[PDF] Walanta Pour les calculs de limites

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Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 1

Daniel ALIBERT

Étude locale des fonctions dérivables. Développements limités

Objectifs :

Savoir chercher si une fonction d"une variable réelle est dérivable en un point. Calculer sa dérivée, et dans certains cas ses dérivées d"ordre supérieur. Pour les calculs de limites, savoir utiliser, et quand utiliser, les techniques suivantes : fonctions dérivées, développement limité. Savoir interpréter graphiquement les premiers termes d"un développement limité. Savoir utiliser un logiciel de calcul (Maxima) pour atteindre les objectifs précédents. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 2

Organisation, mode d"emploi

Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d"un usage pratique simple. Il s"agit d"un livre d"exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l"accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l"assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d"enseignement auprès de ces étudiants, et de l"observation des difficultés qu"ils rencontrent dans l"abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu"ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu"ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c"est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. L"ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants.

Ce livre comporte quatre parties.

Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 3 La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu"aux connaissances qu"un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l"énoncé correspondant. L"autre moitié est formée d"énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s"agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d"autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d"explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d"exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : ☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, ) lorsqu"une méthode plus générale est décrite, ) renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie

3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui

souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Certains livres d"exercices comportent un grand nombre d"exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l"étudiant Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 4 en mathématiques. Ce n"est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d"une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l"éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d"entre eux, à s"interroger sur ce qu"il a de général (on l"y aide par quelques commentaires Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 5

Table des matières

1 A Savoir ........................................................................... 7

1-1 Dérivation des fonctions d"une variable réelle 7

1-2 Dérivations successives des fonctions ........... 10

1-3 Développements limités ................................ 12

1-4 Développements asymptotiques .................... 15

1-5 Étude locale des fonctions ............................. 16

2 Pour Voir ....................................................................... 20

2-1 Dérivation des fonctions d"une variable réelle20

2-2 Dérivations successives des fonctions ........... 28

2-3 Développements limités ................................ 31

2-4 Développements asymptotiques .................... 40

2-5 Étude locale des fonctions ............................. 43

3 Pour Comprendre et Utiliser .......................................... 57

3-1 Énoncés des exercices ................................... 57

3-2 Corrigés des exercices ................................... 72

3-3 Corrigés des questions complémentaires .... 121

4 Pour Chercher .............................................................. 129

4-1 Indications pour les exercices ..................... 129

4-2 Méthodes ..................................................... 136

4-3 Lexique ........................................................ 139

Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 6 Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 7

1 A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

1-1 Dérivation des fonctions

d"une variable réelle

Définition

Soit x0 un réel, et f une application définie sur un intervalle ouvert centré en x

0, à valeurs dans R.

On dit que f est dérivable en x

0 si le quotient :

f(x)-f(x0) x-x0 admet une limite lorsque x tend vers x0, en restant différent de x0. Cette limite est la dérivée de f en x0, notée f"(x0). Une autre notation usuelle pour la dérivée de f en x0 est df dxx0( ). Une formulation équivalente est la suivante : il existe un réel a, et une application définie sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 en

0, notée

e, telles que l"égalité suivante soit vérifiée, pour |x - x0| assez petit f(x) = f(x

0) + (x - x0) a + (x - x0) e(x - x0).

Le réel a est la dérivée de f en x

0. On dit souvent, par abus, que "l"expression f(x)" est dérivable. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 8 Si f est définie sur un intervalle de la forme ]t , x0], on dit que f est dérivable à gauche en x

0, si le quotient f(x)-f(x0)

x-x0 admet une limite lorsque x tend vers x

0, avec x < x0.

Cette limite est la

dérivée à gauche de f en x0, notée fg"(x0). On définit de manière analogue la dérivée à droite. Si f est dérivable pour tout x d"un ensemble I, on dit que f est dérivable sur I. L"application qui à x de I associe f"(x) est l"application dérivée de f, ou la dérivée de f.

Proposition

Si f est dérivable en x0, alors f est continue en x0.

Proposition

Soient f et g des fonctions dérivables en x0.

1) Pour tout couple de réels (a, b), la combinaison linéaire a.f + b.g est

dérivable en x0, et : (a.f + b.g)"(x0) = a.f"(x0) + b.g"(x0).

