LA DÉRIVÉE
Dérivée des fonctions usuelles . Définition. La dérivée d'une ... Graphiquement la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente.
Héritage simple
Lors de la définition de la classe dérivée il est possible de spécifier le mode de dérivation par l'emploi d'un des mots-clés suivants:.
LA DÉRIVÉE SECONDE
déterminés avec cette simple première dérivée. Définition intuitive : Une fonction f est dite convexe sur un intervalle si pour toute.
La dérivée dune fonction
Mar 3 2022 3.2 définition de la dérivée d'une fonction. André Lévesque. 3-17 ... résultat
Annexe A: dérivées et intégrales : un bref survol LA DÉRIVÉE
La procédure que nous venons de décrire correspond à la définition de la dérivée d'une fonction en un point donné. Et c'est pour cette raison qu'on dit que
Chapitre 6 Héritage en Java
L'héritage peut être simple ou multiple. Il représente la relation: EST-UN L'héritage est mis en œuvre par la construction de classes dérivées.
Héritage
Simple: la classe dérivée n'a qu'une seule classe de base. C'est un héritage simple. ... définition du constructeur de la classe hydravion */.
Chapitre 15 Héritage
la fonction affiche de la classe dérivée. - La nouvelle définition de avion::affiche cache l'ancienne définition (celle de véhicule::affiche).
Chapitre 2 - Taux de variation différentielles et dérivées
et dérivées. 2.1 Taux de variation moyen. Définition 2.1. Soit f une fonction réelle. Si x varie de a `a b on note par ?x la variation en x : ?x = b?a.
FONCTION DERIVÉE
appelée fonction dérivée de f et se note f '. Formules de dérivation des fonctions usuelles : Fonction f. Ensemble de définition de f. Dérivée f '.
[PDF] LA DÉRIVÉE
Définition La dérivée d'une fonction f en un point notée ? est donnée par: ? lim ? ? ? ? si cette limite existe Graphiquement la dérivée
[PDF] FONCTION DERIVÉE - maths et tiques
Le mot « dérivé » vient du latin « derivare » qui signifiait « détourner un cours d'eau » Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph
[PDF] Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée
1 Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION • Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a f est dérivable en a si
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On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ?I
[PDF] Dérivation
Le type de la dérivation On dérive une fonction en un point et ça donne un nombre mais ça ne marche pas toujours La dérivée de f en a est notée f (a)
[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse Elle permet d'étudier les variations d'une fonction de construire des tangentes `a une courbe
[PDF] Thème 15: Dérivée dune fonction les règles de calcul
amener à la définition suivante: • La dérivée d'une fonction f est une nouvelle fonction ? f définie par : ? f (x) = f (x + ?x)? f (x) ?x lorsque ?x ? 0
[PDF] Chapitre 3: Introduction à la notion de dérivée
Nous généraliserons ce concept de dérivée à différentes fonctions et nous développerons des règles de dérivation Nous nous entraînerons ensuite à les
[PDF] La dérivée dune fonction - Département de mathématiques
Plutôt que d'utiliser la définition de la dérivée pour démontrer ce résultat il est plus simple de le déduire à l'aide de la règle de dérivation d'un produit
[PDF] Dérivée dune fonction - Exo7 - Cours de mathématiques
Dérivée 1 1 Dérivée en un point Soit I un intervalle ouvert de R et f : I ? R une fonction Soit x0 ? I Définition 1 f est dérivable en x0 si le taux
Qu'est-ce qu'une dérivée explication simple ?
Graphiquement, la dérivée d'une fonction correspond à la pente de sa droite tangente en un point spécifique.Comment définir une fonction dérivée ?
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I. Dans ce cas, la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f '.Quels sont les dérivées ?
La dérivée, qu'est-ce-que c'est ? Quand on a une fonction f, on peut calculer une autre fonction que l'on note f ' (à prononcer f prime), et qu'on appelle la dérivée.- La dérivée permet de d'étudier les variations d'une fonction sur son domaine de définition. En terminale ES, la dérivée sert à déterminer les variations de la fonction.
