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LAPLACE. Dans la suite nous étudierons d'abord l'action d'un champ magnétique uniforme sur un courant rectiligne
La loi de LAPLACE
La loi de LAPLACE. Un conducteur traversé par un courant et placé dans un champ magnétique est soumis à une force dont le sens est déterminée par la règle
école numérique - theme: electricite titre de la leçon : loi de laplace
Un conducteur placé dans un champ magnétique et traversé par un courant électrique constant subit une force électromagnétique appelée force de LAPLACE. 2. Loi
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B perpendiculaire au plan de la roue. Le contact en M est ponctuel et le courant traverse la roue suivant le rayon OA. 1) Calculer la force de Laplace
Généralisations de la loi de probabilité de Laplace
presque certainement constant X et Y le sont aussi). GÉNÉRALISATION D'UN THÉORÈME. DE SERGE BERNSTEIN. Vers une définition descriptive de la loi de Laplace
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Loi de LAPLACE. un conducteur rectiligne de longueur L parcouru par un courant d'intensité I placé dans un champ magnétique uniforme ⃗⃗ est soumis à
Solutions Exercices de Forces electromagnétiques __ Loi de Laplace
D'après la force de Laplace et la règle de la main droite le sens du courant électrique est vers la droite. Exercice_3. Lorsqu'on met un conducteur parcouru
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Loi de Laplace – Exercices corrigés. Exercice 1. Correction 1. 1°) Représentation du sens du courant et des forces électromagnétiques.
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conducteur électrique d'origine électromagnétique : c'est la force de LAPLACE. 1.2. LOI DE LAPLACE. Enoncé de la loi : « Une portion rectiligne de
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LOI DE LAPLACE. CI. C'. 0 c) f). E=mc². M. 1) Représenter sur chaque croquis la force électromagnétique F. 2) Dans quel (s) cas la tige MN a-t-elle tendance
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1) Calculer la force de Laplace et son moment par rapport à l'axe de rotation 2) Calculer la puissance du moteur ainsi constitué lorsque la roue effectue n
Quel est l'énoncé de la loi de Laplace ?
« Au cours d'une transformation quelconque d'un système fermé, la variation de son énergie est égale à la quantité d'énergie échangée avec le milieu extérieur, sous forme de chaleur et sous forme de travail. » Dans le cas d'un système thermodynamique, seule l'énergie interne varie.Quand utiliser la force de Laplace ?
Une tige conductrice fermant un circuit placé horizontalement dans un champ magnétique vertical est soumise à la force de Laplace lorsque le courant passe. La tige se met alors en mouvement, et son sens de déplacement est déterminé par la règle de la main droite.Quel est l'expression de la force de Laplace ?
La force de Laplace (force macroscopique) s'exprime par la relation dF = I. dl ?B. La portion de conducteur soumise à la force est représentée par le vecteur dl qui orienté dans le sens du courant I.- La force de Lorentz présente deux caractéristiques :
Le champ magnétique est défini par la relation F ? m = q v ? ? B ? qui fait intervenir un produit vectoriel.
ANNALES DE L"I. H. P.MAURICEFRÉCHET
Annales de l"I. H. P., tome 12, no1 (1951), p. 1-29 © Gauthier-Villars, 1951, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Annales de l"I. H. P. » implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 1Généralisations de la loi de
probabilité deLaplace
parMaurice FRÉCHET.
RÉSUMÉ.
Deux définitions sont données
pourétendre la définition
classique de la loi de probabilité deLaplace (dite
aussi loi normale) concernant un nombre aléatoire. Toutes deux s'appliquent au cas d'un élérnent aléa-. toire de nature quelconque, choisi dans un espace vectoriel distancié.Dans la
première, X est appelé un élément aléatoire laplacien si ,~X est un nombre aléatoire laplacien quelle que soit la fonctionnelle linéaire ~X.. La seconde est une définition descriptive qui ne présuppose pas ce qu'est un nombre laplacien et qui est fondée sur l'extension d'un théorème de SergeBerns tein.
SUMMARY.
Two definitions are
given for extending the classical definition of theLaplace (or
so called, normal) law of probability of a random number. Both apply to the case of a random élément of any nature whatsoever, chosen in a distanced vectorial space.In the 6rst
one,X is called a
Laplacian
random number if ,~ X is a laplacian random number for every linear functional 1: X. The second is a descriptive definition which does not presuppose what aLaplacian
number is and is based on an extension of a theorem of SergeBernstein.
2FONCTION
CARACTÉRISTIQUE.
