[PDF] M11 – RÉFÉRENTIEL GÉOCENTRIQUE ET RÉFÉRENTIEL

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M11 - R´EF´ERENTIEL G´EOCENTRIQUE

ET R´EF´ERENTIEL TERRESTRE

OBJECTIFS

O terre, dans ta course immense et magnifique,

L"Am´erique, et l"Europe, et l"Asie, et l"Afrique Se pr´esentent aux feux du Soleil tour `a tour; Telles, l"une apr`es l"autre, `a l"heure o`u naˆıt le jour,

Quatre filles, l"amour d"une maison prosp`ere,

Viennent offrir leur front au baiser de leur p`ere.

VictorHugo(1840-1842 ) -Derni`ere gerbe[1902]

•Ce chapitre pr´ecise les notions dechamp gravitationnel (§I.1) et dechamp de pesanteur- donc depoids(§). •La prise en compte ducaract`ere non galil´eendu r´ef´erentiel d"´etude permet d"interpr´eter diverses observa- tions comme : - le ph´enom`ene desmar´ees, ´etudi´e ler´ef´erentiel g´eocentrique(§)

- ou celui de lad´eviation vers l"estd"un objet en chute libre, ´etudi´e dans ler´ef´erentiel terrestre

•Le principe fondamental de la dynamique s"´ecrivant dans un r´ef´erentielgalil´een, on cherchera

`a ´etablir les crit`eres permettant de consid´erer les r´ef´erentiel g´eocentriques ou terrestre comme

desr´ef´erentiels galil´eens approch´es(§). I Dynamique dans le r´ef´erentiel G´eocentrique - Mar´ees

I.1 Prologue et parenth`ese :

a Loi de Newton et force de gravitation : ♦D´efinition : Force et masse gravitationnelles :

Deux points mat´eriels de masses" gravita-

tionnelle » am?1etm?2exercent une force de gravitation l"un sur l"autre donnée par la loi deNewton: r2-→er avec???-→ er=-→e1→2etr=M1M2

Gla constante de gravitation universelle :

G= 6,6726.10-11uSI(N.m2.kg-2).

a. On parle aussi de masse" graves ».

♦D´efinition :Comme pour les forces ´electrostatiques, on d´efinit lechamp de gravitation

cr´e´e au pointMpar une massem?Oplac´ee au pointOle champ de vecteur-→G(M)tel qu"une masse testm?plac´ee enMsubit la force : -→F≡m?-→G(M).

On en d´eduit l"expression duchamp

gravitationnel-→G(M)cr´e´e parm?Oau pointM: -→G(M) =-Gm?O r2-→er

OM ( )

m* m o=mT**rFO M=-Gm*m* ero r 2 er =eO M M11I. R´ef´erentiel g´eocentrique et mar´ees2008-2009 ©Unit´e d"un champ gravitationnel :u(-→G(M)) =u?Forcemasse? =N.kg-1=m.s-2 zPropri´et´e :Lorsque ladistribution de massem?Oest de sym´etrie sph´erique, de centre O, on montreaqu"`a l"ext´erieur de la distribution, le champ gravitationnel est semblable au champ cr´e´e par une masse identique ponctuelle plac´ee au centreO.b a.ÜCf Cours´Electrostatique. b. centre d"inertie de la distribution puisque celle-ci est sph´erique.

Hypoth`ese de l"astre `a sym´etrie sph´erique :Pour un astre, nous ferons l"approximation qu"il

est desym´etrie sph´erique. Tout se passe donc, du point de vue d"un pointMext´erieur `a l"astre,

comme si la masse de l"astre ´etait plac´ee en son barycentreO. Msubit donc la force gravitationnelle-→F=m?--→

GAs(M) associ´ee au champ gravitationnel :

GAs(M) =-Gm?Asr2-→ero`u?-→erest le vecteur unitaire de direction--→OM m Asest la masse gravitationnelle de l"astre de barycentreO