Dans un certain sens, on
peut dire qu"en inventant les techniques du calcul infinitésimal pour étudier le mouvement, Newton introduisait en science la technique du cinéma. Le film n"est en effet qu"une succession d"images fixes d"un objet en mouvement de même le calcul infinitésimal tronçonne le mouvement enétapes qui peuvent être
examinées une à une. Une fois la méthode inventée, les mathématiciens purent considérer le déplacement d"un objet comme la trajectoire d"un point à travers l"espace et arrêter la course de ce point à tout instant pour en déterminer sa vitesse et sonaccélération.Le calcul différentiel (calcul infinitésimal) est un outil qui permet d"étudier lesmouvements. Lorsqu"un mouvement obéit à certaines règles et qu"il peut être missous forme d"équation, le calcul différentiel permet de déterminer les loisauxquelles ses variations obéissent.
Il fut inventé au XVIIe
siècle afin de combler les besoins des scientifiques de cetemps. Avant ce siècle, les Grecs avaient développé des méthodes sophistiquées,d"une très grande complexité afin de cerner les rythmes de variation dumouvement. Leur méthode consistait à décomposer en tranches infiniment petites,
les courbes associées à certains mouvements. En introduisant la représentationgraphique dans sa géométrie analytique (1637), René Descartes ouvrait la voie àses contemporains en leur permettant de visualiser les équations comme unesuccession de points dans un plan. Entre 1665 et 1666, l"Anglais Isaac Newtonconçut le calcul infinitésimal permettant du même coup d"étudier le mouvementde toutes choses. Le procédé de Newton consistait à combiner les possibilités dudécoupage en tranches infinitésimales des Grecs et celle de la représentationgraphique de Descartes pour forger un outil puissant et très simple. Ce procédé
s"avéra d"une telle efficacité qu"en quelques années Newton fut en mesure d"énoncer les lois du mouvement et celles de la gravitation. Ces lois fondamentales de la physique expliquent le fonctionnement du système solaire et l"action sur un corps en mouvement de forces extérieures comme la gravitation ou la traction d"un ressort. Les avions, les télévisions, les bombes, les ponts, les vaisseaux spatiaux, etc., sont en quelque sorte les conséquences de la découvertede Newton et lui doivent d"exister. Quelque 50 ans avant Newton, Képler mit près de 20 ans à démontrer
ses trois lois relatives au mouvement des planètes. Dans la seconde de ses lois, il démontra que la vitesse d"une planète est fonction de la distance qui la sépare du soleil. Par voie de conséquence les temps mis pour parcourir les portions de trajectoire DE et JA sont égaux et les aires des figures ombrées correspondantes sont égales. Avec le calcul différentiel, un après-midi suffit pour démontrer cette règle ... Personne ne réussit à convaincre Newton de publier sa thèse du calculinfinitésimal, du moins jusqu'au jour ou Gottfried Wilhelm von Leibniz, unmathématicien allemand, recréa de son côté une oeuvre mathématique similaire.Leibniz inventa le calcul infinitésimal en 1675, soit 10 ans après Newton, maispublia sa découverte en 1684, 20 ans avant que le Britannique ne fit connaître sespropres résultats. Les deux hommes s"engagèrent par la suite dans unecontroverse chauvine sur l"antériorité et la nature de leurs travaux.