2) Le produit f.g est dérivable en x0, et :

(f.g)"(x0) = f"(x0)g(x0) + f(x0)g"(x0).

Proposition

Soit f une application définie au voisinage de x0. Soit g une application définie au voisinage de f(x0), composable avec f. Si f est dérivable en x0, et g dérivable en f(x0), alors l"application composée g o f est dérivable en x0, et : (g o f)"(x0) = g"(f(x0))f"(x0). Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 9

Proposition

Soient I et J, des intervalles de R, et f : I --. J une application continue bijective. On note f-1 l"application réciproque, de J dans I. Si f est dérivable en x0, élément de I, et si f"(x0) est différent de 0, alors f-1 est dérivable en f(x0), et sa dérivée en f(x0) est : f-1() "f x0( )()=1 f" x0( ). Les dérivées des fonctions usuelles sont à connaître, ainsi que leur domaine de définition : fonction dérivée domaine x → xn, n Î Z x → n.xn-1 si n < 0, x ≠ 0 si n ≥ 0, R x → log(x) (logarithme naturel) x →1 x x > 0 x → ex x → ex R x → sin(x) x → cos(x) R En application de ce tableau et des résultats précédents (dérivation d"une fonction composée), on obtient un autre tableau de formules de dérivation

à connaître :

forme des fonctions dérivée u v u"v-uv" v2 log(u) u" u eu u"eu ax, a > 0 log(a)ax x → xa, a Î R x → a.xa-1, x > 0 si a Î N Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 10

1-2 Dérivations successives

des fonctions

Définition

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I. Soit f" sa fonction dérivée, également définie sur I. Soit a un point de I. Si f" est dérivable en a, on dit que f est deux fois dérivable en a, et la dérivée de f" en a est la dérivée seconde de f en a, notée f"(a). On définit ainsi de proche en proche la dérivée n-ième de f au point a par f(n)(a)=f(n-1)() "(a). Autre notation : dnf dxnx0( ). Noter que l"existence de la dérivée n-ième en a suppose l"existence des dérivées d"ordre inférieur sur un intervalle ouvert centré en a, et pas seulement en a. Si la dérivée n-ième d"une application existe sur un intervalle ouvert I, on dit que f est n fois dérivable sur I. Si de plus la dérivée n-ième est continue sur I, on dit que f est n fois continûment dérivable sur I, ou de classe Cn sur I. On écrira souvent f Î Cn(I). Si la fonction f est n fois dérivable sur I, quel que soit n, on dit qu"elle est indéfiniment dérivable, ou encore de classe C∞. La dérivée n-ième d"une somme de fonctions est la somme des dérivées n-ièmes de chacune. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 11

Proposition

Formule de Leibniz.

Soient f et g des fonctions n fois dérivables en x

0. Le produit fg est

dérivable n fois également et : fg( )(n)x0( )=Cnkf(k)x0( )g(n-k)x0( ) k=0 k=n∑. Dans cette formule, on convient que f(0) désigne f. Rappel. Le symbole Cnk désigne le coefficient du binôme :

Cnk=k!(n-k)!

n!. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 12

1-3 Développements limités

Théorème

Formule de Taylor-Young.

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un élément de I. On suppose que la dérivée n-ième en x0 existe. Il existe une fonction h → e(h), définie sur un intervalle ouvert centré en

0, tendant vers 0 lorsque h tend vers 0, telle que l"égalité suivante soit vraie,

pour x appartenant à un intervalle ouvert centré en x0 contenu dans I : f(x)=f x0( )+x-x0()k k!f(k)x0( ) k=1 n∑+x-x0( )nex-x0( ).

Définition

Soit I un intervalle ouvert, et x0 un élément de l"adhérence de I, c"est-à-dire un point de I ou une de ses extrémités. Soit f : I → R, une fonction.

On dit que la fonction polynôme de x :

P(x - x0) = a0 + a1(x - x0) + ... + an(x - x0)n

est un développement limité à l"ordre n de f en x0 si l"expression f(x) - P(x - x0) est de la forme (x - x0)ne(x - x0), la fonction h ∞ e(h) tendant vers 0 lorsque h tend vers 0. P est la partie régulière du développement, et (x - x0)ne(x - x0) en est le reste, ou terme complémentaire. La formule de Taylor-Young fournit un développement limité pour les fonctions qui en vérifient les hypothèses.

