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2. Codifier la structure de voisinage

MARIE-PIERRE DEBELLEFON, VINCENTLOONIS, RONANLEGLEUT

Insee2.1 Définir les voisins34

2.1.1 Caractéristiques des relations entre objets spatiaux

. 34

2.1.2 Définir les voisins en s"appuyant sur la distance

. 36

2.1.3 Définir les voisins en s"appuyant sur la contiguïté

. 41

2.1.4 Définir les voisins en s"appuyant sur l"optimisation d"une trajectoire

. 43

2.2 Accorder des poids aux voisins45

2.2.1 Passer d"une liste de voisins à une matrice de poids

. 45

2.2.2 Importance du choix de la matrice de poids

. 48Résumé

Après avoir choisi l"échelle d"agrégation des données et effectué une première analyse descriptive

grâce aux outils cartographiques, la deuxième étape d"une analyse spatiale est la définition du

voisinage d"un objet. La définition du voisinage est indispensable pour mesurer la force des

relations spatiales entre les objets, c"est-à-dire la façon dont les voisins s"influencent les uns les

autres. Elle permet de calculer des indices d"autocorrélation spatiale, de mettre en oeuvre les

techniques d"économétrie spatiale, d"étudier la distribution spatiale des observations, mais aussi

d"effectuer un échantillonnage spatial ou de partitionner un graphe.

L"enjeu de ce chapitre est de réussir à définir des relations de voisinage cohérentes avec les

véritables interactions spatiales entre les objets. Ce chapitre présente plusieurs notions de voisinage,

fondées sur la contiguïté ou sur les distances entre observations. La question du poids accordé à

chaque voisin est aussi abordée. La mise en oeuvre pratique s"appuie sur les packages Rspdep, tripack,spsurveyettsp.

34Chapitre 2. Codifier la structure de voisinageRLa lecture préalable du chapitre 1 : "Analyse spatiale descriptive" est recommandée.

2.1

Définir les v oisins

2.1.1

Caractér istiquesdes r elationsentr eobjets spa tiauxConsidérons une surfaceÂ. Cette surface peut être divisée ennzones mutuellement exclusives.

Deux zones adjacentes sont séparées par une frontière commune. Les frontières peuvent naître de

discontinuités spatiales (frontières administratives ou environnementales). Elles peuvent également

être issues des polygones de Voronoï calculés à partir des points d"intérêt (voir chapitre 1 : "Analyse

spatiale descriptive").Encadré 2.1.1- Définition ma thématiquedes r elationsspa tiales.

Les relations spatiales

Bsont un sous-ensemble du produit cartésienR2R2=(i;j):i2R2;j2R2des couples (i;j)d"objets spatiaux, c"est-à-dire l"ensemble des couples(i;j)tels queietjsoient tous deux

des objets spatiaux identifiés par leurs coordonnées géographiques, et que(i;j)soit différent de

(j;i). Un objet spatial ne peut pas être relié à lui-même :(i;i)*B. De plus si(i;j)Bet(j;i)B pour tout couple d"objets spatiaux, les relations spatiales sont ditessymétriques(TIEFELSDORF

1998).

Les relations spatiales sont multidirectionnelles et multilatérales. Elles se distinguent en cela

des relations temporelles qui n"autorisent que des relations séquentielles le long de l"axe passé-

présent-futur.

La figure 2.1 illustre la démarche de codification des relations spatiales. Cette démarche permet

de transcrire de manière systématique la complexité de l"espace géographique en un ensemble fini

de données analysables par un ordinateur.

Tout d"abord, la zone d"étude est subdivisée en aires mutuellement exclusives. Chaque aire contient

un point de référence (souvent son centroïde). Ensuite, les relations spatiales peuvent être spéci-

fiées par un graphe de voisinage reliant les aires considérées comme voisines, ou par une matrice

contenant les coordonnées géographiques des points de référence. La troisième étape consiste à

coder le graphe dans une matrice de voisinage, ou à transformer les coordonnées géographiques en

une matrice de distances.

La matrice de voisinage mesure la similarité entre les observations. Une valeur supérieure stricte-

ment à zéro indique que les observations sont considérées comme voisines. Par exemple, dans le

cas de la matrice binaire présentée en figure 2.1 : w ij=(

1si i et j sont reli´es dans l0espace

0sinon(2.1)

Inversement, la matrice de distances mesure une dissimilarité entre zones. Plusdijest élevé, plus

les zones diffèrent. Avec, si l"on utilise une distance euclidienne :dij=p(xixj)2+(yiyj)2, aetbétant les coordonnées géographiques des observations.

