Brefs rappels sur les développements limités. PDF

Développements limités

Une fonction f est dérivable en 0 ssi elle admet un développement limité f (x) = a + bx + o(x) `a l'ordre 1 en 0 auquel cas on a.

Les Développements Limités

dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 en abrégé DLn(x0)

Brefs rappels sur les développements limités.

Par contre f n'est pas continue en 0 a priori (considérer par exemple x ?? x2 sin(1/x)). Proposition 4. Si f : I ? R admet un développement limité d'ordre n

Développements limités

Pour tout entier n f admet un développement limité d'ordre n en 0. Soit Rn son reste de Taylor d'ordre n. Au voisinage de 0

DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de

à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : fonction développement limité fonction usuelle. 1. 1 ? x. 1 + x + x2 + .

Formule de Taylor développements limités

http://www.gm.univ-montp2.fr/spip/IMG/pdf/mathsTD4.pdf

Fonctions de plusieurs variables

1 nov. 2004 Pour une fonction d'une variable f définie au voisinage de 0

1 La formule de Taylor-Young

Pour n = 1 la formule n'est autre que le développement limité de f `a l'ordre 1 au point a

Développements limités (pour physiciens)

12 fév. 2018 suite) de la fonction f. Graphiquement un développement limité d'ordre. 1 correspond à approximer

Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

) pour ? 0 et (0) = 0. 1. Montrer que admet un développement limité à l'ordre 2 en 0. 2. La fonction est-elle deux

2015-2016 Preparation aux ecrits du CAPES

Univ. Lyon ISemestre de printempsBrefs rappels sur les developpements limites.

Le but est ici de rappeler, sans demonstrations, la denition d'un developpement limite et les operations qu'on peut

faire sur les developpements limites, ainsi que celles qu'on ne doit surtout pas faire. On va surtout s'interesser aux

fonctions denies sur un intervalle ouvert et a valeurs dansR. Dans la suite,Idesignera toujours un intervalle ouvert deR, etx0un element deI.

Denition 1.

On ecritf(x) =ox0(g(x)) pour dire quef(x) s'ecrit sous la formeg(x)"(x), ou"est une fonction qui tend vers 0

quandxtend versx0; on dit quefestnegligeable devantgau voisinage dex0.

Denition 2.

On dit quefetgsontequivalentesenx0, et on ecritfx0g, si on af(x) =m(x)g(x), oum(x) est une fonction qui

tend vers 1 quandxtend versx0; c'est equivalent a dire que l'on peut ecriref=g+o(g), ou encoreg=f+o(f).

Attention a ne pas ecrirefx00, qui n'est vrai que sifest nulle au voisinage dex0...

Il faut faire attention en manipulant lesoet les equivalents; en particulier, on peutmultiplierdes equivalents (au

m^eme point!) mais on ne peut pas lesadditionner.

On a souvent besoin de trouver des equivalents simples pour determiner si une serie ou une integrale converge; et

pour cela on peut utiliser desdeveloppements limites.

Denition 3.

On dit quef:I!Radmet un developpement limite d'ordrenenx0s'il existe un polyn^omePde degren, a coecients reels, et une fonction":I!Rtels que :

8x2I; f(x) =P(xx0) + (xx0)n"(x)etlimx!x0"(x) = 0

Autrement dit, on af(x) =P(xx0) +o((xx0)n).

On dit alors quePest lapartie reguliered'ordrendu developpement limite, etfPlerested'ordren.

Notons que la denition entra^ne immediatement que, sifadmet un developpement limite a l'ordrenenx0, de

partie reguliereP, etmnest un entier, alorsfadmet aussi un developpement limite a l'ordremenx0, dont la

partie reguliere est formee par les termes dePde degre inferieur ou egal am.

On se contente souvent ci-dessous de traiter le cas des developpements limites au voisinage de 0, puisqu'une simple

translation permet de s'y ramener. Rappelons que, si 02Iet sifadmet un developpement limite d'ordren1 en 0,

alorsfest derivable en 0 (en fait, admettre un developpement limite a l'ordre 1 enx0est equivalent a ^etre derivable en

0, comme on le verie facilement a partir des denitions). Par contre,f0n'estpas continueen 0 a priori (considerer

par exemplex7!x2sin(1=x)).

Proposition 4.

Sif:I!Radmet un developpement limite d'ordrenen0, alors la partie reguliere du developpement limite est

unique (donc le reste est unique egalement).

