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1Article

Archimède et les " sphéroboules »

Gilbert Labelle, LaCIM et dépt. de mathématiques, UQAM

Résumé

Archimède a montré que le volume de la boule inscrite dans un cylindre (de même

hauteur) est égal aux 2/3 du volume du cylindre et que l"aire de la sphère est égale à l"aire

latérale du cylindre. Nous introduisons le concept desphéroboulequi généralise à la fois,

en dimension quelconque, les notions de sphère, de boule et de cylindre et analysons les conditions sous lesquelles les volumes multidimensionnels de deux sphéroboules, de même rayon et plongées dans un même espace ambiant, sont égaux ou s"obtiennent l"un de l"autre par multiplication par un nombre rationnel.

1 Archimède, la sphère, la boule et le cylindre

Archimède de Syracuse, grand mathématicien, physicien et ingénieur grec de l"Antiquité (env.

287 - 212 av. J.-C.) a été, selon toute vraisemblance, le premier à déterminer le volume de la

boule et l"aire de la sphère en fonction de leur rayon. En fait, il a établi, à l"aide d"arguments

géométriques utilisant le principe du levier (sa méthode est décrite dans [1]), que le volume de

la boule inscrite dans un cylindre (de même hauteur) est égal aux 2/3 du volume du cylindre et que l"aire de la sphère est égale à l"aire latérale du cylindre (Figure 1(a)) : volume(boule)volume(cylindre) =23 ,aire(sphère)aire latérale(cylindre) = 1.(1.1)Figure 1 - (a) Boule inscrite dans un cylindre (b) Disque inscrit dans un carré

44-Bulletin AMQ, Vol. LIII, no4, décembre 2013c?Association mathématique du Québec

Puisque le volume et l"aire latérale du cylindre sont faciles à calculer, Archimède en déduisit

comment calculer le volume de la boule ainsi que l"aire de la sphère. Le fait que dans (1.1) le

nombre 2/3 soit rationnel, ainsi que l"égalité des aires, sont des faits d"autant plus surprenants

que si on diminue la dimension d"une unité, en remplaçant la boule, la sphère et le cylindre par

un disque, un cercle et un carré (voir Figure 1(b)), l"analogue des résultats d"Archimède ne

tient plus. En effet, il est facile de vérifier que, aire(disque)aire(carré) =π4 (irrationnel),longueur(cercle)longueur(segments verticaux) =π2 (irrationnel).(1.2)

Afin d"y voir plus clair et de généraliser dans les dimensions supérieures ces beaux résultats

d"Archimède, nous rappelons d"abord dans la Section 2 ce que sont les boules et les sphères àn

dimensions et donnons les formules classiques qui mesurent leur volume multidimensionnel (on dit aussi leur hypervolume, ou encore, leurn-volume). En analysant ce qu"ont en commun les

boules, les disques, les sphères, les cercles, les cylindres, les cubes, les carrés et les segments,

nous introduisons ensuite le nouveau concept desphéroboulede rayonrqui généralise à la

fois, en dimension quelconque, ces objets géométriques. La Section 3 étudie les conditions sous

lesquelles les volumes multidimensionnels de deux sphéroboules de même rayon et plongées dans

un même espace ambiant sont égaux ou s"obtiennent l"un de l"autre par multiplication par un

rationnel, généralisant ainsi les théorèmes d"Archimède (1.1) dans l"univers multidimensionnel.

Divers tableaux sont aussi présentés.

2 Le concept de sphéroboule

2.1 Lesn-sphères et lesn-boules

Il est bien connu qu"en utilisant les coordonnées cartésiennes dans l"espace euclidienR3, la

boule de rayonrcentrée à l"origine est l"objet géométrique tridimensionnel, désigné parB3(r),

défini par B

C"est l"ensemble des points deR3dont la distance à l"origine n"excède pasr. La sphère de rayon

rcentrée à l"origine est l"objet géométrique (localement bidimensionnel) désigné parS2(r),

défini par S

2(r) ={(x1,x2,x3)|x21+x22+x23=r2} ?R3.(2.2)

C"est l"ensemble des points deR3dont la distance à l"origine est exactement égale àr. Notons

que pour décrireS2(r)il faut utiliser3(= 2 + 1)variables réelles et que le symbole d"inégalité

dans (2.1) est remplacé par le symbole d"égalité. Dans les dimensions quelconques, on a la définition suivante :