©Application `a la Terre :Dans le cadre de l"astre `a sym´etrie sph´erique, `a la distancerdu

centreOde la Terre assimil´ee `a une sph`ere, un corps ponctuelMde massem?subit la force d"attraction terrestre (

Cf. sch´ema p. 1) :

F=-Gm?m?T

r2-→er? -→F=m?-→

GT(M) =-Gm?Tr2-→ero`ur=OM

erle vecteur unitaire de direction--→OM m

Tla masse gravitationnelle de la Terre

A.N. :Intensit´e du champ de gravitation cr´e´e par la Terre, de massem?T= 6.1024kg: (1)sur un pointM`a la surface de la Terre de rayonRT?6400km: G

T(M) =Gm?T

R2T?9,77m.s-2≈10m.s-2

(2)sur un satellite artificiel en orbite g´eocentrique, donc `al"altitudeh= 35820km: G

T(M) =Gm?T

(RT+h)2?0,22m.s-2≈0,2m.s-2 b Mouvement de la Terre dans le r´ef´erentiel de Copernic :

Dans le r´ef´erentiel de

Copernic, la trajec-

toire de la Terre est contenu dans un plan appel´e´ecliptique; en n´egligeant les plan`etes, son orbite est elliptique de foyer S.

Le point de son or-

bite le plus ´eloign´e du

Soleil, l"aph´elie, est `a

152 millions dekm, et

RC S ωT RG

Solstice

d"hiver O

RGωT

Equinoxe

d"automne RG RG O OO

Solstice

d"eteEquinoxe de printemps

ωTωT

le plus proche, lep´erih´elie, est `a 147 millions de kilom`etres. →on peut donc assimiler, en premi`ere approximation, la trajectoire deO`a un cercle.

`A l"´echelle du syst`eme solaire, on assimile la Terre `a soncentre d"inertieG, qui co¨ıncide avec

son centreOdans l"approximation de la sym´etrie sph´erique.

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/Qadri J.-Ph.

2008-2009I. R´ef´erentiel g´eocentrique et mar´eesM11

ÜDonc, on affecte `a ce pointO`a la foisla masse gravitationnellem?Tetlamasse inertielle m Tde la Terre - la masse inertielle, ou masse inerte, traduisant l"opposition au mouvement du barycentre.

•Dans le r´ef´erentiel deCopernicRC, galil´een, le mouvement d"ensemble de la Terre est r´egi par

lePrincipeFondamental de laDynamique appliqu´e `a son centre d"inertieO: m

T----→aO/RC=?

im

T-→

Gi(O) o`u Gi(O) est le champ gravitationnel cr´e´e enOpar l"astren◦i (Soleil, Lune, Jupiter, Mars, V´enus, autres plan`etes, satellites, com`etes ...). Soit: m

T----→aO/RC=m?T-→

Ga(O),

en introduisant lechamp gravitationnel dˆu `a tous les astres autres que la TerreenO:

Ga(O)≡?

i-→ Gi(O)avecGi(O) =GmiD2io`u?mimasse de l"astren◦i d i=OOidistance entre l"astre et la Terre

•L"exp´erience montrant qu"il y a ´egalit´e entre masse inertielle (mT) et masse grave (m?T) (ÜCf

§IV.4), on a :

?mT----→aO/RC=??m?T-→

Ga(O)-→

aO/RC=-→

Ga(O)1?

Astre

SoleilLuneV´enusMarsJupiter

Gi(O) (enm.s-2)1.10-23.10-52.10-76.10-94.10-7

Ordre de grandeur des champs principaux de gravitation exerc´es par les astres sur la Terre Commentaire des ordres de grandeurs :Les autres astres du syst`emes solaires, soit plus

´eloign´es, soit moins massifs, sont totalement n´egligeables. Les valeurs confirment que le mouve-

ment de la terre n"est principalement dˆu qu"`a la pr´esencedu Soleil, et cela avec une approximation

inf´erieure `a 1%, la Lune intervenant ensuite. Lorsqu"on n´eglige l"attraction gravitationnelle de

la Lune, on retrouve le caract`ere (approch´e) elliptique de la trajectoire du centre d"inertieOde

la Terre, avec le Soleil en un des foyers (ÜCf CoursM7). I.2 Principe Fondamental de la Dynamique dans le r´ef´erentiel de Copernic •On consid`ere le syst`emeS={M,m}o`uMest assimilable `a un point mat´eriel de massem.