Sifest paire (f(x) =f(x)), alors le polyn^omePest pair. Sifest impaire (f(x) =f(x)) alorsPest impair.

Maintenant que nous nous souvenons un peu mieux de ce qu'est un developpement limite, il est temps d'enoncer les

theoremes qui permettent en pratique de calculer les D.Ls.

Proposition 5.

- Formule de Taylor-Lagrange : Sifestn+ 1fois derivable surI, alorsfadmet un developpement limite d'ordrenen0, de partie reguliere

P(X) =f(0) +f0(0)X+:::+f(n)(0)n!Xn

et de restef(x)P(x) =f(n+1)(c)(n+1)!xn+1pour un certainccompris entre0etx:(bien s^urcdepend dex)

- Formule de Taylor-Young : Sif(n)(0)existe, alorsfadmet un developpement limite d'ordrenen0de partie reguliere

P(X) =f(0) +f0(0)X+:::+f(n)(0)Xnn!

1 2

Remarquez que la deuxieme formule a des hypotheses plus faibles, et donne un resultat plus faible aussi puisqu'elle

ne permet pas d'evaluer le reste. Les deux formules montrent que, pour calculer le developpement limite d'une fonc-

tionfa l'ordrenen 0, on peut se contenter de calculer lesnderivees successivesf0;f00;:::;f(n)et ensuite utiliser

leur valeur en 0; en pratique, c'est une tres mauvaise methode des quendepasse 2 ou 3, car tres lourde en calculs

(le probleme est qu'on determine toute les fonctions derivees alors que ce n'est que leur valeur en 0 qui nous interesse..).

On peut sans (trop) risquer de se tromper ajouter, multiplier des developpements limites :

Proposition 6.

Sif,gadmettent des developpements limites a l'ordrenen0, de parties regulieres respectivesPetQ, alors :

{f+gadmet un developpement limite d'ordrenen0, de partie reguliereP+Q {f:gadmet un developpement limite d'ordrenen0, de partie reguliere les termes de degrendeP:Q.

Pour calculer le developpement limite de

fg dans le cas oug(0)6= 0, on peut egalement diviser des developpements limites selon la methode des puissances croissantes (voir exemple du DL de tan a la n de la che).

Rappelons un resultat tres important : on peut integrer un developpement limite, maison ne peut pas deriver

un developpement limiteen general : il se peut quefadmette un developpement limite d'ordren, et quef0n'ait

pas de developpement limite d'ordren1.

Proposition 7.

Sifest derivable etf0admet un developpement limite d'ordrenen0de partie regulierea0+a1X+:::+anXn, alors

fadmet un D.L d'ordren+ 1en0, de partie reguliereP(X) =f(0) +a0X+a12

X2+:::ann+1Xn+1.

Remarquons que, dans l'enonce ci-dessus, il est primordial de ne pas oublier le terme f(x0), qui est la constante d'integration!

Il ne reste plus qu'un theoreme important a enoncer sur les developpement limites : on peutcomposerdes

developpement limites.

Proposition 8.

Sifadmet un developpement limite enx0d'ordrenet de partie reguliereP, etgadmet un developpement limite

d'ordrenenf(x0)de partie reguliereQ, alorsgfadmet un developpement limite d'ordrenenx0, de partie reguliere

constituee par les termes de degrendeQP.

Il y a un piege : il faut veiller a bien utiliser le developpement limite degenf(x0), et pas enx0... Il faut aussi faire

attention a composer des developpements limites de m^eme ordre : si on conna^t par exemple le developpement limite

defenx0a l'ordre 3 enx0, et le developpement limite dega l'ordre 42 enf(x0), on n'a assez d'information que

pour calculer le developpement limite degfa l'ordre 3 enx0. Ce theoreme peut ^etre utilise pour calculer le developpement limite d'un quotient fg , oug(0)6= 0 : on commence par calculer le developpement limite de 1g par composition, puis on le multiplie avec celui def.

Il est tres important de se rappeler qu'un developpement limite est une egalite mathematique, pas une

identication magique: il faut toujours indiquer le reste et savoir a quel ordre on calcule le developpement.

Pour terminer ces notes, mentionnons le cas des fonctions d'une variable reellea valeurs complexes. Tous les

enonces donnes plus haut restent corrects (en considerant des polyn^omes a coecients complexes, bien s^ur), sauf un :

la formule de Taylor-Lagrange est fausse pour les fonctions a valeurs complexes.