Bulletin AMQ, Vol. LIII, no4, décembre 2013-45

Définition 1Pour tout entiern≥0, lan-boule (ouboule de dimensionn)et lan-sphère

(ousphère de dimensionn)de rayonrcentrées à l"origine sont les objets géométriques plongés

dansRnet dansRn+1, désignés respectivement parBn(r)etSn(r), définis par B S n(r) ={(x1,...,xn+1)|x21+···+x2n+1=r2} ?Rn+1.(2.4) En particulier,B2(r)etS1(r)désignent respectivement le disque et le cercle de rayonrcentrés

à l"origine du plan cartésienR2. Les casB1(r)etS0(r)méritent une attention toute spéciale1,

puisque B S

0(r) ={x1|x21=r2}={-r,r} ?R(ensemble des deux éléments-retr).(2.6)

Loin d"être restés des objets "ésotériques» issus des cerveaux des mathématiciens dits "purs»,

lesn-boules et lesn-sphères (et plus généralement, lesn-ellipsoïdes, lesn-hyperboloïdes,

etc) apparaissent couramment en mathématiques appliquées et en physique : en théorie de la relativité, en théorie des formes quadratiques, en théorie des approximations, dans les

applications statistiques faisant appel à la loi normale à plusieurs variables, etc. Voici comment

mesurer l"hypervolume, oun-volume, desBn(r)etSn(r):

Théorème 1

Len-volume2desn-boules et desn-sphères est donné par les formules suivantes, selon la parité den: vol(Bn(r)) =bnrn,oùbn=?πk/k!, si n= 2k, 2 k+1πk/1·3·5···(2k+ 1), si n= 2k+ 1,(2.7) vol(Sn(r)) =snrn,oùsn=?2k+1πk/1·3·5···(2k-1), si n= 2k,

2πk+1/k!, si n= 2k+ 1.(2.8)

Il existe plusieurs démonstrations de ce résultat classique (voir [3,4,5,6]). Examinons le

évidemment les formules,2πretπr2, pour la circonférence du cercle et l"aire du disque, ainsi

que4πr2et43 πr3, pour l"aire de la sphère et le volume de la boule habituelles. Les "valeurs initiales» vol(B0(r)) = 1et vol(S0(r)) = 2pour la dimensionn= 0, correspondent au fait que

la0-boule est formée d"un seul point, de dimension 0, tandis que la0-sphère est formée de deux

points, chacun de dimension 0, comme on l"a vu plus haut. Un phénomène remarquable est que l"exposant deπdans les formules du Tableau 1 augmente toujours de 1 lorsque la dimension1

. On a aussiB0(r) ={∅}, car sin= 0alors(x1,...,xn) =suite vide=∅etx21+···+x2n=somme vide=

2. On dit aussilongueursin= 1,airesin= 2etvolumesin= 3.

46-Bulletin AMQ, Vol. LIII, no4, décembre 2013

Dimensionn012345678

vol(Bn(r))12rπr 24
3

πr31

2

π2r48

15

π2r51

6

π3r616

105

π3r71

24

π4r8vol(Sn(r))22πr4πr22π2r38

3

π2r4π

3r516 15

π3r61

3

π4r732

105
dimension 2, à la formule12 π2r4pour le 4-volume de la boule de dimension 4, c"est maintenant la constanteπ2qui entre en jeu! Afin de mieux analyser la nature des coefficients rationnels qui apparaissent dans le Tableau 1,

extirpons les puissances deret les puissances deπqu"elle contient. En désignant ces coefficients

rationnels parβnetσnrespectivement, on forme le Tableau 2 à partir duquel le lecteur attentif

découvrira les relations remarquables suivantes, n=σn-1/n, σn= 2βn-1, n≥1,(β0= 1, σ0= 2)(2.9)

qui permettent d"étendre facilement les Tableaux 1 et 2 pour les dimensions supérieures. EnDimensionn012345678

n1214 31
28
151
616
1051
24
n22428 3116
151
332
105
Tableau2 - Les constantes rationnellesβnetσnentrant en jeu dans vol(Bn)et vol(Sn) choisissant le rayonr= 1dans le Théorème 1, on obtient len-volume de lan-boule unitéet de lan-sphère unitéque nous désignerons respectivement parBnetSn. En résumé, on a donc n-boule unité=Bn=defBn(1),vol(Bn) =bn=βnπ[n/2],(2.10) n-sphère unité=Sn=defSn(1),vol(Sn) =sn=σnπ[(n+1)/2],(2.11) oùβnetσnsont des nombres rationnels satisfaisant (2.9) et[x]désigne le plus grand entier

βn=2n

·2n-2·2n-4···, σn= 2·2n-1·2n-3·2n-5···,(2.12)

Bulletin AMQ, Vol. LIII, no4, décembre 2013-47

où les produits sont effectués tant que les dénominateurs sont>0.