Fonction
caractéristique dans un espace vectoriel distancié.Soit X
un élément aléatoire de nature quelconque choisi au hasard dans un espace vectoriel distancié B. W.Et soit ,~X une fonctionnelle
linéaire ( 2 ) définie sur B. W. Par exemple, si B. W. est un espace cartésien à un nombre fini, ;, de dimens ions, X ayant les coordonnéesX~, ..., Xr,
,~ X sera de la forme _ .~ X = où t1, ..., tr sont des constantes.Dans ce
cas, on appelle, depuis longtemps, fonction caractéristique de X, la fonction03C6X(t1,..., fI')
= Jll ei(t1X1+...+lrXr) = eiX 7 t~, ... , t,. définissent .~ et inversement ; on peut donc aussi représenter la fonction caractéristique par la notation condensée = eiX.Cette notation où n'intervient
plus l'hypothèse queB. W. est ici à
r dimensions, nous invite à une extension immédiate. Quand l'élément aléatoire X appartientà un
espace vectoriel distancié quelconque B. W., nous appellerons (3) fonction caractéristique deX, l'expression déjà
considérée ci-dessus [ J5 ] = eiX qui fait correspondre à toute fonctionnelle linéaire X définie sur B. W., un nombre réel ou complexe fini et déterminé c~x~.~~.Pour la définition d'un
espace vectoriel distancié (donnée simultanément parN. Wiener et
Banach) )
voir par exemple notre ouvrage Les espaces abstraits, chez Gauthier-Villars, 1928, au paragraphe XIV, p. r41. (2)C'est-à-dire une transformation de
chaqueélémcn t x de B.W, en un nombre réel
x, qui soit distributive et continue : (x1 + x2) x1 + x2; lim x = x. (3)Cette définition
(ou des définitions voisines) ont été déjà proposées, par divers auteurs.Voir, par exemple, pour
le cas où X est une fonction LE Un instrument d'étude des fonctions aléatoires la fonction caractéristiqne ( C. R., t.224, I947,
p. 7I0-7II), et pour le cas général,Mlle E.
MOCRIER,
Sur l'espérance mathématique d'unélément aléatoire dans un
espace de Banach (C.R..4cad.
Sc., t.229, I949, p. I300-I30I).
3 Par exemple si B. W. est l'espace H deHilbert,
X a une suite de
coordonnées Xli telle que 03A3X2k converge et X est de la forme X =03A3tkXk,
où la série l t% converge.Dans ce
cas, la fonction caractéristique est aussi une fonction de la suite infinie des tk , ~ ( t1, t~, ... ) _ ~i~. e1 ~clY1+...+ckx~+... ),Si B. W. est
l'espace L2 des fonctions numériques X(x) d'une variable numérique x, qui sont de carré intégrable sur un intervalle fixe I, on sait que .~X est de la forme X = X (x) l(x) dx, où /(.r) appartient La de sorte que la fonction caractéristique est aussi une transformation de l(.x) en un nombre réel ou complexe03A6[l] = et(x)
l (x) dxSi B. W. est
l'espaceC des fonctions
numériques X(x) d'une variable numérique x continues sur un intervalle fixe I, on sait que .~X = où L(x) est une fonction à variation bornée. La fonction caractéristique est alors une transformation de L(x) dans le nombre réel ou complexeConsidérons encore le cas
où,X étant choisi au hasard dans un
espace vectoriel distancié B. W., nous supposons que cet espace possède une base. C'est-à-dire qu'il existe une suite dénombrable d'éléments distincts ?i, e2, ..., de B. W. pour laquelle, quel que soit l'élément X de B. W., il lui correspond une suite et une seule ~e nombresX~, .X2....
tels que X =Xi ei + X2 e2 +
cetteégalité signifiant que
4 en posantXle1+...+ Xnen.
Toute fonctionnelle linéaire ~X définie sur B. W. étant distributive et continue, on a .ex == lim = lim (X1 e1Xnen),
d'où .~X=X~.~e1+...+X"~.e,t+..., Xnétant
par hypothèse complètement déterminé par X, c'est une fonc- tionnelle de X. On démontre qu'elle est linéaire.Notons enfin
que si un espace vectoriel distancié possède une base, il est séparable, c'est-à-dire qu'on peut extraire de cet espace un ensemble dénombrable N tel que tout point de l'espace soit limite d'une suite extraite de N.On voit
que, dans le cas actuel, la fonction caractéristique de X03C6X[]
_ eiX peutêtre
représentée par e = [lin eiX(n)] = m lim ei(X1e1+...+Xnen)Inversion.
Quand on se donne la fonction caractéristique 03C6X[] de l'élément 'X, on en déduit la fonction caractéristique du nombre ~?X03C6X(03C1)
== ei03C1X=03C6X[03C1]. 11 y a donc une seule loi de probabilité correspondante de ,~X, définie par sa fonction de répartition F (x) au moyen de la formule connueF(x)-F(o)=I 203C0
v. p.03C6X[03C1]
l _ d03C1, - x lp où v.p. +~-~ est mis pour lim +CC et où la constante F(o) est déter- minée par la conditionF(- 00 )
= o.La connaissance de la fonction
F(x)Prob[X x]
quelle que soit la fonctionnelle linéaire .~X contribue à la connaissance 5 de la loi de probabilité de X. Car la " fonction de distribution » de X P(e) = Prob. [X appartientà l'ensernble e de B.
W.] sera connue pour tout ensemble e constitué par tous les points de B.W. situé d'un même côté du " plan » ,X = x de B. W.On sait même
qu'au moins dans les cas les plus simples (par exemple quand l'espaceB. W. est un
espace euclidien à un nombre fini de dirnen- sions) la fonctionquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17[PDF] induction(correction exercice)
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