2. Fonctions affines
Donnez les coordonnées du point d'intersection des droites f (x) = 3x + 4 et g(x) = x – 2. Exercice 2.10. Soit le graphique ci-dessous : a. À partir du dessin
Intersection de deux droites et système à deux inconnues.
Dans un repère O; i j
Définition Cest le point de rencontre entre deux fonctions dans un
Il est préférable d'utiliser la méthode de comparaison de substitution ou de réduction pour y parvenir. Point d'intersection entre deux droites. 1. Deux
Représentation paramétrique de droites de plans Applications
1.2 Intersection de deux droites . Soit D une droite passant par un point A (xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur.
Droites sécantes perpendiculaires et parallèles - LEtudiant
1 May 2020 A est le point d'intersection de ( )d et ( ') d . 2) Droites perpendiculaires. Définition. Deux droites perpendiculaires sont deux droites ...
6e - Droites sécantes perpendiculaires et parallèles
Ce qui revient à dire que : O est le point d'intersection des droites (d1) et (d2). II) Droites perpendiculaires. 1) Définition : Deux droites
EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS
Deux droites seront sécantes si elles n'ont pas le même coefficient directeur. Elles n'ont alors qu'un seul point d'intersection. Les coordonnées de ce point
Séquence 2 : Les droites I./ Le point Définition : Le point est le plus
Remarque : L'intersection de deux droites forme un point. Le point se situe ici. II./ Les droites. Définition : Une droite est composée d'une infinité de
Intersections
vecteurs directeurs des droites ? et ? . Le point d'intersection de ces deux droites peut être déterminé grâce au produit vectoriel par un calcul en
Chapitre 2 Representation graphique des fonctions
Connaissant deux points d'une droite trouver Tequation cartesienne Exemple 2.3 On va trouver le point d^intersection de deux droites par eli- mination.
Représentation paramétrique
de droites, de plansApplications
Christophe ROSSIGNOL
Année scolaire 2019/2020Table des matières
1 Représentations paramétriques
21.1 Définition
21.2 Intersection de deux droites
22 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace
4Table des figures
Liste des tableaux
1 Positions relatives de deux droites
52 Positions relatives d"une droite et d"un plan
53 Positions relatives de deux plans
5Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
11 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES
1 Représentations paramétriques d"une droite de l"Espace
1.1 Définition
On se place dans un repère
O;!{;!|;!k
de l"Espace. SoitDune droite passant par un pointA(xA;yA;zA)et de vecteurdirecteur!u0 @a b c1 A M(x;y;z)est un point deDsi et seulement si il existe un réelttel que!AM=t!u.En passant aux coordonnées, on obtient :
8>< :xxA=at yyA=bt zzA=ctc"est-à-dire8 :x=xA+at y=yA+btz=zA+ctDéfinition :On appellereprésen tationparamétrique ou système d"équations paramétriques de la droite
Dpar un pointA(xA;yA;zA)et de vecteur directeur!u0 @a b c1 A le système : 8 :x=xA+at y=yA+bt z=zA+ctavect2RLe réeltest appelép aramètre.Remarques :1.Un p ointMest surDsi et seulement si il existe un réelttel que les coordonnées deM
vérifie le système d"équations paramétriques deD. 2. Récipro quement,si la droite admet comme équation paramétrique8 :x=x0+t y=y0+t z=z0+ t, cette droite passe par le pointM0(x0;y0;z0)et admet comme vecteur directeur!v0 1 A 3.P ourobtenir une représen tationparamétrique d usegmen t[AB], il suffit de prendre comme vecteur
directeur!AB, comme point de la droite le pointAet de prendret2[0; 1]. 4.P ourobtenir une représen tationparamétrique de la demi-droite [AB), il suffit de prendre comme
vecteur directeur!AB, comme point de la droite le pointAet de prendret2[0; +1[. Exercices :16, 18, 19 page 299 et 86, 87 page 3101- 107 page 3142- 115 page 3163- 119, 120, 121 page 3164[TransMath]
1.2 Intersection de deux droites
Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l"Espace sont rappelées dans le tableau
1 Remarque :Dest une droite de vecteur directeur!uetest une droite de vecteur directeur!v.Si !uet!vsont colinéaires :
Si Detn"ont pas de point commun, elles sont strictement parallèles; Si Detont un point commun, elles sont confondues.1. Représentation paramétrique d"une droite.2. Type BAC.
