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Trigonométrie dans le cercle
Table des matières
1 Angles dans un cercle2
1.1 Cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Angles dans le cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Lignes trigonométriques5
2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Relations entre deux angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.1 Angles opposés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.2 Angles suppléméntaires et opposés supplémentaires. . . . 6
2.3.3 Angles compléméntaires et opposés complémentaires. . . . 6
2.4 Lignes trigonométriques dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Représentation des fonction sinus, cosinus et tangente8
PAULMILAN1 SECONDEB
1 ANGLES DANS UN CERCLE
1 Angles dans un cercle
1.1 Cercle trigonométrique
Définition 1 :On appelle cercle trigonométrique dans un repère orthogonal direct(O;-→ı;-→?), le cercle de centreOet de rayon 1. O 11 -1 -11.2 Le radian
Définition 2 :La radian est une unité de mesure d"un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l"arc entre 2 points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur deπet donc correspond à un angle deπ radian. On a alors : 180°=πrd 1 rd O 11 -1 -1La mesure en degré de 1 radian vaut
donc :1 rd=180
π?57°
Remarque :Le radian est une grande
unité qui n"est pas intuitive contraire- ment au degré qui est notre unité pre- mière.Avantage: Permet de connaître la lon-
gueur d"un arc. Unité du système inter- national Il est important de connaître les angles remarquables en radian:Degré30°45°60°90°
Radianπ
6 4 3 2PAULMILAN2 SECONDEB
1 ANGLES DANS UN CERCLE
Exemple :Convertir en radian les angles en degré suivants :15° , 36° , 75° , 120° , 135° , 150°
Pour convertir un angle en radian, on utilise la conversion 180°=πrd, soit pourx degré on a :xπ180radian.
On obtient alors :
Radianπ
12 5 5π 12 2π 3 3π 4 5π 6 Exemple :Convertir en degré les angles en radian suivant :8,7π12,5π18,11π6
Pour convertir un angle en degré, on utilise la conversion 180°=πrd, soit poury radian on a : y180πdegré.
Radianπ
8 7π 12 5π 1811π
6Degré22,5°105°50°330°
1.3 Angles dans le cercle trigonométrique
Définition 3 :La mesure d"un angleαrepéré par un pointMdans le cercle trigonométrique, est la valeur algébrique de la longueur de l"arcAMoùA(1;0) Le sens trigonométrique ou direct correspond au sens antihoraire. O 11 -1 -1M M"On a représenté deux anglesαetβdont
l"un est positifαet l"autre négatifβ.On remarquera que l"on a indiqué le
sens trigonométrique On peut noter les angles remarquables sur le cercle trigonométrique. Il est impor- tant de visualiser l"emplacement des angles pour s"en faire une idée.PAULMILAN3 SECONDEB
1 ANGLES DANS UN CERCLE
O?0 ?π6 π4 π3 π22π3
3π4
?5π6 ?-π6 ?-π4 -π3? -π2 -2π3 -3π4 ?-5π6 Propriété 1 :Un même angleαpeut avoir plusieurs mesures. Si un angleα, repéré par le pointMsur le cercle trigonométrique, a comme me- suresxety, alors on a la relation suivante : y=x+k2πou plus simplementy=x[2π]yégalxmodulo 2π Exemple :Soit deux mesures sur le cercle trigonométrique d"un même angle : O 11 -1 -1M xySur la figure ci-contre on a tracé deux
mesures d"un même angle repéré par un point M.Par exemplex=π
6ety=-11π6.
