[PDF] Brevet de technicien supérieur Nouvelle–Calédonie session

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A. P. M. E. P.

Brevet de technicien supérieur Nouvelle-Calédonie session novembre 2011- Informatique degestion

ÉPREUVE OBLIGATOIRE

Durée : 3 heuresCoefficient : 2

Exercice110points

Partie A

On considère le graphe orientéGde sommetsA,B,C,D,E,Fpris dans cet ordre, dont la matrice d"adjacence est : M(((((((((0 1 0 1 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 1 0 0 0 10 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0)))))))))

1.Calculer les matricesM2etM3.

On admettra que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 4,Mnest la matrice nulle.

Aau sommetF.

3.Écrirele tableau des prédécesseurs pour les sommets du graphe Get détermi-

ner le niveau de chacun de ces sommets. Dessiner le grapheGen ordonnant les sommets par niveaux.

4.Les sommets du grapheGcorrespondent à des villes. Le tableau ci-dessous

donne les temps, en minutes, nécessaires pour aller d"une ville à l"autre en suivant une arête du grapheG. Par exemple, il faut 75 minutes pour aller de la villeAà la villeB. BCDEF

A754530

B20 C25 D2050 E4035 Déterminer le trajet de durée minimale, utilisant des routes autorisées par le grapheG, et permettant d"aller de la villeAà la villeF. On précisera la durée totale de ce trajet.

Partie B

Un commercial effectue régulièrement un trajet allant de lavilleAà la villeF. Pour utilise le trajet passant par la villeCdans 8% des cas et le trajet de plus courte durée dans 40% des cas. En 2011, ce commercial devra effectuer 50 fois le trajet.

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Dans cette partie les valeurs des probabilités seront arrondies au centième.

1.On noteXla variable aléatoire qui compte le nombre de fois, où en 2011, ce

commercial utilisera le trajet passant par la villeC. a.Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale et préciser ses paramètres. b.Calculerp(X5).

2.On admet que la loi de la variable aléatoireXpeut être approchée par celle

d"une variable aléatoireYqui suit une loi de Poisson. a.Quel est le paramètre de cette loi de Poisson? b.Calculerp(Y?4).

3.On noteZla variable aléatoire qui compte le nombre de fois, où en 2011, ce

commercial utilisera le trajet de plus coute durée. On décide d"approcher la loi deZpar celle d"une variableZ, qui suit une loi normale. a.Justifier que les paramètres de cette loi normale sontm20 etσ2 3. b.Calculerp(16,5?Z?23,5). Entenant compte delacorrectiondeconti- nuité, interpréter ce résultat relativement au nombre de trajets du com- mercial.

Exercice27 points

Partie A

Le tableau ci-dessous donne l"évolution, tous les deux ans,du nombre de tués en France suite à un accident de la route, de 1994 à 2006. ndésigne l"indice de l"année à partir de 1994. u ndésigne le nombre de tués en France suite à un accident de la route pour l"année (1994n). 1. année1994199619982000200220042006 xn024681012 yun10709863882537742612655934709 D"après sources du ministère de l"intérieur,2008.

1.À l"aide de la calculatrice, déterminer une valeur arrondieau millième du co-

efficient de corrélation linéairer1, entrexetY.

2.Étude d"un premier modèle

derégression deypar rapportàx, sous laformeymxp.On donnera un arrondi au millième demetp. b.Déduire de la question précédente une estimation, par ce modèle, du nombre de tués en 2011.

3.Étude d"un second modèleOn poseYlny.

a.Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les données au millième. année1994199619982000200220042006 xn024681012

Tlny9,279...............8,457

Informatiquede gestion2novembre2011

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b.À l"aide de la calculatrice, déterminer une valeur arrondieau millième du coefficient de corrélationr2, entrexetY. c.Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression deYpar rapport àx. d.En déduire, en utilisant cet ajustement, une expression deyen fonction dexsous la formeyaebx. On arrondiraaà l"unité etbau millième.

Partie B

On décide de modéliser l"évolution du nombre de tués sur les routes en France, par la fonction numériquefdéfinie sur l"intervalle [0 ;[ par f(x)10551e0,065x.

1.Étudier les variations de la fonctionfet calculer limxf(x).

2.Que peut-on en déduire quant au nombre de tués sur les routes?

3.Calculerf(22) et interpréter ce résultat.

4.En quelle année peut-on espérer arriver à moins de 1000 tués par an sur les

routes?

Exercice33, points

Un formateur d"un centre agréé par la Préfecture de Police doit organiser un stage de sensibilisation à la sécurité routière s"adressant à despersonnes désireuses de récupérer 4 points sur leur permis de conduire. Pour définir un contenu, il doit tenir compte du profil des stagiaires. Il envisage les critères suivants : Les conducteurs expérimentés ayant été verbalisés pour desdépassements de vitesse inférieurs ou égaux à 20 km/h. ou Les conducteurs expérimentés ayant été verbalisés pour desdépassements de vitesse supérieurs strictement à 20 km/h avec un taux d"alcoolémie infé- rieur ou égal à 0,5 g/L. ou Les jeunes conducteurs ayant été verbalisés pour des dépassements de vi- tesse inférieurs ou égaux à 20 km/h avec un taux d"alcoolémiesupérieur strictement à 0,5 g/L. ou Les jeunes conducteurs ayant été verbalisés pour des dépassements de vi- tesse inférieurs ou égaux à 20 km/h avec un taux d"alcoolémieinférieur ou

égal à 0,5 g/L.

ou Les conducteurs expérimentés ayant été verbalisés pour desdépassements de vitesse supérieurs strictement à 20 km/h quel que soit leur taux d"alcoo- lémie. On modélise cette situation par une fonction booléennefde trois variablesa,bet c. La variableadésigne les jeunes conducteurs et a les conducteurs expérimentés; la variablebdésigne les dépassements de vitesse inférieurs ou égaux à 20km/h etbles dépassements de vitesse supérieurs strictement à 20 km/h; la variable c désigne un taux d"alcoolémie inférieur ou égalà 0,5 g/L etcun taux d"alcoolémie supérieur strictement à 0,5 g/L.

1.On admet que la fonctionfs"exprime par :

f(a,b,c) ababcabcabcab.

Expliquer ce que représente le terme

abcdans cette expression.

Informatiquede gestion3novembre2011

Brevet de technicien supérieurA. P.M. E. P.

2.Construire le tableau de Karnaugh de la fonctionf, puis à l"aide du tableau

simplifierfen justifiant la démarche.

3.Traduire l"expression simplifiée defpar une phrase simple.

Informatiquede gestion4novembre2011

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