Lorsqu"on l"´etudie dans le r´ef´erentiel deCopernic, qu"on consid`ere galil´een pour toute exp´erience

ayant lieu dans le syst`eme solaire,

1les seules forces `a prendre en compte sont les forces issue

des interactions deMavec d"autres corps mat´eriels (" forces vraies ») : m----→aM/RC=-→F+m-→

GT(M) +m-→

GT(M)est la force gravitationnelle due à la Terre m-→

Ga(M)est la force gravitationnelle due auxastres autres que la Terre-→Fest la résultante des forces autres quecelles de gravitation

1. en toute rigueur,RCn"est pas galil´een puisqu"il est acc´el´er´e par le champ de gravitation-→Gcr´e´e par le reste

de la Voie Lact´ee. Mais comme la taille du syst`eme solaire (10 -3ann´ees-lumi`ere) est ridicule devant celle de notre

galaxie (100000 ann´ees-lumi`ere),-→Gpeut ˆetre consid´er´e comme uniforme avec une tr`es bonne approximation `a

l"´echelle du syst`eme solaire. Alors, `a cette ´echelle,RC´etant soumis `a un champ de gravitation uniforme, tout se

passe comme siRC´etait un r´ef´erentiel galil´een (ÜCf CoursM10). Qadri J.-Ph.http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3 M11I. R´ef´erentiel g´eocentrique et mar´ees2008-2009 I.3 Principe Fondamental de la Dynamique dans le r´ef´erentiel g´eocentrique ♦D´efinition :(

Cf. sch´ema p. 2)

Ler´ef´erentiel g´eocentriqueRGa pour origine le centre d"inertieOde la Terre, et

les axes du rep`ere cart´esien auquel il est li´e sont parall`eles `a ceux du r´ef´erentiel de

Copernic.

Il est donc en translation elliptique, quasi-circulaire parrapport `aRC.

Conséquence :RGn"étant pas en translation rectiligne uniforme par rapport àRCconsidéré

galiléen, le référentiel géocentrique n"est pas galiléen. Un bilan des forces subies parMdansRG

doit tenir compte desforces vraiesmais également desforces d"inertied"entraînement et de

Coriolis:

m----→aM/RG=-→F+m-→

GT(M) +m-→

ie=-m-→ae(M) note la force d"inertie d"entraînement et-→FC=-m-→aC(M) note la force d"inertie deCoriolis ©Force d"inertie de Coriolis :elle est nulle carRGest en translation par rapport àRC:

RG/RC=-→0?

©Force d"inertie d"entraînement :elle s"exprime à partir de l"accélération du point coïncidant

M ?évalué dans le référentiel absoluRC: F ie=-m-→ae(M) =-m-----→aM?/RC AvecM?le point(1)qui coïncide avecM(2)à l"instantt(3)et qui est fixe dansRG. Or, dans un mouvement de translation d"un solide (géométrique) commeRG: tous les points de R Gont même vecteur vitesse et donc même accélération.

On a donc :-----→vM?/RC=----→vO/RC?-----→aM?/RC=----→aO/RCavecOcentre d"inertie de la Terre, lié àRG

Finalement :

Fie=-m-→ae(M) =-m-----→aM?/RC=-m----→aO/RC3?

I.4 Le terme des mar´ees

D"après ce qui précède, leP.F.D.pour un point matérielMétudié dansRG: s"écrit :

P.F.D.