La matrice de voisinage est utilisée dans l"étude des données spatiales surfaciques, tandis que

la matrice de distances sert plutôt à la géostatistique (voir chapitre 5 : "Géostatistique"). On peut

cependant passer de l"une à l"autre en définissant une distance minimale au-delà de laquelle les

observations ne sont plus voisines. La structure de la dépendance spatiale peut ne pas être géographique. Toute relation duale pertinente permet de définir un graphe de voisinage. Citons par exemple :

2.1 Définirles voisins 35FIGURE2.1 -Codification desrelations spatiales

Source: TIEFELSDORF1998

36Chapitre2.Codifier lastr ucture dev oisinage-au niveaudesindividus : lesliens d"amitié,la fréquenced escommunications, lescitations

dans lesarticles derecherche scientifique; -au niveaudesentreprises : lesliaisons siège-filiale,les similitudesen termesde marchés; -au niveauinternational : lesalliances stratégiques,les fluxcommerciaux, l"appartenance commune àune org anisation,leséchangesculturels,lesflux migratoires. Les sectionssui vantesdétaillentdifférentesspécifications dev oisinage.

L"objet"liste dev oisins"en R

Le packagespdeppermet dedéfinir lesrelations dev oisinageentre objetsspatiaux. DansR,la

classe d"unobjet définitl"ensemble deses propriétéset laf açondont le statisticienpeut l"utiliser.

Les relationsde voisinage sontenregistréesdans unobjet declassenb. Soitnobservationsspatiale setvoisins_nbl"objet spatialcontenant lesrelations dev oisinage

associées.voisins_nbest uneliste delongueur n. Chaqueélément [i]de laliste contientun vecteur

avecl"inde xdesvoisinsdel"élément d"index i. Si[i]n"a pasde voisins, lalistecontientuniquement

0. Lali stecontientégalement unv ecteurdecaractèresassociés àchaque zonedevoisinage ,

ainsi qu"unev aleurlogiqueindiquantsi larelation estsymétrique oupas (voir figure2.2). Les informations principalessur l"objetvoisins_nbpeuventêtre obtenuesgrâce àla fonction: summary(voisins_nb)

La documentationdu packagespdepdonne deplus amplesinformations (B IVANDet al.2013b). FIGURE2.2 -La listede voisins dansspdep

2.1.2Définir lesv oisinsen s"appuyantsur ladistance Dès lorsqu"on disposed"un ensemblede pointsrépartis surle territoire,on peutcalculer les

distances entreeux. Cespoints peuvent êtredes lieuxparticuliersoùl"information aété observée,

ou l"ensembledes pointsreprésentatifs dechaque zone,par ex empleleur centroïde.Dans cecas,

l"hypothèsesous-jacente estque larépartition dela valeur dela variable d"intérêtau seindechaque

zone estsuf fisammenthomogènepourquel"approximation del"attrib uerà ununique pointne soit pas tropgrossière.

Les graphesde voisinage matérialisentlesliensentre lesdif férentesentités. Onles définitde

façonà cequ "ilsreprésentent leplusfidèlementpossible lastructure spatialesous-jacente. Ile xiste

de nombreuxgraphes dev oisinagedif férents.Nousprésenterons icilesgraphesfondéssurdes notions géométriqueset surles voisins lesplus proches. Graphesde voisinage fondéssurdes notionsgéométriques Latriangulation deDelaunay est uneméthode géométriquequi relieles pointssous formede triangles telsque l"angleminimal del"ensemble destriangles soitmaximisé (cettetriangulation

2.1 Définirles voisins 37cherche àéviter lestriangles "allongés"),v oirfigure 2.3et 2.5a.Latriangulationde Delaunay

possède d"intéressantespropriétés géométriqueset mathématiques. Onpeut cependantaffiner la

notion dev oisinage.FIGURE2.3 -T riangulationdeDelaunayassociée àdif férentespositions despoints Aet B

Source: Gustavo [CCBY -SA3.0(https://cr eativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], de

WikimediaCommons Legraphe dela sphère d"influencerelie deuxpoints sileurs "cerclesdu voisin leplus proche"

se coupent.Le "cercledu voisin leplus proche"d"unpointP estle plusgrand cerclecentré en P etqui necontient pasd"autres pointsque P(v oirfigure 2.4et 2.5b).Les graphesde lasphère d"influence nesont pasnécessairement connectés,c"est-à-dire quetous lespoints del"ensemble

d"étude nesont pasforcément reliésentre eux.FIGURE2.4 -Le graphede lasphère d"influenced"un ensemblede points