2.2 Produits cartésiens de sphères et de boules multidimensionnellesComme nous l"avons vu plus haut, les segments, les cercles, les disques, les sphères et les boules

(ordinaires) sont tous des cas particuliers den-boules ou den-sphères. Cependant, il est facile

de vérifier que le cylindre plein ainsi que sa surface latérale, qui entrent en jeu dans les résultats

d"Archimède (1.1), ne font pas partie de ces objets géométriques. Pour les inclure dans notre propos, remarquons, par exemple, que la surface latérale du cylindre d"Archimède (Figure 2) peut être vue comme la portion de l"espace balayée par un segment, B1, qui tourne perpendiculairement autour d"un cercle,S1, ou encore, comme la portion de l"espace balayée par un cercle,S1, qui se déplace le long d"un segment perpendiculaire,B1. En d"autres termes, la surface latérale du cylindre d"Archimède est leproduit cartésiendes objets géométriquesS1etB1au sens de la définition suivante :

Définition 2

Le produit cartésien d"une famille d"ensembles quelconques,A,B,C,..., est l"ensemble désigné parA×B×C× ···, défini par A×B×C× ···={(a,b,c,...)|a?Aetb?Betc?Cet...}.(2.13) En effet, on a successivement, en se plongeant dans l"espace euclidienR3, S =surface latérale du cylindre d"Archimède.(2.17)

De plus,

S

1×B1=?

x ce qui montre queS1×B1est bien une réunion de segments verticaux, et S

1×B1=?

x ce qui montre queS1×B1est bien aussi une réunion de cercles horizontaux. Bien entendu, on

aurait pu prendre le produit cartésienB1×S1, plutôt queS1×B1, pour représenter la surface

latérale du cylindre d"Archimède, mais il aurait été " orienté » différemment.

48-Bulletin AMQ, Vol. LIII, no4, décembre 2013

Figure 2 - Surface latérale du cylindre d"Archimède =S1×B1Le lecteur vérifiera sans peine que le cylindrepleind"Archimède peut s"écrire sous la forme

B1×B2, le carré sous la formeB1×B1=B21, le cube sous la formeB1×B1×B1=B31et l"hypercube de dimensionn(n-cube), sous la formeBn1. Tout ceci motive la définition qui suit. Définition 3Unesphéroboule3de rayonrest un produit cartésien, Q(r) =S1(r)u1×S2(r)u2× ··· ×B1(r)v1×B2(r)v2× ···,(2.20) d"un nombre fini quelconque de sphères et de boules de rayonret de diverses dimensions>0. Sir= 1,Q(1)est appeléesphéroboule unitéet est notée Q=Su11×Su22× ··· ×Bv11×Bv22× ···.(2.21)

Évidemment, dans (2.20) et (2.21), lesui(resp.,vi) sont des entiers≥0qui désignent le nombre

de fois que le facteurSi(resp.,Bi) apparaît. Lorsqu"un facteurSi(resp.,Bi) n"apparaît pas, on poseui= 0(resp.,vi= 0). Lorsque tous lesvisont nuls, la sphéroboule (2.20) est appelée polysphèreet lorsque tous lesuisont nuls, la sphéroboule (2.20) est appeléepolyboule:

polysph`ere:S1(r)u1×S2(r)u2× ···, polyboule:B1(r)v1×B2(r)v2× ···.(2.22)

Ladimensiond"une sphéroboule,Q(r), est la somme des dimensions des différentes sphères et boules qui la constituent et est donnée par la formule dimQ(r) =n=u1+v1+ 2u2+ 2v2+ 3u3+ 3v3+···+iui+ivi+···.(2.23)

On dit alors queQ(r)est unen-sphéroboule.

Ladimension ambiantedeQ(r)est la dimension de l"espace ambiant contenant cette sphéroboule.

Elle est donnée par

dim aQ(r) = 2u1+v1+ 3u2+ 2v2+ 4u3+ 3v3+···+ (i+ 1)ui+ivi+···,(2.24) =dimQ(r) +u1+u2+u3+···,(2.25)

=dimQ(r) +nombre de facteurs sphériques dansQ(r),(2.26)3. Ce néologisme a été suggéré à l"auteur par Hélène Décoste, en janvier 2013.