Aujourd"hui la portée du calcul différentiel dépasse largement sa vocation première soit la compréhension des phénomènes physiques. Cet outil très polyvalent se retrouve partout. En économie, on l"utilise pour prévoir les tendances des marchés. Les biologistes étudient la croissance des populations à l"aide du calcul différentiel. En recherche médicale, on l"utilise pour créer des équipements à rayons X ou à ultrasons. L"exploration spatiale serait impossible sans le calcul différentiel. Les ingénieurs l"utilisent dans la conception des ponts. Les manufacturiers d"équipements sportifs l"utilisent dans la conception de leurs raquettes de tennis ou leurs bâtons de baseball. La liste est pratiquement interminable. Tous les domaines scientifiques utilisent d"une façon ou d"une autre cet outil merveilleux qu"est le calcul différentiel.3.1 taux de variation
André Lévesque
3-23.1 Taux de variation
Considérons une bactérie dont la croissance est définie par la fonction(t) = (t + 1)
2 treprésente un temps en minutes,(t) représente le nombre de bactéries au temps t. Initialement (t = 0), le nombre de bactéries est(0) = (0 + 1)
2 = 1 Après une minute (t = 1), le nombre de bactéries devient(1) = (1 + 1)
2 = 4 ...Pour les quatre premières minutes, on obtient
t (min.) 0 12 34(t)
(nbre de bactéries) 1 4916 25
t (0; 1)(1; 4)(2; 9)(3; 16)(4; 25 f(t)f(t)
On remarque que la croissance des bactéries est de plus en plus rapide.La population double, triple ou quadruple très rapidement.
Ainsi,
de t = 0 à t = 1, l"accroissement des bactéries est de 4 - 1 = 3,de t = 1 à t = 3, l"accroissement des bactéries est de 16 - 4 = 12,
de t = a à t = b, l"accroissement des bactéries sera de (b) - (a).Lorsqu"on étudie la croissance d"une fonction, on s"intéresse souvent àla vitesse à laquelle s"effectue cette croissance sur des intervallesdonnés. On s"intéresse en fait à ce qu"on appelle le taux de variationmoyen de la fonction.
Le taux de variation moyen des bactéries par rapport au temps de t = 0 à t = 1 est de 4 - 1 1 - 0 = 3 bactéries/minute, de t = 1 à t = 3 est de16 - 4
3 - 1 = 6 bactéries/minute, définition 3.1.1 taux de variation moyenLe taux de variation moyen d"une fonction sur l"intervalle [a, b] deson domaine est donné par(b) - (a)
b - a3.1 taux de variation
André Lévesque
3-3Géométriquement, lorsqu"oncalcule le taux de variationmoyen d"une fonction surl"intervalle [a, b], on calculeune pente.
En fait cette quantité corres-pond à la pente de la droitesécante passant par les points(a, (a)) et (b, (b))
Ainsi t(t)
ab(a,(a))(b,(b)) Δy Δx droite sécante notation ΔΔΔΔ (lire delta) le taux de variation moyen = variation de y variation de x Si on note Δy pour la variation de y et Δx pour la variation de x, onaura, taux de variation moyen = Δy Δx exemple 3.1.1Le 20 juin dernier, on a relevé la température T de l"air entret = 11 h et t = 15 h. On a obtenu les températures suivantes:
11 h21°C
12 h25°C
13 h27°C
14 h21°C
15 h23°C
Calculer le taux de variation moyen de la température sur les in-tervalles indiqués et interpréter les résultats obtenus.____________
a) entre 11 h et 13 h ΔT Δt = variation de T variation de t = 27°C - 21°C13 h - 11 h = 3°C/h.
b) entre 11 h et 14 h c) entre 12 h et 14 h3.1 taux de variation
André Lévesque
3-4 exemple 3.1.2 le taux de variation moyen d"une distance par rapport à un temps correspond à une vitesse moyenneUn camion de la compagnie ACME quitte l"entrepôt pour effectuerune livraison. La distance (en kilomètres) parcourue par le camionaprès avoir roulé t heures est donnée par l"équation
s(t) = 15t 2Compléter le tableau:
t0 1 2 3 4 s(t)Calculer le taux de variation moyen de la distance parcourue par lecamion sur les intervalles de temps indiqués. (interpréter les résultatsobtenus).