En effet :
6-? -11π6? =(1+11)π6=2π Définition 4 :On appellemesure principaled"un angleα, la mesurexqui se trouve dans l"intervelle]-π;π] Exemple :Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :17π4 et-31π 6PAULMILAN4 SECONDEB
2 LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES
17π
4est un mesure trop grande, il faut donc lui enlever un nombrekde tours (2π)
pour obtenir la mesure principale :17π
4-k2π=π(17-8k)4=π4aveck=2
31π
6est une mesure trop petite, il faut donc lui rajouter un nombrekde tours
(2π) pour obtenir la mesure princimale :31π
6+k2π=π(-31+12k)6=5π6aveck=3
2 Lignes trigonométriques
2.1 Définitions
Définition 5 :Soit un angleαrepéré
par un point M sur le cercle trigonomé- trique. On appelle :cosα=OH projectiondeMsurl"axe
des abscissessinα=OK projection de M sur l"axe
des ordonnéestanα=AM" intersection de (OM)
avec la tangente en A cosα sinαtanα O? A? M M" H? KRemarque :Pour tout réelx, on a :
-1?cosx?1 et-1?sinx?12.2 Tableau des angles remarquables
Comme déjà vu dans le chapitre sur les configurations, voici le tableau à très bien connaître :Angle0π
6 4 3 2 sin01 2 ⎷2 2 ⎷3 21cos1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tan0 ⎷3
31⎷3?
PAULMILAN5 SECONDEB
2 LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES
2.3 Relations entre deux angles
2.3.1 Angles opposés
sin(-α) =-sinα cos(-α) = +cosα tan(-α) =-tanαOn peut constater que les fonctions si-
nus et tangente sont impaires tandis que la fonction cosinus est paire Oα -αcosα sinα -sinα2.3.2 Angles suppléméntaires et opposés supplémentaires
Angles suppléméntaires
sin(π-α) = +sinα cos(π-α) =-cosα tan(π-α) =-tanαAngles opposés supplémentaires
sin(π+α) =-sinα cos(π+α) =-cosα tan(π+α) = +tanα Oαπ+αcosα-cosα
sinα -sinα2.3.3 Angles compléméntaires et opposés complémentaires
Angles complémentaires
sin?π2-α?
=cosα cos2-α?
=sinαOαπ
2-α
cosα sinαAngles opposés complémentaires
sin?π2+α?
=cosα cos2+α?
=-sinαOαπ
2+α
cosα cosα sinα -sinαPAULMILAN6 SECONDEB
2 LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES
2.4 Lignes trigonométriques dans le cercle
Voici sur le cercle trigonométriques l"ensembles des lignes trigonométriques des angles remarquables dans le cercle trigonométrique. 0π 2 2π 6π 4π32π3
3π 4 5π 6 5π 6 3π 4 2π3-π3-
4- 612⎷
22⎷
3 2-12- 2 2 3 212⎷
22⎷
3 2 1 2 2 2 32⎷
3 3+1 3+ 3 3+ -1+ 3+ Exemple :Calculer le cosinus, le sinus et la tanglente des angles suivants :3,5π6,7π4
Avec-π3
cos? 3? =cosπ3=12 sin 3? =-sinπ3=-⎷ 2 2 tan? 3? =-tanπ3=-⎷3PAULMILAN7 SECONDEB
3 REPRÉSENTATION DES FONCTION SINUS, COSINUS ET TANGENTE
Avec5π6
cos5π6=cos?
π-π6?
=-cosπ6=-⎷ 3 2 sin 5π6=sin?
π-π6?
=sinπ6=12 tan 5π6=tan?
π-π6?
=-tanπ6=-⎷ 3 3Avec7π4=-π4[2π]
cos 7π4=cos?
-π4? =cosπ4=⎷ 2 2 sin 7π4=sin?
-π4? =-sinπ4=-⎷ 2 2 tan 7π4=tan?
-π4? =-tanπ4=-13 Représentation des fonction sinus, cosinus et tan-
gente Les courbes des fonction sinus et cosinus s"appelle des sinusoïdes. Elle sont iden- tiques à une tranlation près. La courbe de la fonction tangente n"a pas de nom. On peut remarquer quela fonction tangente n"est pas définie enπ2+kπaveck?Z.
0.51.01.5
-0.5 -1.0 -1.5π2π3π2-π2-π-3π2O
sinxcosx tanx 2πPAULMILAN8 SECONDEB
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