Proposition

Si P existe, il est unique.

Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 13

Proposition

Si f et g admettent des développements limités à l"ordre n en x0, de parties régulières P et Q, alors :

1) Pour tout couple de réels, (a, b), la combinaison linéaire a.f + b.g admet

un développement limité à l"ordre n en x0, dont la partie régulière est la combinaison linéaire a.P + b.Q des parties régulières des développements de f et de g.

2) Le produit fg admet un développement limité à l"ordre n en x0, dont la

partie régulière s"obtient en tronquant au degré n le produit PQ.

Proposition

Si f admet un développement limité en x0, de partie régulière P, et y0 = lim(f(x)) en x0, et si g est une fonction composable avec f qui admet un développement limité en y0, de partie régulière Q, alors on obtient un développement limité de gof en x0 en substituant P(x - x0) à y dans Q(y - y0), et en tronquant le polynôme obtenu au degré convenable (c"est- à-dire significatif compte tenu des termes complémentaires)

Proposition

Soit f : [a , b]→ R, continue.

On suppose que f admet en x0 Î [a , b] un développement limité à l"ordre n, de partie régulière P(x - x0). Soit F : [a , b] → R une primitive de f. Alors F admet un développement limité à l"ordre n + 1 en x0, dont la partie régulière est obtenue en calculant la primitive de P(x - x0) égale à F(x0) en x0. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 14 formulaire Les développements suivants en 0 sont à connaître parfaitement. On figure ci-dessous la partie régulière de chaque développement limité. fonctions développements ordre x → (1 + x)a (ci-dessous deux cas particuliers) 1+x k k!a(a-1)¼(a -k+1) k=1 n∑ n xa1

1+x 1-x+x2+¼+(-1)nxn

n xa1+x 1+1 2x-1 8x2+1

16x3-5

128x4
4 x → sin(x) x-x 3 3!+x 5

5!+¼+(-1)px2p+1

(2p+1)! 2p + 2 x → cos(x) cos(x)=1-x 2 2!+x 4

4!+¼+(-1)px2p

(2p)! 2p + 1 x → ex 1+x+x 2

2!+¼+x

n n! n x → log(1 + x) x-x2

2+¼+ -1( )n+1xn

n n Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 15

1-4 Développements asymptotiques

Il s"agit de généraliser l"écriture de développements limités à différents cas : Fonction non bornée au voisinage de x0. Développement au voisinage de l"infini.

Définition

Soit x0 un réel et f une fonction définie sur un voisinage épointé () de ce point, non nécessairement bornée sur ce voisinage épointé. On appelle développement asymptotique d"ordre n de f au voisinage de x0 une fonction rationnelle de la forme aix-x0( )i i=pi=n∑, où p et n sont des x->x0limf(x)-aix-x0( )i i=pi=n∑   x-x0( )-n  =0.

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle non borné. On appelle développement asymptotique d"ordre n de f à l"infini une fonction rationnelle de la forme aix-i i=pi=n∑, où p et n sont des entiers relatifs x->+¥limf(x)-aixi i=pi=n∑   x n  =0. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 16

1-5 Étude locale des fonctions

La dérivée permet dans certains cas de résoudre des problèmes de limites (on en a vu un exemple dans le volume 3, à propos de la recherche d"équivalents).

Proposition

Règle de l"Hôpital

Soit a un réel, et soient f et g des fonctions définies sur un intervalle ouvert centré en a, continues en a. On suppose f et g dérivables sur un voisinage épointé () de a, g non nulle sur un voisinage épointé de a, enfin : f(a) = g(a) = 0.

