[PDF] I. Rail de Laplace Si on relie les deux

View - Download I. Rail de Laplace

Previous PDF

Next PDF

ATSLycée Le DantecEM 7 Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

I. Rail de Laplace

I.1. Conversion électromécanique : analyse

On a déjà rencontré le dispositif des rails de Laplace : il consiste en deux rails métalliques parallèles situés dans

l"entrefer d"un aimant en U. On y dépose une tige, de massem, susceptible de se déplacer sans frottement.

Premier cas : moteur électriquehttps://www.youtube.com/watch?v=QK_irRFTM-U

Si on relie les deux rails à un générateur, un courant circule dans le circuit, provoque une force de Laplace sur

la tige et la met en mouvement (cf EM4a II). C"est un fonctionnement de type moteur électrique.

énergie électrique=)énergie mécanique

Lorsque la tige se déplace, le flux du champ magnétique à travers le circuit varie. D"après la loi de Lenz il

apparaît dans le circuit une fem induite qui va tendre à s"opposer à la circulation du courant dans le circuit.

Vérifier le sens de la force de Laplace sur le schéma de gauche.

Deuxième cas : générateur électriqueOn ôte le générateur et on relie les deux rails par une résistance électrique. Si l"opérateur déplace la tige alors le

flux du champ magnétique à travers le circuit va changer : il apparaît des courants induits qui vont provoquer

une force de Laplace qui va s"opposer au mouvement de la tige donc à la force exercée par l"opérateur. La mise

en mouvement de la tige permet la circulation du courant :

énergie mécanique=)énergie électrique

Question : prévoir le signe dei.

i >0: dans ce cas la force de Laplace est de sens opposé à~Fop.

On constate ainsi qu"un même dispositif peut fonctionner soit en moteur électrique, soit en générateur électrique.

1

ATSLycée Le DantecI.2. Mise en équation

On se place dans le cas où un opérateur exerce une force ~Fopsur la tige, de massem, supposée mobile sans

frottements. On noteRla résistance totale du circuit que l"on suppose constante. On suppose~B=B ~uz

uniforme.!on oriente le circuit :on choisit un sens d"orientation pouri(et on s"y tient)

!on en déduit l"orientation la normale~nà la surface, par la règle de la main droite (son sens détermine

le signe du flux).Remarque :avec l"orientation choisie ici pour le circuit,~net~Bsont dans le même sens.

a) Équation électrique

Le mouvement de la tige modifie le flux du champ magnétique. D"après la loi de Faraday, il apparaît une fem

induite dans le circuit : e=ddt=dextdtdpdt:

Pour des rails de Laplace, on peut négliger le champ magnétique propre devant le champ magnétique extérieur :

k ~Bpk k~Bk

Ainsipext: cela revient à négliger le phénomène d"auto-induction et donc à négliger l"inductance propre

du circuit. Ainsi'ext. On trace le schéma électrique équivalent :eRi= 0 e=Ri=~B~S=BS =B `x ddt=B`_x=B`v e=ddt=B`v=Ri 2

ATSLycée Le DantecRi=B`v(E.E.)

Remarque :si on tenait compte de l"inductance propree=ddt=dextdtdpdt=dextdtLdidt. On sché- matiserait le circuit par :L"équation électrique devient :

Ri+Ldidt=dextdt=B`v

b) Équation mécanique

Système :

tige

Référentiel :

terrestre galiléen

Bilan des forces :

p oids?~ux réactions des rails (supp oséesnormales : pas de frottemen t)?~ux ~Fop=Fop~ux: force de traction ~FLap: force de Laplace

FLap=i

B A d~`^~B=i!AB^~B=i`~uy^B~uz=i`B~ux=FLap~ux

On projette le PDF sur~ux:mx=FLap+Fop=i`B+Fop

m dvdt=i`B+Fop(E.M.) c) Analyse

Les équations électriques (E.E.) et mécanique (E.M.) sont couplées :vetiapparaissent dans les deux équations.

On peut les découpler pour retrouver, soit une équation env, soit une équation eni.

équation vérifiée par la vitesse

D"après (E.E.) :i=B`vR

. On reporte dans(E:M:): m dvdt=B`vR `B+Fop m dvdt=`2B2R v+Fop Ainsi ~FLap=i`B~ux=`2B2R v~ux=`2B2R ~v.