Bulletin AMQ, Vol. LIII, no4, décembre 2013-49

puisque, par (2.3) et (2.4),Suii?R(i+1)uietBvii?Rivi. Il sera très utile d"encoder la sphéroboule unité Q=Su11×Su22× ··· ×Bv11×Bv22× ···(2.27) sous la forme compacte d"un monôme, ou encore, sous la forme

Q=SuBv, u= (u1,u2,...), v= (v1,v2,...),(2.29)

ou encore, sous la forme d"un couple de vecteurs

Q= [u;v], u= (u1,u2,...), v= (v1,v2,...).(2.30)En principe, les suitesuetvsont infinies, mais, étant donné que les produits cartésiens (2.20)

et (2.21) ne font appel qu"à un nombre fini de sphères et de boules, les composantesui(resp.

vi) sont toutes nulles à partir d"un certain indice. En omettant ces composantes éventuellement

nulles, on obtient deux suites finies. On identifiera ces deux suites finies aux suitesuetv. Par exemple, les suites infiniesu= (3,0,1,0)etv= (0,4,0)correspondent à la sphéroboule S

31×S3×B42=S31S13B42=S(3,0,1)B(0,4)= [3,0,1;0,4](2.31)

de dimension 14 qui est plongée dans l"espace euclidien ambiantR18, de dimension 18.

3 Équivalences archimédiennes de sphéroboules

Puisque la sphère, la boule et les cylindres circonscrits utilisés par Archimède sont des cas

particuliers de sphéroboules de même rayon et que les résultats d"Archimède sont indépendants

du rayon, nous allons dorénavant nous restreindre aux sphéroboules-unité et reformuler (1.1)

comme suit :volume(B3)volume(B1B2)=23 ,aire(S2) =aire(S1B1).(3.1)

Afin de généraliser ces résultats au contexte multidimensionnel desn-sphéroboules, montrons

d"abord comment calculer len-volume de ces dernières. Len-volume de lan-sphérobouleQ=SuBvest le produit des volumes des sphères et des boules qui la constituent. Ainsi, tenant compte du Théorème 1, avecr= 1, on a successivement, vol(Q) =vol(S1)u1vol(S2)u2···vol(B1)v1vol(B2)v2···(3.2) =subv(notation compacte).(3.4)

50-Bulletin AMQ, Vol. LIII, no4, décembre 2013

Désignons, comme d"habitude, parQ?l"ensemble des nombres rationnels non nuls et introduisons les deux relations d"équivalence4suivantes entre sphéroboules. Définition 4Deux sphéroboulesQ=SuBvetQ?=Su?Bv?sont dites (a)faiblement archimédiennement équivalentes, et on écritQ≂Q?, si (b)fortement archimédiennement équivalentes, et on écritQ≈Q?, si dimQ=dimQ?,dimaQ=dimaQ?etvol(Q) =vol(Q?).(3.6)

Remarques. Puisque1?Q?, l"équivalence forte, "≈», entraîne l"équivalence faible, "≂» :

Q≈Q?=?Q≂Q?.(3.7)

En ne retenant que le fait que2/3?Q?, tout en oubliant sa valeur précise, les résultats d"Archimède (1.1) et (3.1) prennent donc les formes grandement simplifiées, B

3≂B1B2, S2≈S1B1.(3.8)

On pourrait penser qu"une généralisation naturelle du résultat d"Archimède,S2≈S1B1, serait de

la formeSn≈Sn-1B1. C"est faux, puisque le lecteur peut vérifier queSn≈Sn-1B1??n= 2. La généralisation naturelle deS2≈S1B1est plutôt la suivante : ?n≥2, Sn≈S1Bn-1.(3.9) En effet,dimSn=n=dim(S1Bn-1),dimaSn=n+ 1 =dima(S1Bn-1)et on a, par (2.9)-(2.11) : vol(Sn) =sn=σnπ[(n+1)/2]= 2πβn-1·π[(n-1)/2]=vol(S1)·vol(Bn-1).(3.10) La famille de couples équivalents (3.9) est loin d"être la seule en dimensions supérieures, comme le montre le Tableau 3 calculé à l"aide du logicielMaple[7]. Ce tableau contient une liste exhaustive, jusqu"à la dimension ambiante 6, de tous les couples équivalentsréduitsde

sphéroboules. Un couple est ditréduitsi les sphéroboules impliquées n"ont pas de facteurs

communs de typeSiouBj5.4

. Rappelons qu"une relation d"équivalence sur un ensemble,X, est une relation binaire,≡, surXsatisfaisant

les trois conditions : (réflexivité)[x≡x], (symétrie)[x≡x???x?≡x], (transitivité)[x≡x??x?≡x??=?

x≡x??