En eet, la preuve de cette formule se base sur l'egalite des accroissements nis (qui est en fait la formule de Taylor-

Lagrange a l'ordre 1) et celle-ci est fausse pour les fonctions a valeurs complexes. Un exemple pour se convaincre :

considerons la fonctionf:R!Cdenie parf(t) =eit. Alorsfest de classeC1, etf0(t) =ieitne s'annule

jamais (le module def0(t) vaut toujours 1). On af(2)f(0) = 0, donc il est impossible qu'il existectel que

f(2)f(0) = 2f0(c). La raison de cette dierence entreRetCest queRest muni d'un ordre naturel, compatible

avec les operations algebriques (tout particulierement, un nombre est positif ssi c'est un carre); de plus cet ordre a de

nombreuses proprietes (borne sup, borne inf, archimedianite...). SurC, il n'existe pas de telle relation d'ordre.

Tout cela ne pose pas de probleme particulier : surC, on peut toujours utiliser la formule de Taylor-Young, ainsi

que la formule de Taylor avec reste integral, qu'on reverra plus tard (et qui est a conna^tre pour les ecrits du CAPES!).

La theorie serait par contre totalement dierente si on considerait des derivees de fonctions de variable complexe a

valeurs complexes - c'est la theorie des fonctions holomorphes.

Quelques developpements importants:

11 +x= 1x+x2:::+ (1)nxn+o(xn):

3 ln(1 +x) =xx22 +:::+ (1)n+1xnn +o(xn): ex= 1 +x+x22 +x36 +:::+xnn!+o(xn): cos(x) = 1x22 +:::+ (1)nx2n(2n)!+ox2n+1: sin(x) =xx36 +:::+ (1)nx2n+1(2n+ 1)!+ox2n+2: arctan(x) =xx33 +:::+ (1)nx2n+12n+ 1+ox2n+2: (1 +x)= 1 +:x+:::+:(1):::(n+ 1)xnn!+o(xn) (valable pour tout2R). Un exemple : trois methodes pour calculer le developpement limite detanen0a l'ordre5. Premiere methode: la division selon les puissances croissantes.

On commence par ecrire

tan(x) =sin(x)cos(x)=xx36 +x5120 +o(x5)1x22 +x424 +o(x5): Puis on utilise la methode des puissances croissantes : xx36 +x5120 +o(x5)1x22 +x424 +o(x5)x+x32 x524 +o(x5)x+x33 +215
x5x 33
x530 +o(x5) x33 +x56 +o(x5)2 15 x5+o(x5)On obtient donc nalement que tan(x) =x+x33 +215
x5+o(x5).

Deuxieme methode: par composition, en utilisant le developpement limite de11u(ci-dessous, les termes en gris

clair sont ceux qu'on aurait pu se passer d'ecrire, puisqu'ils font appara^tre des termes de degre>5).

tan(x) =xx36 +x5120 +o(x5)1x22 +x424 +o(x5) xx36 +x5120 1(x22 x424 +o(x5)) = (xx36 +x5120 )(1 + (x22 x424 ) + (x22 x424 )2+(x22 x424 )3+ (x22 x424 )4+ (x22 x424 )5) +o(x5) = (xx36 +x5120 )(1 +x22 +5x424 ) +o(x5) =x+x33 +2x515 +o(x5):

(Note : dans la derniere ligne, on n'a pas fait appara^tre les termes de degre>5, puisque ce sont tous deso(x5))

Troisieme methode: en utilisant une equation dierentielle. On a tan0(x) = 1+tan2(x). En ecrivant le developpement

de tan

0en 0 a l'ordre 4 sous la formea+bx2+cx4+o(x4) (il n'y pas de termes d'ordre impair : tan est impaire,

donc tan

0est paire), le fait que tan(0) = 0 et le theoreme d'integration des developpements limites nous donne que le

developpement limite de tan en 0 a l'ordre 5 est egal aax+bx33 +cx55 . La formule tan0(x) = 1 + tan2(x) nous donne alors (par composition) : a+bx2+cx4+o(x4) = 1 + (ax+bx33 +cx55 )2+o(x4):

Autrement dit, on a

a+bx2+cx4+o(x4) = 1 +a2x2+2ab3 x4+b29 x6+o(x4) 4

Le theoreme d'unicite des developpements limites nous permet d'identier les deux developpements terme a terme :

ceci donnea= 1,b=a2= 1, etc=2ab3 =23 . En reportant cela dans la formule donnant le developpement de tan a l'ordre 5 en 0 en fonction dea;b;c, on obtient de nouveau tan(x) =xx33 +215
x5+o(x5).quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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