La force de Laplace est équivalente à une force de frottement visqueux qui tend à freiner le mouvement de la

tige. Conformément à la loi de Lenz, les courants induits s"opposent, par leurs effets, à la cause qui leur a donné

naissance. Si l"opérateur exerce une force constante, la barre atteindra une vitesse limitev1telle que

0 =`2B2R

v1+Fop 3

ATSLycée Le Dantecv

1=RFop`

2B2 On peut calculer la durée caractéristique du régime transitoire : dvdt+`2B2mR v=Fopm dvdt+1 v=Fopm avec=mR`

2B2. Au bout de quelques,v'v1.

On peut aussi résoudre complètement l"équation du mouvement, en remarquant quev=v1correspond à la

solution particulière de l"équation. v(t) =v1+et

Àt= 0,v(0) = 0 =v1+.

v(t) =v1(1et )tv Ov

1équation vérifiée par l"intensité

On dérive (E.E.) par rapport au temps, puis on utilise (E.M.) : R didt=B`dvdt=B`m (i`B+Fop) didt+B2`2mR i=B`mR Fop didt+1 i=B`mR Fop On retrouve le même temps caractéristique=mRB

2`2. Au bout de quelques,i'i1telle que

B 2`2 mRi1=B` mRFop i

1=FopB`

En régime permanent, l"opérateur exerce une force opposée à la force de Laplace. 4

ATSLycée Le DantecI.3. Bilan énergétique

((E.M.)v (E.E.)i8 :mdvdtv=i`Bv+Fopv Ri

2=B`vi

D"où, en éliminant le terme de couplagei`Bventre les deux équations : m dvdtv=Ri2+Fopv F opv=ddt 12 mv2

+Ri2l"énergie fournie par la forceFopexercée par l"opérateur est convertie en énergie cinétique et en énergie

électrique (convertie ici en énergie thermique par effet Joule dans la résistanceR).

en régime permanent,v=v1=cte,Fopv=Ri2: toute la puissance fournie par l"opérateur est dissipée par

effet Joule dans la résistance etFop=FLap.

SoitPfemla puissancefourniepar la fem induite :

P fem=ei=B`vi

SoitPLapla puissance de la force de Laplace :

P

Lap=FLapv=i`Bv

On a la relation

P

Lap+Pfem= 0:

On peut généraliser ce résultat :Lorsqu"un circuit mobile est plongé dans un champ magnétiquestationnaire, il est le siège d"une

conversion de puissance électromécanique vérifiant la relation : P

Lap+Pfem= 0

avec -PLapla puissance de la force de Laplace -Pfemla puissance fournie par la fem induite par le champ magnétiqueextérieure=dextdt SiPfem>0alors on a ungénérateur électrique(PLap<0, la force de Laplace s"oppose au mouvement. L"opérateur doit donc fournir de l"énergie pour maintenir le mouvement et produire ainsi un courant électrique).

énergie mécanique=)énergie électrique

SiPLap>0alors on a unmoteur électrique(et doncPfem<0, la fem induite s"oppose à la circulation du courant). énergie électrique=)énergie mécanique5 ATSLycée Le DantecI.4. Méthode générale .Commencer par analyser le comportement du dispositif étudié en s"appuyant sur la loi de Lenz .orienter le circuit

.en déduire le sens de la normale au circuit par la règle du tire-bouchon (ou de la main droite)

.établir l"équation électrique (E.E.) .établir l"équation mécanique (E.M.) .découpler les équations pour obtenir soit une équation env, soit une équation eni .faire le bilan énergétique( (E:M:)v

(E:E:)iet éliminer le terme de couplage entre les deux équations.I.5. Exercice : rail de Laplace alimenté par un générateur continu

On se place dans le cas où on alimente le circuit avec un générateur modélisé par une source de tensionEen

série avec une résistanceRg. On néglige la résistance des rails et de la tige devantRgainsi que l"inductance

propre du circuit. On ferme l"interrupteurKàt= 0alors que la tige possède une vitesse nulle. Le champ

magnétique est uniforme et a pour expression~B=B~uzavecB >0(voir schéma). 1.

Expliquer la mise en mouv ementde la tige ainsi que l"apparition d"un phénomène d"induction. Déduire

de la loi de Lenz le rôle de la fem induite. 2. Établir les équations électrique et mécanique. 3. Déterminer les solutions i(t)etv(t)de ce système d"équations couplées. 4.