], pour tousx,x?,x???X. Toute relation d"équivalence sépareXen classes disjointes telles que[x≡x?]

si et seulement sixetx?sont dans la même classe. 5

. En effet, à cause de la compatibilité des équivalences d"Archimède avec les produits, on peut toujours

simplifier les facteurs communs pour établir l"équivalence de deux sphéroboules. Par symétrie des relations

d"équivalence, nous avons délibérément omis d"inclure le " symétrique » de chaque couple dans ce tableau :

par exemple, bien que le coupleS2B3≂S1B21B2y apparaît, il n"était pas nécessaire d"inclure le couple

S1B21B2≂S2B3dans le tableau.

Bulletin AMQ, Vol. LIII, no4, décembre 2013-51

dim adimCouplesréduitsde sphéroboules équivalentes selon "≂» et "≈»32S

2≈S1B1(Archimède)33B

3≂B1B2(Archimède)43S

3≈S1B244B

4≂B2254S

S

4≂S3B1S2B2≂S1B3S4≂S2B255B

22≈S21B2165S

S

Malgré son intérêt propre, le Tableau 3 contient certaines redondances dues à la transitivité

des relations d"équivalence "≂» et "≈» devant les produits. Par exemple, dans l"entrée

correspondant aux dimensions 5, 4, la relationS2B2≂S1B3est redondante car elle est

conséquence deS3B1≈S2B2et deS3B1≂S1B3, par transitivité (et symétrie). De même, en

dimensions 6, 4, la relationS22≈S21B21est redondante puisqu"elle est le " carré » de la relation

d"ArchimèdeS2≈S1B1.

Dans les sous-sections 3.1 et 3.2 qui suivent, nous allons éliminer ces redondances en construisant

des ensemblesminimauxde couples réduits de sphéroboules quiengendrentles relations

d"équivalence "≂» et "≈» respectivement. De tels ensembles minimaux de couples réduits

équivalents sont aussi appelésbasesde la relation d"équivalence : aucun couple d"une base est

conséquence d"autres couples de la base et tout couple équivalent est conséquence de couple(s)

de la base.

3.1 Une base pour l"équivalence archimédienne faible

L"équivalence faible (selon "≂») est relativement facile à analyser, contrairement à l"équivalence

forte (selon "≈») qui possède une structure extrêmement complexe et que nous allons étudier

dans la prochaine sous-section. En fait, l"étude de ces équivalences se ramène à l"analyse du

52-Bulletin AMQ, Vol. LIII, no4, décembre 2013

noyau de certaines transformation linéaires. Proposition 1Considérons deux sphéroboules,Q=SuBv= [u;v]etQ?=Su?Bv?= [u?;v?]. Alors,Q≂Q?si et seulement si le vecteur[x;y] = [u-u?;v-v?]satisfait les conditions ix i= 0,(3.11) ii(xi+yi) = 0,(3.12) i:impair(xi-yi) = 0,(3.13) où la dernière sommation n"est effectuée que sur les indices impairs.

DémonstrationPar (2.23), l"égalité de dimensions,dimQ=dimQ?, équivaut à l"égalité (3.12).

À cause de (2.25) et (3.12), l"égalité des dimensions ambiantes,dimaQ=dimaQ?, équivaut à

(3.11). Finalement, par (2.10) et (2.11), vol(Q)vol(Q?)=vol(SuBv)vol(Su?Bv?)=subvs u?bv?=σuβvσ d=? i[ 12 (i+ 1)]xi+? i[ 12 i]yi,(3.15)

où[t]désigne le plus grand entier n"excédant past. Puisqueσxii,βyiisont rationnels et queπ

est transcendant (c"est-à-dire qu"il n"est racine d"aucun polynôme de degré>0à coefficients

rationnels, [2]), on en déduit que (3.14) représente un nombre rationnel si et seulement sid= 0.

Tenant compte de (3.15), cette condition devient,

i:impair12 (i+ 1)xi+? i:pair12 ixi+? i:impair12 (i-1)yi+? i:pair12quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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