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Exercice 4 5 points
On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [1;25] par : f(x)=10-e0,2x+1
x Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l'on pourra utiliser :1. Retrouver par le calcul l'expression factorisée de f'(x) où f' est la fonction dérivée de f.
2. Étudier le signe de f' sur l'intervalle [1;25] et dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [1;25].
On arrondira les valeurs au millième.
3. On s'interesse à l'équation f(x)=0.
3.a. Montrer que l'équation f(x)=0 n'admet pas de solution sur l'intervalle [1;5].
3.b. Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique α sur l'intervalle [5;25].
3.c. Déterminer un encadrement d'amplitude 10-2 de la solution
3.d. En utilisant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, justifier que la fonction f est concave
sur l'intervalle [1;25].Partie B
Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. On s'intéresse au bénéfice réalisé, en millier
d'euros, correspondant à la production d'une quantité de x dizaines de tonnes d'aliments.On admet que le bénéfice peut-être modélisée par la fonction f étudiée dans la partie A ci-dessus.
La production minimale est de 10 tonnes, ainsi
x ⩾1. Les réponses aux questions suivantes seront justifiées grâce à la partie A.1. Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ?
Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?2. Déterminer, à la tonne près, la quantité maximale d'aliments qu'il faut fabriquer pour que la société réalise
un bénéfice.ES Antilles-Guyane septembre 2017
CORRECTION
Partie A
1. Pour tout nombre réel x de l'intervalle [1;25] : f(x)=10 -e0,2x+1
x. (eu)'=u'eu donc (e0,2x+1)'=0,2e0,2x+1 f'(x)=0 -x×(0,2e0,2x+1) - 1×e0,2x+1 x2=-0,2xe0,2x+1+e0,2x+1 x2=e0,2x+1×(1-0,2x)x22. Pour tout nombre réel x de l'intervalle [1;25], e0,2x+1>0 et x2>0 donc le signe de f'(x) est le signe de :
(1 - 0,2x).1 - 0,2x=0 ⇔ 1=0,2x ⇔ x=1
0,2=51 - 0,2x >0 ⇔ 1 >0,2x ⇔ 5 >x (⩾1)
1 - 0,2x< 0 ⇔ 1< 0,2x ⇔ 5< x (⩽ 25)
f(1)=10-e1,21= 6,680 à 10-3 près.
f(5)=10-e25= 8,522 à 10-3 près.
f(25)=10-e625= - 6,137 à 10-3 près.
3.a. f est croissante sur l'intervalle [1;5] donc pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [1;5] :
f(1)⩽f(x) or f(1) >6 donc l'équation f(x) = 0 n'admet pas de solution dans l'intervalle [1;5].3.b. f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [5;25], f(5) >6 et f(25)< -6 donc 0 appartient
à l'intervalle [f(25);f(5)] et le théorème des valeurs intermédiaire nous permet d'affirmer que l'équation
f(x) = 0 admet une unique solutionα appartenant à l'intervalle [5;25].
3.c.ES Antilles-Guyane septembre 2017
En utilisant la calculatrice qui permet d'obtenir la courbe représentative de f. On détermine graphique-
ment l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses on obtient : 22.Puis on calcule :
f(22)= - 0,064< 0 donc α < 22 f(21,9)= 0,09 >0 donc 21,9< α f(21,95)= 0,001 >0 donc21,95< α f(21,96)= - 0,002< 0 donc α< 21,96
Conclusion
21,95<
α < 21,96
3.d. f est deux fois dérivable sur [1;25] et le logiciel de calcul formel nous donne :
f''(x)=e0,2x+1×(-x2+10x-50) 25x3.Pour tout nombre réel x de l'intervalle [1;25] e0,2x+1>0 et 25x3>0 donc le signe de f''(x) est le signe
de (-x2+10x-50).On détermine le signe du trinôme :
T(x)=-x2+10x-50 Δ=102-4×(-1)×(-50)=-100< 0 Le signe du trinôme T(x) est le signe - ( T(x)< 0 sur [1;25] ). Pour tout nombre réel x de l'intervalle [1;25], f''(x)< 0.Conclusion
f est concave sur [1;25].Partie B
1. Le maximum de la fonction f est égal à f(5) = 8,522 à 10-3 près.
Le bénéfice maximal est égal à 8,522 milliers d'euros soit 8 5522 €. Ce bénéfice maximal est obtenu pour la production de 5 dizaines de tonnes soit 50 tonnes.2. La courbe représentative de f est au dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle [1;α[ et en dessous sur
l'intervalle ]α;25].La quantité maximale qu'il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice est : α dizaines de ton-
nes α=21,96 à 10-3 près donc α=22 à 10-1 près.Conclusion
La quantité maximale qu'il faut fabriquer pour que la société réalise un bénéfice est 220 tonnes.
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