F airele bilan énergétique. 1.La fermeture de l"in terrupteurpro voquela circulation d"un couran ti >0. La tigeABsubit une force de

Laplace qui la dévie vers la droite. Le flux du champ magnétique à travers le circuit varie : il apparaît une

fem induite qui s"oppose à la circulation du courant. 2.

On déduit le sens de la normale ~ndu sens d"orientation choisi pourià l"aide de la règle de la main droite.

Équation électrique

EB`v=Rgi

Équation mécanique

mdvdt=i`B 3. On en déduit les équations découplées : dvdt+B2`2mR gv=E`BmR g didt+B2`2mR gi= 0 qui admettent pour solutions : v(t) =v1 1et= avecv1=EB` et=mRgB 2`2 6

ATSLycée Le Danteci(t) =ER

get= car d"après l"équation électrique àt= 0+:

EB`v(0+)|{z}

=0=Rgi(0+) i(0+) =ER g 4.

Bilan énergétique

Ei=ddt

12 mv2 +Rgi2 7 ATSLycée Le DantecII. Courants volumiques dans un conducteur mobile : freinage par courant de Foucault

Dans le chapitre précédent on a vu qu"il était possible de chauffer des matériaux conducteurs à l"aide d"un

champ magnétique variable.

Ainsi, pour éviter l"échauffement du noyau de fer doux d"un transformateur, on entrave la circulation des cou-

rants volumiques en feuilletant le milieu ferromagnétique.

Si désormais c"est le conducteur qui est mobile dans un champ magnétique stationnaire, il y apparaît aussi des

courants volumiques, ditscourants de Foucault, qui s"opposent par leurs effets à la cause qui leur a donné

naissance, à savoir le mouvement du conducteur. Le conducteur mobile va donc être freiné. Cette propriété est

utilisée pour le freinage des poids lourds. Émission "On n"est pas des cobayes :Peut-on freiner sans freins" commencer à 6 min 10 s. 8

ATSLycée Le DantecIII. Haut parleur

III.1. Modélisation

Un haut-parleur permet la conversion d"un signal électrique en signal acoustique via la mise en mouvement

d"une membrane. On expose ici le principe du haut-parleur dans le cas de la géométrie simplifiée des rails de

Laplace.

Modélisation mécanique : forces s"exerçant sur la membraneLa membrane du haut-parleur est solidaire de la tige soumise à une force de rappel exercée par un ressort

de longueur à vide`0et de raideurk. Cette force de rappel modélise l"action des anneaux élastiques reliant

la membrane au bâti.

T=k(`0+x`0)~ux=kx~ux

Pour tenir compte de l"émission d"une onde sonore par la membrane, et de la perte d"énergie associée, on

ajoute une force supplémentaire de type frottement fluide s"exerçant sur la membrane : f=h~v=h_x~ux

Modélisation électriqueLe circuit est alimenté par une tension variableE(t)correspondant au signal électrique à convertir en signal

sonore.

On noteLl"inductance propre du circuit. Dans le circuit des rails de Laplace elle est en général négligeable.

Cependant, dans un modèle plus réaliste de haut-parleur, mettant en jeu une bobine, on doit en tenir compte.

On noteRla résistance totale du circuit.Analyse :

La tensionE(t)appliquée fait circuler un courant qui crée une force de Laplace mettant la tige en mouvement.

La tige étant mobile dans un champ magnétique stationnaire, il apparaît une fem induite qui tend à s"opposer

à la tensionE(t). Une partie de l"énergie électrique fournie par la source de tension va être convertie en énergie

mécanique (puis en énergie acoustique). 9

ATSLycée Le DantecIII.2. Mise en équation

a) Équation électrique on orien tele circuit (v oirsc héma) en en déduit l"orien tationd ela normale ~n On a le schéma équivalent :D"après la loi des mailles :

E(t)Ldidt+eRi= 0

avec la fem induitee=dextdt. On aext=0+`Bxavec0le flux de~Bpourx= 0. D"oùe=dextdt=`B_x=`Bvavecv= _x.

