[PDF] Préparation au CAPES de Mathématiques Isométries du plan angles

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U.F.R.SciencesetTechnologies,

DepartementdeMathematiquesetInformatique

PreparationauCAPESdeMathematiques

Annee2008-2009

Isometriesduplan,angles

FrancoisDumas

1Notiond'isometrievectorielle

D produitscalaire,c'est-a-direveriant: f(!u)f(!v)=!u!vpourtous!u;!v2E (i)festuneisometrievectorielle, 1

2(jj!u+!vjj2jj!ujj2jj!vjj2)=!u:!v.ut

Th eor emeetd bijectivite.Leresteestclair.ut ettellequeM1=tM.Onpeutalorsenoncer: (i)festuneisometrievectorielledeE, 1 D efinitionsetnotations. O O 2Re exionsetrotationsvectorielles D orthogonalde!uparrapportaD. orthogonaleparrapportaD,oure exionvectorielled'axeD.

Figure

Proposition.Toutere

lare exionsDests1 D poseededeuxre exionsvectorielles.

Remarquonsquer=idEsietseulementsiD=D0.

Figure

reduitaf!0gdeslorsqueD6=D0. D 0s1 d'ouleresultat.ut 2

Proposition(matriced'unere

(i)festunere

Preuve.Soitfunere

S=(1001).LamatricedepassagedeBaB0estP=(

).DonclamatricedefdanslabaseBest Mat

B(f)=PSP1=222

22+2
exion d'axeD. exions.Ilenresulteaveclepoint(i) Mat

B(f)=(abba)(cddc)=(

M=ab re exions,etdoncquefestunerotation.ut Th eor exionsvectorielles. rotationestdedeterminant1ettoutere "dc exionsi"=1.ut

Observations.

E,lacomposeed'unnombrepairdere

dere exionsestunere exion,lacomposed'unerotationetd'unere exionestunere exion,et R 3 R cos0sin0 sin0cos0 =coscos0sinsin0sincos0+cossin0 sincos0+cossin0coscos0sinsin0 cos(+0)sin(+0) sin(+0)cos(+0) rotationcommecomposeededeuxre exion;soitD0sonaxe.Ona s exionrsD.ut dansladenitiondesangles. que,sil'onappelleslare exionvectorielled'axedirige par!u+!v,onas(!u)=!v.Donc,ennotants0la re r(!u)=s(s0(!u))=s(!u)=!v. r

Figure

ba)(x y)=(x0 y 0) eta2+b2=1.Orlesystemefxayb=x0 x2+y2etb=xy0yx0x2+y2.Etl'onaalors:a2+b2= (x2+y2)(x02+y02) exionstelleques(!u)=!v.

3Notiond'isometrieane

D dansE,c'est-a-direverie: d('(A);'(B))=d(A;B)pourtouspointsA;BdeE.

Alors:

4 applicationlineaireassociee.ut aussiappeleeunantideplacement. Th eor aveclapropositionprecedenteque: groupeabeliendeIs+(E). 4Re exionsanesetsymetriesglissees D

D(M)soitlemilieude(M;D(M)).

L'applicationD:E!Equiatoutpointassocie

re exionaned'axeD.

Figure

5

Proposition(composeededeuxre

exions cesdeuxdroites.

Plusexplicitement:soientDetD0deuxdroites

parallelesdansE.SoitDladroitevectorielle deEdirigeantDetD0.Notons!ulevecteur orthogonalaDdontlanormeestegalaladis- tanceentrelesdeuxdroitesetdontlesensest deDversD0.AlorsD0D=2!u.

Figure

Preuve.Soitslare

D efinition(composeed'unere

SoitDunedroiteanedeE.Soit!uunvecteurdeE

poseeD!udelare exiond'axeDetdelatranslationde vecteur!u.

Onmontresimplementque:D!u=!uD.

Si !u=!0,lasymetrieglisseesereduitalare exionD.

Figure

exion aned'axeDdansE.Alors: exion (iii)labijectionreciproquedeDestD;

Preuve.Notonssimplementlare

exionanedeE d'axeD.Introduisonslare exionvectoriellesdeEd'axe orthogonaldurD,etM0=(M),desortequePestle

Figure

exion(c'est-a-diredeslors quesonvecteurn'estpasnul).

Preuve.Evidented'aprescequiprecede.ut

6

5Rotationsanes

associeE. D exionsanesdontles axessontegauxousecants.

Remarques.

iln'yapasunicitedesdroitesDetD0. bienunerotation. aussiunerotation.

Figure

Preuve.Evidented'aprescequiprecede.ut

Propositionetd

id Th eor Donc: (0)(A)=A,(r0r)(!OA)!OA=!O0Or0(!O0O). ba)lamatricedelarotationvectorieller0r, bx+(a1)y=.Le R 7 exions.

Lemme.

exionsdontlesaxessont peut^etrechoisiarbitrairement. exionsdontlesaxessont distancedeDaD0soitegalea1

6Groupedesisometriesanesduplan

AetB,alors'estlare

exiond'axe(AB). l'onnotelare exiond'axe(AB),ona(C)=C0.Posons =', a (A)=(A)=A, (B)=(B)=Bet (C)=(C0)=C.On appliquelelemme1pourconclureque =idE,etdonc'=.ut

Figure

decentreA. lare exiond'axeDet =',onadonc (A)=(A)=Aet (B)=(B0)=B.Ainsi, xeaumoinsdeuxpointsdistincts. presenter:lecas =idEestimpossiblecaronauraitalors'=ce

Figure

forcementdanslecasou estlare 8 ouunesymetrieglissee. Latranslationdevecteur!uverie(A0)=Adoncl'isometrie ='verie (A)=A.Elle Danslecasou =idE,onconclutque'=1estunetranslation.