3. Points équidistants de trois points.
4. Segments, demi-droites.
21 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES 1.2 Intersection de deux droites
Si !uet!vne sont pas colinéaires : Si Detn"ont pas de point commun, elles sont non coplanaires; Si Detont un point commun, elles sont sécantes. %Exercice résolu :Dans un repèreO;!{;!|;!k
de l"Espace, on considère les droitesD1,D2etD3 de représentations paramétriques : D 1:8 :x=1 + 2t y= 4t z= 53tt2RD2:8 :x=6t+ 8 y=12t+ 1 z= 9t2t2RD3:8 :x=t+ 6 y= 3t1 z=2t+ 2t2RÉtudier les positions relatives deD1etD2puis deD1etD3.Positions relatives deD1etD2:Un vecteur directeur deD1est!u0
@2 4 31A et un vecteur directeur deD2est!v0 @6 12 91
A On a !v=3!u. Les vecteurs!uet!vsont colinéaires donc les droitesD1etD2sontparallèles. Reste à déterminer si les deux droites sontstrictement parallèlesouconfondues.
Le pointA(1; 0;5)est un point deD1.
A2 D2()8
:6t+ 8 =112t+ 1 = 0
9t2 = 5()8
:t=32 t=112 t=79Ce qui est impossible. Par suite,A =2 D2.
Les droitesD1etD2sont doncstrictement parallèles. Positions relatives deD1etD3:Un vecteur directeur deD1est!u0 @2 4 31A et un vecteur directeur deD3est!w0 @1 3 21
A
Les vecteurs
!uet!wne sont pas colinéaires donc les droitesD1etD3sont soitsécantes, soitnon coplanaires. On va donc chercher un éventuel point d"intersection àD1etD3. M(x;y;z)2 D1\ D3()il existe deux réelstetstels que8 :x=1 + 2t y= 4t z= 53tet8 :x=s+ 6 y= 3s1 z=2s+ 2On a donc :
8>< :1 + 2t=s+ 64t= 3s1
53t=2s+ 2()8
:s= 2t74t= 3(2t7)1
53t=2(2t7) + 2()8
:s= 2t74t= 6t22
53t=4t+ 16()8
:s= 15 t= 11 t= 11 Les droitesD1etD3sont doncsécanteset leur point d"intersection a comme coordonnées : 8>< :x=1 + 211 = 21 y= 411 = 44 z= 5311 =28 3RÉFÉRENCES
Remarques :1.A ttention!Lors de la rec herched"un év entuelp ointd" intersectionen tredeux droites, il
fautabsolumentdonner deux noms différents aux deux paramètres. 2.Si les droites a vaientété non coplanaires, on aurait, lors de la résolution du système, trouv édeu x
valeurs différentes pourt(ous), ce qui est impossible. Exercices :20, 21, 22, 23 page 300; 90 page 310 et 92, 93 page 3115- 108, 109 page 3146[TransMath]2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace
Un planPest caractérisé par la donnée d"un pointA(x0;y0;z0)et de deux vecteurs directeurs~u0
@a b c1 A et ~v 0 @a0 b 0 c 01 A non colinéairesM(x;y;z)2 P ()!AM,!uet!vcoplanaires
!AM=t~u+t0~v, avect;t02R ()8 :xx0=at+a0t0 yy0=bt+b0t0 zz0=ct+c0t0; t;t 02R 8 :x=x0+at+a0t0 y=y0+bt+b0t0 z=z0+ct+c0t0; t;t 02RLe système obtenu est appelé
représen tationparamétrique du plan P.On peut utiliser cette représentation paramétrique pour étudier les positions relatives d"une droite et d"un plan
(voir tableau 2 ) ou de deux plans (voir tableau 3Remarque :Il existe un moyen plus simple d"étudier ces positions relatives. il sera vu dans le chapitre
" Orthogonalité, produit scalaire » et fait intervenir les équations de plans.Exercices :94, 95, 96, 97 page 311[TransMath]
Références
[TransMath]T ransMATHT ermS, Programme 2012 ( Nathan)
24 5. Positions relatives de deux droites.
6. Type BAC.
4RÉFÉRENCESRÉFÉRENCESPositions relatives deD1etD2CoplanairesNon coplanairessécantesstrictement parallèlesconfondues
un point commun uniquepas de point communtous les points sont communsil n"existe pas de plancontenant les deux droitesTable1 - Positions relatives de deux droitesPositions relatives deDetPsécantsparallèles
DetPont un seul point
communDetPn"ont aucun pointcommunDest incluse dans le planP.Table2 - Positions relatives d"une droite et d"un planPositions relatives des plansP1etP2sécantsparallèles
confondusstrictement parallèlesou disjointsleur intersection est la droiteDleur intersection est un planleur intersection est videTable3 - Positions relatives de deux plans
5quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48[PDF] Point d'intersection entre Cg et axe des ordonnées
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