Source: TOUSSAINT2014Legraphe deGabriel relie deuxpoints pietpjsi etseulement sitous lesautres pointssont en

dehors ducercle dediamètre [pi;pj]. Legraphe deGabriel éliminecertaine desliaisons dugraphe de Delaunay,voir figure2.5c. Legraphe desv oisinsrelatifsconsidère quedeux pointspietpjsont voisinssi d(pi;pj)max[d(pi;pk);d(pj;pk)]8k=1;:::;n k6=i;j(2.2) avecd(pi;pj)la distanceentre pietpj. Legraphe desv oisinsrelatifs imposemoinsdeconne xions que latriangulation deDelaunay oule graphede lasphère d"influence,v oirfigure 2.5d.TOUSSAINT

1980 jugequ"il s"adaptemieux auxdonnées enimposant lemoins deliaisons.

38Chapitre 2. Codifier la structure de voisinageLesgraphesdevoisinageprésentésicisonttousdessous-graphesdelatriangulationdeDelaunay

(voir figure 2.5). Ils ont l"avantage de ne laisser aucune unité sans voisins. En revanche, ils ne sont

implémentés en R qu"avec la distance euclidienne, alors que d"autres types de distance, comme la

distance du grand cercle, peuvent être plus adaptées à certaines études. Application avec Rlibrary(rgdal)# Pourimp orterles fic hiersMIF /MID library (maptools) Pour importer les fichiers

Shapefile

library (tripack) Pour c alculer les v oisins bas s sur la distan ce library (spdep)

Importation

du fichier spatia l arr75 readOGR( ArmF TAB ArmF

Voisins

fond s sur la notion de graphe Le fichier en entr e est une matrice de coordonn es g ographiques ou un objet de type

S patialPoints

coords coordinates(ar r75) IDs row names as (arr75, data frame

Triangulation

de

Delaun ay

Sy4 _ nb tri2nb( coords row names =IDs) plot (arr75, border= lightgray plot (Sy4 _ nb,coordinates(arr75), add =TRUE, col red

Graphe

de la sph re d influence Sy5 _ nb graph2nb(soi.g raph(Sy4 _ nb, coords row names =IDs) plot (arr75, border= lightgray plot (Sy5 _ nb,coordinates(arr75), add =TRUE, col red

Graphe

de

Gabriel

Sy6 _ nb graph2nb(gabri elneigh( coords row names =IDs) plot (arr75, border= lightgray plot (Sy6 _ nb,coordinates(arr75), add =TRUE, col red

Graphe

des voisins relatifs Sy7 _ nb graph2nb(relat iveneigh( coords row names =IDs) plot (arr75, border= lightgray plot (Sy7 _ nb,coordinates(arr75), add =TRUE, col red )Graphes de voisinage fondés sur les voisins les plus proches Une deuxième méthode consiste à sélectionner comme voisins leskpoints les plus proches (figure 2.6). Cette méthode a l"avantage de ne laisser aucun point sans voisin, ce qui n"est pas

nécessaire pour conduire une analyse spatiale, mais reflète en général mieux la réalité (il est rare

qu"une zone géographique soit complètement isolée). En revanche il est parfois difficile d"identifier

la valeurkqui reflète les vraies relations spatiales sous-jacentes. Les graphes fondés sur lesk

voisins les plus proches ne sont pas nécessairement symétriques. On peut également ne conserver que les points situés à une certaine distance. La fonction

2.1 Définirles voisins 39(a) TriangulationdeDelaunay (b) Graphede lasphère d"influence(c) Graphede Gabriel(d) Graphedes voisins relatifs

FIGURE2.5 -Quatre graphesde voisinage desarrondissements parisiensfondéssurdes notions géométriques

40Chapitre 2. Codifier la structure de voisinagenbdistsde R permet de calculer le vecteur des distances entre les voisins. On peut ainsi obtenir

la distance minimaledminau-delà de laquelle tous les points ont au moins un voisin, puis utiliser la fonctiondnearneighbpour retenir comme voisins les seuls points situés entre les distances0

etdmin. Cette méthode "de la distance minimale" n"est pas adaptée aux données irrégulièrement

espacées car la distance minimale nécessaire pour qu"un point relativement isolé ait au moins un

voisin est beaucoup plus élevée que la distance du plus proche voisin d"un point situé dans une

zone dense. Il y aura donc de grandes disparités dans le nombre de voisins (BIVANDet al. 2013b), voir figure 2.6d. Application avec R - Source : BIVANDet al. 2013b#Graphesfond éssur les plus proches voisins Sy8 _ nb knn2nb(knearne igh( coords ,k=1), row names =IDs) Sy9 _ nb knn2nb(knearne igh( coords ,k=2), row names =IDs) Sy10quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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