Lecasou estunerotationdecentreAconduita'=1.

que=DD00.Onconclutque'=D0DDD00=D0D00

Figure

Restelecasou estunere

Th eor antideplacementssontlesre exionsetlessymetriesglisses.

Corollaire.Lesre

toutdeplacementdeEestleproduitdedeuxre exions,ettoutantideplacementdeEestune re exionouunproduitdetroisre exions. pointsxesestdonneparletableausuivant: EidE? droiteD?re exiond'axeD singletonfAgrotationdecentreA?

7Anglesdevecteurs

estunerelationd'equivalence.

Preuve.Vericationevidentedelare

D jj!ujj!uet!v1=1jj!vjj!v. 9 jj!ujj!uet!v1=1jj!vjj!v.

OnnoteAl'ensembledesanglesdevecteursdeE.

Th eor eme.L'application :A!O+(E)qui,atout\(!u;!v)2A,associel'uniquerotation quer=r0sietseulementsif=g.Deslors:

Figure

\(!u;!v)=\(!u0;!v0),(!u;!v)(!u0;!v0),r=r0,f=g, \(!u;!v)= \(!u0;!v0), cequiprouveleresultatvoulu.ut

Remarques.

l'uniquerotationqui envoie!vsur!v0 ,h\(!u;!v)=\(!u0;!v0)i l'uniquerotationqui envoie!u0sur!v0

2.Labijectionreciproque 1estl'applicationO+(E)!Aqui,aunerotationvectoriellef

D l'angle: \(!u;!v)+\(!u0;!v0)= 1 \(!u;!v) \(!u0;!v0).

Explicitonscettedenition:

alors Th eor ci-dessus,etlabijection estunisomorphismedegroupesdeAsurO+(E). Preuve.C'estimmediatpartransportdestructureparlabijection ,quidevientalorsunisomorphisme degroupes.ut

Pourtous!u;!v;!wnon-nulsdansE,ona:

(!u;!v)+\(!v;!w)=\(!u;!w)

Preuve.Soitf= \(!u1;!v1)etg= \(!v1;!w1).Donc

sommededeuxanglesut

Figure

10 D efinitionsetremarques. L'anglenulestpardenition 1(idE).Toutcoupledelaforme(!u;!u)avec!unon-nulen L'angleplatestpardenition 1(idE).Toutcoupledelaforme(!u;!u)avec!unon-nul Larotationfimagepar d'unangledroitveriealorsff=idE.Samatrice(acbd)etant

8Orientationduplan,mesuresd'angles

Remarquesetd

efinitions(OrientationduplanE).

Ilresulteimmediatementdecesdenitionsque:

orientation. seulementsideplusdetP=1. base,maisseulementdel'orientation. 11 Th eor eme.Soitr2O+(E)unerotationvectorielle. (i)Ilexiste2Rtelquelamatricederdanstoute baseorthonormeedirectedeEsoitegalea R =cossinsincos. ba.D'apresunresultat B M exions traduitmatriciellementparM0=P1RP=R1 .IlestevidentdeverierqueR1 =R.ut

8;02R;(r=r0),(R=R0),(9k2Z;0=+2k).

pourtous;02R,R+0=RR0etr+0=rr0, surjectif,denoyau2Z. sededuisentdesremarquesprecedentes.ut D quienvoielevecteurunitaire!u1=1 denieci-dessus. End'autrestermes,enrappelantl'application :A!O+(E)denieauparagraphe7: [estunemesurede\(!u;!v)],[r= \(!u;!v)],[r(!u1)=!v1].

Ilresultedirectementdeladenitionque:

-lesmesuresd'unangledroitsontles et 2. verie:

Figure

12

Remarque(Sommeetmesured'angles).

Soient\(!u;!v)2Aunangleetunemesurede\(!u;!v),desorteque (\(!u;!v))=r. Soient\(!u0;!v0)2Aunautreangle,0unemesurede\(!u0;!v0),avec (\(!u0;!v0))=r0. Onavuauparagraphe7que (\(!u;!v+\(!u0;!v0))=rr0=r+0,etdonc

Onaplusprecisementletheoremesuivant:

Th eor Preuve.Consideronslesmorphismes 1:O+(E)!Aetr:R!O+(E)introduitsprecedemment. Leurcompose 1r:R!Aestunmorphismedegroupede(R;+)sur(A;+),surjectif,denoyau engrades). principales. D cos D B

0.AlorsM=PM0,d'oudetM=detM0.

cos \(!u;!v)=!u:!v k!ukk!vketsin\(!u;!v)=[!u;!v]k!ukk!vk. k!uk!uet!v1=1k!vk!v

Soitunemesurede\(!u1;!v1)=\(!u;!v).

Doncr(!u1)=!v1.

Soit !w1levecteurunitaireorthogonala!u1telque labaseothonormeeB=f!u1;!w1gsoitdirecte.

Alors,danslabaseB:

d'unepartlescomposantesde!u1sont(1;0), r (!u1)etMatB(r)=R). Donc

D'ouleresultat.utFigure

13

Remarquefinale.

composeededeuxre coupledevecteursnon-nulsquelconques;onendeduitunebijection(labijection )entre plan(l'ensembleO+(E)).Larotationassociee(par )aunangledonneestl'uniquerotation vecteurducouplesurlesecond. (par )lacomposeedelarotationassocieeaupremierangleparlarotationassocieeau deuxiemeangle;enclair,labijection devientunisomorphismeentrelesgroupesabeliens (A;+)et(O+(E);). abeliens(A;+)et(R=2Z;+). 14quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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