Alors si le rapport :

f"(x) g"(x) a une limite finie en a, le rapport : f(x) g(x) a également une limite finie, et : x->a x¹alimf(x) g(x)   =x->a x¹alimf"(x)g"(x)

Corollaire

Si f est continue en a, dérivable sur un voisinage épointé () de a, et si f" a une limite finie en a, alors f est dérivable en a, et : x->ax¹alimf" (x)()=f"(a)). La dérivée en un point donne également des informations sur le comportement d"une fonction au voisinage de ce point (étude locale). Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 17 Dans un calcul de limite, on peut toujours remplacer une fonction par son développement limité s"il existe au point considéré. Le premier terme non nul du développement limité d"une fonction, s"il existe, est un équivalent de la fonction. Cela permet d"obtenir des informations géométriques sur le graphe de la fonction.

Proposition

Soit f : R→ R, dérivable en x0, admettant en x0 un maximum local ou un minimum local. Alors f"(x0 ) = 0 . Soit f une application définie sur un intervalle I. On rappelle que le graphe G de f (ou courbe représentative) est le sous- ensemble du plan R

2 formé des couples (x , f(x)), x étant un point

quelconque de I.

Soit x

0 un point de I, et M(x0) le point de G d"abscisse x0. Une droite

passant par M(x

0) a une équation de la forme :

y = f(x

0) + a.(x - x0),

a désignant le coefficient directeur. Notons cette droite D(a).

Définition

Soit M(x) le point de G d"abscisse x. On dit que D(a) est tangente à G si la fonction : x Î I, x→ distance(M(x), D(a)) est négligeable devant la fonction : x→ distance(M(x), M(x0)) quand x tend vers x0 dans I. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 18 M(x) M(x0) x0 x

Proposition

Soit f une fonction dérivable en un point x0. La droite D(f"(x0)) est la tangente à G en x0.

Proposition

Soit f une fonction admettant un développement limité au voisinage d"un point x0.

1) Si ce développement est à l"ordre 1 :

f(x) = a0 + a1 (x - x0) + (x - x0)e(x - x0) la droite d"équation y = a0 + a1 (x - x0) est la tangente au graphe de f au point d"abscisse x0.

2) Si ce développement est à l"ordre 2 :

f(x) = a0 + a1 (x - x0) + a2(x - x0)2 + (x - x0)2e(x - x0) la position du graphe est donnée par le signe de a2 (si a2 ≠ 0). Si a2 > 0, le graphe est au-dessus de sa tangente. Si a2 < 0, la courbe est au-dessous de sa tangente. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 19

Définition

Une droite D est asymptote à G lorsque x tend vers l"infini si, quand x tend vers l"infini, la distance du point de G d"abscisse x à la droite D tend vers 0.

Proposition

Soit f une fonction admettant un développement asymptotique en +∞ de la forme suivante : f(x)=a-1x+a0+a1 x+e(x) x. La droite d"équation y=a-1x+a0 est asymptote à la courbe représentative. Si a1 > 0, la courbe est au-dessus de son asymptote. Si a1 < 0, la courbe est au-dessous de son asymptote. Les mêmes considérations s"appliquent également en -∞. Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 20 2

Pour Voir

Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très élémentaires pour vérifier votre compréhension.

2-1 Dérivation des fonctions d"une variable réelle

"On dit que f est dérivable en x0 si le quotient f(x)-f(x0) x-x0 admet une limite lorsque x tend vers x0, en restant différent de x0." exemple 1

Si f est l"application définie par :

f(x)=x3-x+2, on vérifie facilement qu"elle est dérivable en 1, et même en tout point a : f(x)-f(1) x-1 =x

3-x+2-2

x-1 =x(x-1) x-1 =x, (ce calcul est fait pour x ≠ 1), donc : x®1x¹1limf(x)-f(1) x-1 Daniel Alibert - Cours et Exercices corrigés - Volume 4 21

Plus généralement :

f(x)-f(a) x-a

3-x+2-a3+a-2

x-a =x

3-a3-x+a

x-a =(x-a)(x

2+ax+a2)-(x-a)

x-a =x2+ax+a2-1, d"où : x®ax¹alimf(x)-f(a) x-a 2-1. On voit que le calcul est long, même dans un cas simple, d"où l"intérêt de méthodes et de formules générales. exemple 2 (à traiter) Soit g l"application "valeur absolue". Est-elle dérivable en 0, en 0,5 ? # réponse En 0.

Il s"agit d"étudier la limite de l"expression

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