a) [0, 4] b) [0, 2] c) [3, 4] exemple 3.1.3Quel est le taux de variation moyen de
l"aire d"un carré par rapport à la longueur de son côté lorsque celui-ci passe de 3 cm à 5 cm? ____________ 3 cm 5 cm3.1 taux de variation
André Lévesque
3-5(t) = (t + 1)
2 t (0; 1)(1; 4)(2; 9)(3; 16)(4; 25 f(t)f(t) Reprenons l"exemple du début sur la croissance des bactéries. Serait-il possible d"obtenir le taux de croissance des bactéries à un moment précis; disons à la 4 e minute?Il est possible d"approcher la valeur en question en considérantplusieurs taux de variation moyens.
D"abord à gauche,
sur [3; 4] on a(4) - (3)4 - 3= 25 - 16
1 = 9
sur [3,5; 4] on a(4) - (3,5)
4 - 3,5
= 25 - 12,250,5 = 9,5
sur [3,9; 4] on a(4) - (3,9)
4 - 3,9
= 25 - 24,010,1 = 9,9
sur [3,99; 4] on a(4) - (3,99)
4 - 3,99
= 25 - 24,90010,01 = 9,99
sur [3,999; 4] on a(4) - (3,999)
4 - 3,999
= 25 - 24,9900010,001 = 9,999
Puis à droite,
sur [4; 5] on a(5) - (4)5 - 4= 36 - 25
1 = 11
sur [4; 4,5] on a(4,5) - (4)
4,5 - 4
= 30,25 - 250,5 = 10,5
sur [4; 4,1] on a(4,1) - (4)
4,1 - 4
= 26,01 - 250,1 = 10,1
sur [4; 4,01] on a(4,01) - (4)
4,01 - 4
= 25,1001- 250,01 = 10,01
sur [4; 4,001] on a(4,001) - (4)
4,001 - 4
= 25,010001 - 250,001 = 10,001
Il semble donc qu"à la 4
e minute le taux de croissance sera très près de10 bactéries/minute. Aurait-il été possible de résoudre le problèmesans avoir à utiliser la calculatrice?La réponse est oui. On aurait pu éviter ces longs calculs et résoudre leproblème autrement en utilisant la notion de limite.
3.1 taux de variation
André Lévesque
3-6Voyons comment on procède.
on se souvient que la croissance des bactéries est définie par la fonction(t) = (t + 1)
2 a) On considère l"intervalle de temps [4, t] , b)On trouve le taux de variation moyen de la fonction sur cet in-tervalle,Δy Δt = (t) - (4) t - 4 c) On évalue la limite lorsque t s"approche de 4, lim t→ 4(t) - (4)
t - 4 =lim t→ 4 (t + 1) 2 - 25 t - 4 =00 IND.
=lim t→ 4 (t 2 + 2t + 1) - 25 t - 4 =lim t→ 4 t 2 + 2t - 24 t - 4 =lim t→ 4 (t + 6)(t - 4) t - 4 =lim t→ 4 (t + 6) =10 La valeur obtenue s"appelle le taux de variation instantané de la population des bactéries à la 4 e minute. Normalement, on devrait considérer l"intervalle [4, t] (avec t > 4) pour lequel le taux de variation moyen est(t) - (4)
t - 4 et évaluer lim t→ 4(t) - (4)
t - 4Puis ensuite considérer l"intervalle
[t, 4] (avec t < 4) pour lequel le taux de variation moyen est(4) - (t)
4 - t et évaluer lim t→ 4(4) - (t)
4 - t3.1 taux de variation
André Lévesque
3-7 on multiplie par -1, le numérateur et le dénominateurMais cela est inutile puisque
lim t→ 4(t) - (4)
t - 4 lim t→ 4(4) - (t)
4 - t = lim
t→ 4(t) - (4)
t - 4 = lim t→ 4(t) - (4)
t - 4 définition 3.1.2 taux de variation instantané (première forme) Le taux de variation instantané d"une fonction pour x = a de sondomaine est donné par lim x→ a(x) - (a)
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