[PDF] I) Développements limités usuels

DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS. Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit

Les Développements Limités

Propriétés. (1) (Unicité d'un DL). Si f admet un DLn(x0) alors ce développement limité est unique

Développements limités

faire un développement limité à l'ordre 2 de la fonction f . Bien sûr si l'on veut être plus précis on continuerait avec une courbe du troisième degré qui

Développements limités usuels en 0

Les périodicités et les symétries des fonctions trigonométriques introduisent une difficulté pour résoudre les équations du type sin x = λ.

Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

à l'ordre 3 mais comme dans l'exercice précédent il va y avoir une simplification par « » donc on va faire un développement limité de ln(1 + ) à l'ordre 4

Développements limités

Soit f une fonction définie au voisinage de x0 (pas nécessairement en x0). On dit que f admet un développement limité d'ordre n en x0 x0 x0 (noté DLn(x0)).

Chapitre 4 : Les développements limités

Par le développement du quotient : la technique la plus standard est de sim- plement revenir `a la définition de la tangente. tan x = sin x cos x. =x − x3. 6.

Développements limités

Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Calculs. Exercice 1. Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cosx·expx

Développements limités - Grenoble

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Une fonction f(x) définie au voisinage de x = x0 admet un développement limité d'ordre n si il existe un polynôme de degré n Pn(x) = a0 + a1(x ? x0) +

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dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 en abrégé DLn(x0) s'il existe des réels a0 ··· an et une fonction ? : I ? R tels que :

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f(n)(0) + o(xn) Propriété 2 Un développement limité s'intègre terme à terme sans problème Propriété 3 Le DL d'une fonction f paire ne contient que des

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On dit que f admet un développement limité (DL) à l'ordre n en a lorsqu'il existe des réels ?0?1 ?n et une fonction ?: I ? R qui tend vers 0 en a tels

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faire un développement limité à l'ordre 2 de la fonction f Bien sûr si l'on veut être plus précis on continuerait avec une courbe du troisième degré qui

Fiche : DL

I) Développements limités usuels

Tous les DL usuels suivants sont au voisinage dex= 0Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles.

A) Famille exponentielle

exp(x) = 1 +x+x22! +x33! +x44! +...+xnn!+o(xn)(Taylor) ch(x)= 1 + x22! +x44! +...+x2n(2n)!+o(x2n)(c h(x) =partie paire deex) sh(x)= x+x33! +...+x2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+1)(sh (x) =partie impaire deex) cos(x) = 1-x22! +x44! +...+ (-1)nx2n(2n)!+o(x2n) (cos(x) =?(eix)) sin(x) =x-x33! +...+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+1) (sin(x) =?(eix))

B) Famille géométrique

11-x= 1 +x+x2+...+xn+o(xn)(série géométrique)

11 +x= 1-x+x2+...+ (-1)nxn+o(xn)(en remplaçantxpar-x)

ln(1-x) =-x-x22 -x33 +...-xn+1n+ 1+o(xn+1)(en intégrant la série géométrique) ln(1 +x) =x-x22 +x33 +...+ (-1)nxn+1n+ 1+o(xn+1)(au choix)

Arctan(x) =x-x33

+x55 +...+ (-1)nx2n+12n+ 1+o(x2n+1)

Le dernier s"obtient en remplaçantxparx2dans la série géométrique alternée puis en intégrant, car

Arctan

?(x) =11 +x2.

C) Autres

(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2!

x2+···+α(α-1)···(α-n+ 1)n!xn+o(xn)S"obtient directement avec la formule de Taylor :

dkdxk(1 +x)α=α(α-1)···(α-k+ 1)(1 +x)α-k

Moyen mnémotechnique : ressemble à une formule du binôme (et coïncide avec le binôme lorsqueα?N).

Cas important :α=±12

. On en déduit le DL deArcsin(x). tan(x) =x+x33 +o(x3)S"obtient soit à partir detan =sincos , soittan(x)≂xpuistan?= 1 + tan2. Pas de formule générale. 1 FicheDLII) Rappels des propriétés générales Propriété 1 (Taylor-Young)Soitn?N. Soitf?Cn(I,R)eta?I.

Alors?x?I

f(x) =f(a) + (x-a)f?(a) +···+(x-a)nn!f(n)(a) +o?(x-a)n?

Preuve : cf cours PTSI.

Remarque 1Fréquemment,a= 0:

f(x) =f(0) +xf?(0) +...xnn!f(n)(0) +o(xn) Propriété 2Un développement limité s"intègre terme à terme sans problème.

Propriété 3

Le DL d"une fonctionfpaire ne contient que des puissances paires. Le DL d"une fonctionfimpaire ne contient que des puissances impaires. 2quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Fiche : DL

I) Développements limités usuels

A) Famille exponentielle

B) Famille géométrique

11-x= 1 +x+x2+...+xn+o(xn)(série géométrique)

11 +x= 1-x+x2+...+ (-1)nxn+o(xn)(en remplaçantxpar-x)

Arctan(x) =x-x33

Arctan

C) Autres

Cas important :α=±12

Alors?x?I

Preuve : cf cours PTSI.

Remarque 1Fréquemment,a= 0:

Propriété 3