2) Dérivabilité à gauche et dérivabilité à droite

Définition 2

Propriété 1

Remarque 1

Exemple 2

de ݂ en 1.

Application 2

௫ , étudier la dérivabilité de ݂ à gauche et à droite en -2 puis en déduire la dérivabilité

de ݂ en -2.

Lorsque ܕܑܔ

࢞ି࢞૙ est finie, on dit que ࢌ est dérivable à gauche en ࢞૙ . le nombre

Lorsque ܕܑܔ

࢞ି࢞૙ est finie, on dit que ࢌ est dérivable à droite en ࢞૙ . le nombre

Une fonction ࢌ est dérivable en ࢞૙ les nombres dérivés à gauche et à droite sont égaux.

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TAF2 dérivabilité de ݂ en 0.

3) Dérivabilité et continuité

Propriété 2

NB1 La réciproque de la Propriété 2 est fausse.

II. INTERPRETATION GRAPHIQUE DE LA DERIVABILITE

1) Equation de la tangente en un point d'abscisse ࢞૙.

Propriété 3

Exemple 3

Fig.2

Application 3

TAF3

A(0 ; -3).

Si une fonction ࢌ est dérivable en un point ࢞૙ (respectivement sur un intervalle ࡵ)

continue en ࢞૙ (respectivement sur un intervalle ࡵ). Soit ࢌ une fonction définie en ࢞૙,

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2) Equations de demi-tangentes ă gauche et ă droite en un point d'abscisse donnĠe

Propriété 4

Remarque 1

Fig.3 TAF4

3) Equation d'une demi-tangente ǀerticale en un point d'abscisse donnĠe

Propriété 5

Exemple 4

Fig.4 Si ࢌ est dérivable à gauche en ࢞૙ Si ࢌ est dérivable à droite en ࢞૙

Si ܕܑܔ

࢞ି࢞૙ൌേλ (respectivement ܕܑܔ en ݔ଴

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Application 4

TAF5

III. FONCTION DERIVEE

Définition 3

Remarque 2

ࢌᇱ est dĠfinie. Il est toujours inclus dans l'ensemble de dĠfinition ࡰࢌ . Toute fonction polynôme est dérivable sur Թ et une fonction rationnelle sur son ensemble de définition.

1) Dérivées de quelques fonctions de référence.

FONCTION ݂ FONCTION DERIVEE ݂ᇱ ܦ

Exemple 5

Calculons les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

Soit ࢌ une fonction dérivable sur un intervalle. On appelle dérivée de la fonction ࢌ, la fonction

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Application 5

Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : TAF6 Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

2) Opérations sur les fonctions dérivées

Soient ࢛ et ࢜ deux fonctions dérivables sur un même intervalle ouvert ࡵ et ࢑ un nombre réel, on

admet les résultats du tableau suivant :

Exemple 6

Calculons les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

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Application 6

Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : TAF7 Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

3) Dérivée et sens de variation

Définition 4

Exemple 7

Déterminons le sens de variation des fonctions suivantes : Soit ࢌ une fonction dérivable sur un intervalle ࡵ :

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Application 7

Etudier le sens de variation des fonctions suivantes : TAF8 Etudier le sens de variation des fonctions suivantes :

Théorème 1

4) Tableau de variation

ci-contre : Si ݂ est une fonction définie, continue et strictement monotone (croissante ou décroissante) sur un intervalle ࡵ Si ݂ est une fonction dérivable et strictement monotone sur un intervalle ࡵ

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ݔ a b

ݔ a b

NB2

Si ܦאܽ௙ ࢕࢛ ܦאܾ

Exemple 8

le tableau de variation de ݂.

Application 8

݂ puis établir le tableau de variation de ݂.

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TAF9

1)DDéterminer ܦ

variation de ݂ ; 4) Dresser le tableau de variation de ݂.

5) Extrémum

Propriété 6

Théorème 2

Illustrations

X a ݔ଴ b

I ·[ - +

f X a ݔ଴ b

I ·[ + -

f m M de ݂ sur ܫ intervalle ࡵ contenant ݔ଴et inclus dans ܦ௙ tel que pour tout ݔא intervalle ࡵ contenant ݔ଴et inclus dans ܦ௙ tel que pour tout ݔא

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Remarque 3

ࡹ et ࢓ sont des nombres réels ;

On dit que ݂ est bornée sur ࡵ

l'ensemble de dĠfinition ܦ௙ (c'est-à-dire si ܫൌܦ

Exemple 9

1. Déterminons ܦ

2. Calculons les limites aux bornes de ܦ

3. Dérivons ݂, étudions le signe de ݂Ԣ et déduisons le sens de variation de ݂ puis le tableau de

variation de ݂.

Correction : Voir partie exercice

Application 9

1. Déterminer ܦ

2. Calculer les limites aux bornes de ܦ

3. Dériver ݂, étudier le signe de ݂Ԣ et en déduire le sens de variation de ݂ puis le tableau de variation

de ݂.

Correction : Voir partie exercice

TAF10

1. Déterminer ܦ

2. Calculer les limites aux bornes de ܦ

3. Dériver ݂, étudier le signe de ݂Ԣ et en déduire le sens de variation de ݂ puis le tableau de

variation de ݂.

4. Déterminer les extrémums de ݂ sur les intervalles ൧െͳǢͳ൅ξ-ൣ et ൧ͳെξ-Ǣ൅λൣ.

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AUTRES EXEMPLES

Résumé des Définitions, Propriétés et Théorèmes NOTES

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I. RAPPEL : PARITE ET ELEMENTS DE SYMETRIE

1) Parité

Définition 1

Remarque 1

Si pour tout ݔܦא௙ , on a : െݔܦא impaire.

Exemple 1

Application 1

Chapitre III

ETUDE DE FONCTIONS

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