RG2?---→

3?m----→aM/RG=-→F+m-→

GT(M) +m-→

Ga(M)-m----→aO/RC

P.F.D.RG

GT(M) +m(-→

Ga(M)--→

Ga(O))

♦D´efinition :On appelle : -terme des mar´ees(ouchamp de gravitation diff´erentielle) l"expression : -→α(M) =-→

Ga(M)--→

Ga(O)o`u l"indice"a» représente l"influence de tous les astres autres que la Terre; -champ de force des maréesl"expression : fm=m-→α(M). Alors, leP.F.D.pour un point matérielMétudié dansRGs"écrit : m----→aM/RG=-→F+m-→

GT(M) +m-→α(M)

4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/Qadri J.-Ph.

2008-2009I. R´ef´erentiel g´eocentrique et mar´eesM11

I.5 Allure du champ de force de mar´ee dˆu au Soleil ou `a la Lune

• SoitS={M,m}un point matériel du globe terrestre. On se limite à la force des marées qu"il

subit :-→fm=m-→α(M) =m(-→

Ga(M)--→

Ga(O)) =?

im(-→

Gi(M)--→

Gi(O))

Astre

LuneSoleilVénusMarsJupiter

Terme des marées

(enm.s-2)|-→

Gi(M)--→

Gi(O)|1.10-65.10-77.10-111.10-128.10-12

Champs principaux de gravitation différentielle moyens exercés par les astres sur la Terre (OM=RT)

• Le terme des marées s"appelle ainsi parce qu"il est à l"origine du phénomène des marées, qu"il

s"agisse des marées océaniques, des marées terrestres ou des marées atmosphériques. Les valeurs du tableau ci-dessus, que nous justifieront bientôt, montrent que les influences de

la Lune et du Soleil sont prépondérantes, et que celles des autres astres sont négligeables pour

comprendre le phénomène des marées. Bien que l"influence de la lune soit la plus importante, il est plus simple de raisonner, dans

un premier temps, sur la force des marées due au seul Soleil en se souvenant que le référentiel

géocentrique est non galiléen par rapport au référentiel deCopernic: fSm(M) =m-→αS(M) =m-→

GS(M)-m-→

GS(O) =----→FS→M+-→FSie

avec :

FS→M=m-→

GS(M)est

laforce gravitationnelle que le Soleil exerce sur M.

Il faut noter qu"elle dé-

pend du pointMet de sa position par rapport au

Soleil.

Elle diminue lorsquer=

SMaugmente.

FSie=-m-→

GS(O)est la

contribution du Soleil à laforce d"inertie d"en- traînementque subit le pointMdansRG.

Il faut noter qu"elle est

uniforme: elle est indé- pendante du pointMap- partenant au globe ter- restre. OAB C DS OAB C DS FieS FieS FieS

FieSFieS

FS A

fmS fmS fmS fmS fm =0S

FS O

FS D

FS B

FS C

• Sices deux forces s"opposentparfaitement au centreOde la Terre, ce n"est plus le cas partout ailleurs :

- les points de lasurface terrestre ensoleilléesont plus proche du Soleil que ne l"est le centre de

la Terre→l"attraction gravitationnelle du Soleil l"emporte sur la force d"inertie d"entraînement;

laforce de maréerésultante est dont globalement dirigéevers le Soleil.

- les points de laface nocturnede la Terre sont plus éloignés du Soleil que ne l"est le centre de la

Terre→l"attraction gravitationnelle du Soleil est plus faible que la force d"inertie d"entraînement;

laforce de maréerésultante est dont globalement dirigéevers les étoilesopposées au Soleil par

rapport àO. Qadri J.-Ph.http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/5 M11I. R´ef´erentiel g´eocentrique et mar´ees2008-2009 .I.6 Calcul du terme des mar´ees dˆu `a un astre (th´eorie statique) Hypothèses de la théorie statique des marées : - on assimile la Terre à unesphèrede rayonRet de centreO; - la terre est supposéefixedans le référentiel géocentriqueRG(Oxyz)(on ne tient pas compte de sa rotation autour de l"axe des pôles); - l"astre est supposéfixedansRG, de masseMa, de barycentreGdans le plan de l"équateur, à la distancea=OGde la Terre (a=OG?R); - le pointM, de massemest un point de la surface terrestre dans le plan de l"équateur. OAB C D

α(O)=0

α(C)

α(A)

α(D)

α(B)

G xy (RG) M r=MGer = eG M

GAs(M)

Maθ

a=OG R >>R GAs(O) =-GMaOG2---→eG→O=GMaa3--→OGet--→ GAs(M) =-GMaMG2----→eG→M=GMar3--→MG

As(M) =--→

GAs(M)---→

GAs(O) =GMa?