E(t) =Ri+Ldidte

E(t) =Ri+Ldidt+`B_x

E(t) =Ri+Ldidt+`B_x(E.E.)

b) Équation mécanique

Système : tige

Référentiel : terrestre galiléen

Bilan des forces :

p oids?~ux réactions des rails (supp oséesnormales : pas de frottemen t)?~ux force de rapp el: kx~ux force de fro ttement: hv~ux=h_x~ux force de Laplace : ~FLap=i`~uy^B~uz=i`B~ux

PFD sur~ux:mx=kxhv+i`B

mx=kxh_x+i`B(E.M.) c) Bilan énergétique (E(t)i=Ri2+Ldidti+`B_xi mx_x=kx_xh_x2+i`B_x D"où, en éliminant le terme de couplagei`B_x:

E(t)i=Ri2+h_x2+ddt

12 Li2 +ddt 12 m_x2+12 kx2 10

ATSLycée Le DantecIII.3. Régime sinusoïdal permanent : modèle électrique équivalent

E(t) =E0cos!t!E=E0ej!t

On cherche une expression de la formeE=Zeq

iOn reprend (E.E.) et (E.M.) en notation complexe.

On av= _x=j!xd"oùx=

vj! etx=j!_x=j!v. 8>< :E=Ri+jL!i+`BvE.E. mj!v=kj! vhv+i`BE.M. d"après (E.M.)v= `Bh+jm!+kj! ion reporte dans (E.E.) :

E=Ri+jL!i+

`2B2h+jm!+kj! iE= 0 B

B@R+jL!+`2B2h+jm!+kj!

1 C

CAi= (R+jL!+Zm

)iZm est appelée impédance motionnelle. 1Zm =h`

2B2+jm!`

2B2+kj`

2B2! 1R m+jCm!+1jL m!

Schéma électrique équivalent :R

m=`2B2h Cm=m`

2B2Lm=`2B2k

11 ATSLycée Le DantecIII.4. Bilan énergétique

On a établi au III.2.c.

E(t)i=Ri2+h_x2+ddt

12

Li2+12

m_x2+12 kx2 Prenons la valeur moyenne de cette égalité : < E(t)i >=< Ri2>+< h_x2>+Li2+12 m_x2+12 kx2

Les fonctions_x2,x2eti2sont des fonctions périodiques. Or, La valeur moyenne de la dérivée d"une fonction

périodique est nulle.

Vérification :

Soit f(t)une fonction périodique de périodeT. df(t)dt>=1T t0+T t

0df(t)dtdt=1T

[f(t)]t0+T t

0=f(t0+T)f(t0)T

= 0 d"où ddt 12

Li2+12

m_x2+12 kx2 >= 0

Le bilan énergétique devient :

< E(t)i >=< Ri2>+< h_x2>-< E(t)i >correspond à la puissance fournie -< Ri2>est la puissance dissipée par effet Joule

-< h_x2>est la puissance de la force de frottement fluide : elle modélise la perte d"énergie associée à

l"émission d"une onde acoustique. Ce terme mesure donc la puissance acoustique émise. On peut définir le rendement d"un haut parleur par : =< h_x2>< E(t)i > Remarque :les rendements typiques des haut-parleurs sont de l"ordre de 2 à 3%. 12 ATSLycée Le DantecIII.5. Description d"un haut-parleur réel

Le haut-parleur réel possède une géométrie différente de celle modélisée par le rail de Laplace, mais son principe

de fonctionnement est totalement comparable. le champ magnétique est créé par unaimant to- rique (ou annulaire)produisant un champ ma- gnétique radial de la forme ~B=B~er. L"entrefer est donc une cavité cylindrique. le circuit mis en mouvement par les forces de La- place est unebobine cylindriqued"axeOzsus- ceptible de se translater suivant l"axeOz. la bobine est liée à une membrane maintenue en place par deuxanneaux élastiquesappelés spi- der et suspension. Ce dispositif est modélisé par

un ressortRemarque :La présence de la bobine justifie a posteriori la prise en compte de l"inductance propre du circuit

dans le modèle avec rails de Laplace. 13 ATSLycée Le DantecCircuit mobile dans un champ magnétique stationnaire

Circuit en translation rectiligne dans un

quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

[PDF] force de lorentz exercice corrigé

[PDF] loi de laplace pdf

[PDF] force de laplace

[PDF] induction(correction exercice)

[PDF] propulsion fusée quantité de mouvement

[PDF] propulsion par réaction

[PDF] force de pression sur une paroi courbe

[PDF] force de pression sur une paroi plane tp

[PDF] force de pression sur une paroi inclinée

[PDF] force hydrostatique sur une surface courbe

[PDF] force de poussée hydrostatique

[PDF] force hydrostatique appliquée sur une paroi verticale plane

[PDF] quelle valeur ajoutée pensez vous pouvoir apporter

[PDF] décrivez votre personnalité exemple

[PDF] force de proposition synonyme