MG r3---→OGa3? • Nous devons exprimer d"où :----→???--→MG= (a-Rcosθ)-→ex-Rsinθ-→ey r

3=?--→MG?3=?

(a-Rcosθ)2+R2sin2θ? 3 2 • Il faut également exprimer 1 r3, de manière approchée, en faisant unDéveloppementLimité à l"ordre 1 pour la variable R a?1. On fait d"abord apparaître cette variable dans l"expression der3: r 3=? a

2-2Racosθ+R2?

3 2=? a 2? 1-2R acosθ+R2a2?? 3 2=a3? 1-2R acosθ+R2a2? 3 2 1 r3=1a3?

1-2Racosθ+R2a2?

-3 2?1 a3? 1 + 3

Racosθ-

?????32? Ra? 2 DL

1enRa?

• On en déduit le terme des marées exprimé dans la base(-→ex,-→ey):

As(M) =GMa?

MG r3---→OGa3? =GMa 1 a3?

1 + 3Racosθ?

(a-Rcosθ)-1a2 1 a3?

1 + 3Racosθ?

(-Rsinθ) +0

Soit, toujours en se limitant à l"ordre1enR

a:

As(M) =GMa

1 a2?

1 + 3Racosθ??

1-Racosθ?

-1a2=GMaa22Racosθ-3 ?????Ra? 2 cos 2θ ex,-→ey) 1 a2?

1 + 3Racosθ??

-Rasinθ?-Rasinθ-3 ?????Ra? 2 cosθsinθ

6http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/Qadri J.-Ph.

2008-2009I. R´ef´erentiel g´eocentrique et mar´eesM11

Finalement :--→αAs(M) =GMaa3(2Rcosθ-→ex-Rsinθ-→ey), c"est-à-dire :

αAs(M) =GMa

a3(2x-→ex-y-→ey) Soit, pour les quatre points particuliers du schéma :

θ= 0M=A

αAs(A) = 2GMaR

a3-→ex

θ=π2M=B

αAs(B) =-GMaR

a3-→ey

θ=π M=C--→αAs(C) =-2CMaR

a3-→ex

θ=3π2M=D

αAs(D) =GMaR

a3-→eyCl :le champ de force des marées tend à " écarteler » les points situés à la surface de la Terre. →Ceci explique qu"au voisinage d"une pla- nète les forces de marées peuvent disloquer un satellite (CfEx-M11.5)

I.7 Mar´ees oc´eaniques

" À marée haute, le flot la séparait de la banque

2, et la Corne était isolée. À

marée basse, on y arrivait par un isthme de roches praticables. Le curiosité de ce rocher, c"était du côté de la mer, une sorte de chaise naturelle creusée par la vague et polie par la pluie. cette chaise était traître. on y était insensiblement amené par la beauté de la vue; on s"y arrêtait " pour l"amour duprospect » comme on dit à Guernesey; quelque chose vous retenait; il y a un charme dans les grands horizons. »

VictorHugo-Les travailleurs de la mer()

©Simplification du problème :

Hyp1 :On suppose la Terre sphérique, recou-

verte entièrement d"eaux, lesquelles eaux sont réparties uniformément en l"abscence du terme de marée (au repos dansRG).

Hyp2 :On suppose la Lune (en fait, son centre

d"inertieL) dans le plan de l"équateur. A.N. :Retour sur les valeurs maximales des termes de marées dus à la Lune etau Soleil :

Si on choisit comme valeur de référenceg0, champ de gravitation terrestre à la surface du globe :

g

0=?-→

GT(r=RT)?=GMT

R2T?9,8m.s-2

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