[PDF] Cours dAutomatique 28 juin 2017 Ce cours

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2`emeann´ee ENSIP, parcours MEE

Cours d"Automatique

Repr

´esentations d"´etat lin´eaires

des syst `emes monovariables

Olivier BACHELIER

Courriel :

Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr

Tel : 05-49-45-36-79; Fax : 05-49-45-40-34

2`emeann´ee ENSIP, parcours MEE

Cours d"Automatique

Repr

´esentations d"´etat lin´eaires

des syst `emes monovariables

Olivier BACHELIER

Courriel :

Olivier.Bachelier@univ-poitiers.fr

Tel : 05-49-45-36-79 ; Fax : 05-49-45-40-34

28 juin 2017

R´esum´e

Ce cours d"Automatique s"inscrit dans le cadre de la deuxi`eme ann´ee de?cycle ing´enieur?de l"´EcoleNationaleSup´erieure d"Ing´enieurs dePoitiers (

ENSIP) et s"adresse aux ´etudiants de

la fili`ere´Energie, parcoursMaˆıtrise de´Energie´Electrique (

MEE). Ces derniers ont d´ej`a suivi

un enseignement relatif `a l"´etude des syst`emes lin´eaires mod´elis´es par une fonction de transfert

(approche fr´equentielle). Ce cours s"int´eresse aux mˆemes syst`emes mais propose une ´etude via un

mod`ele diff´erent, appel´e repr´esentation d"´etat lin´eaire (approche temporelle).

Connaissances pr

´ealables souhait´ees :

notions de syst`emes lin´eaires, ´equations diff´erentielles, fonction de transfert enp(voire enz), analyse et commande des syst`emes lin´eaires par approche fr´equentielle, quelques bases d"alg`ebre lin´eaire. ii

Table des mati`eres

1Introduction1

1.1Notion de syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2Notion de mod`ele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3Grandes lignes du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2Rappel sur la fonction de transfert5

2.1´Equations pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Lin´earit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Mod`ele entr´ee/sortie : l"´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Transform´ee de Laplace : de l"´equation diff´erentielle `a la fonction de transfert. . . . . . . 6

2.2Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Comment obtenir la fonction de transfert?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Int´erˆet de la fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3La repr´esentation d"´etat11

3.1Principe g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2De la non-lin´earit´e `a la lin´earit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3Historique de la repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4Comment obtenir un mod`ele d"´etat?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4.1 Par le jeu d"´equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4.2 Par l"´equation diff´erentielle unique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5De la fonction de transfert `a la repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5.1 Cas d"une fonction de transfert strictement propre (m < n). . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5.1.1R´ealisation diagonale ou quasi diagonale de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . 17

3.5.1.2R´ealisation de forme compagne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5.2 Cas d"une fonction de transfert non strictement propre (m=n). . . . . . . . . . . . . . 20

3.6De la repr´esentation d"´etat `a la fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7D"une r´ealisation `a l"autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7.1 Changement de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7.2 Obtention d"une forme compagne (horizontale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.7.3 Obtention d"une forme de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.7.3.1Les valeurs propresλideAsont distinctes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.7.3.2Les valeurs propresλideAsont multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4R´eponse d"un mod`ele d"´etat25

4.1Solution du syst`eme autonome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.1 Matrice de transition d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.2 Solution de l"´equation homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2Solution de l"´equation d"´etat compl`ete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3Calcul deeAt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3.1 M´ethode des s´eries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3.2 Par la transformation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.3 M´ethodes des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

iii

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

4.4R´egime transitoire : influence des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.5R´eponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.6R´eponse indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.7R´eponse harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5Stabilit´e des mod`eles d"´etat35

5.1Une approche quasi intuitive : la stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2Stabilit´e d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2.1 D´efinition et recherche d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2.2 Stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3Crit`eres de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3.1 Crit`ere des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3.1.1rang(A) =n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3.1.2rang(A) =n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3.1.3rang(A)< n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3.1.4En r´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3.1.5Stabilit´e interne et stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3.1.6Les marges de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3.2 Crit`ere de Routh/Hurwitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3.3 M´ethode de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6Commandabilit´e et observabilit´e43

6.1D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.1 Commandabilit´e ou gouvernabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.2 Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2Crit`ere de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2.1 Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2.2 Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2.3 Dualit´e des deux concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.3Crit`eres s"appliquant aux formes de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3.1Adiagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3.2Anon diagonalisable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.4Grammiens de commandabilit´e et d"observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.4.1 D´efinition des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.4.2 Interpr´etation des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.4.3 Calcul des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.5Mod`eles et structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.5.1 Diff´erence entre les mod`eles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.5.2 Syst`emes composites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.6R´ealisation minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.6.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.6.2 R´ealisation minimale et notion de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.6.3 R´ealisation minimale et stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7Commande par retour d"´etat55

7.1Notion de retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.2Retour d"´etat et performances transitoires : le placementde pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2.1 Commandabilit´e et placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2.2 Placement de pˆoles sur une r´ealisation canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2.3 Placement de pˆoles sur une r´ealisation quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.2.3.1Obtention de la forme canonique `a partir de la fonction de transfert. . . . . . . 58

7.2.3.2Obtention de la forme canonique `a partir d"une autre r´ealisation. . . . . . . . . 58

7.2.3.3Algorithme de placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.3Performances statiques et retour d"´etat : la pr´ecommande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.4Rejet de perturbation et retour d"´etat : adjonction d"int´egrateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

iv

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

7.4.1 Premi`ere approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.4.2 Seconde approche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8Commande par retour de sortie : les observateurs69

8.1Notions pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.1.1 Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.1.2 Principe de l"observation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.1.3 Propri´et´e d"un observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.1.4 Condition d"existence d"un observateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.1.5`A propos de la transmission directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2Synth`ese d"un observateur d"ordre minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2.1 Observateur d"ordre minimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2.2 Proc´edure de Luenberger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.3Synth`ese d"un observateur d"ordre plein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.3.1 Observateur d"ordre plein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.3.2 Proc´edure de synth`ese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.4Commande par retour d"´etat observ´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9Introduction`a la repr´esentation d"´etat discr`ete81

9.1Rappels sur les signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.1.1 Signaux continus, discrets, quantifi´es, non quantifi´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.1.2 Transformation de signaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.1.2.1´Echantillonnage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.1.2.2Quantification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.1.2.3Blocage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9.2Syst`emes discrets lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2.2 Mod`eles externes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2.2.1´Equation r´ecurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.2.2.2Transformation enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.2.2.3Fonction de transfert enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.2.3 Repr´esentation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2.4 Lien entre les mod`eles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.2.4.1D"une r´ealisation `a l"autre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.2.4.2De l"´equation d"´etat `a la fonction de transfert enz. . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.2.4.3De la fonction de transfert enz`a l"´equation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.3Syst`emes ´echantillonn´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.3.1 Pourquoi ´etudier les mod`eles discrets? (notion de syst`eme ´echantillonn´e). . . . . . . . . 88

9.3.2 La commande num´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.3.3´Echantillonnage et th´eor`eme de Shannon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3.4 Obtention d"un mod`ele ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3.4.1Calcul deG(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3.4.2Mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.4R´eponse d"un syst`eme discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.4.1 R´eponse du mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.4.1.1R´eponse par r´esolution de l"´equation d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.4.1.2Calcul deAk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.4.1.3R´eponse d"un syst`eme ´echantillonn´e.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.4.2 Analyse de la r´eponse : ´etude des modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.5Stabilit´e d"un syst`eme discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.1 Stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.2 Stabilit´e interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.2.1D´efinition et recherche d"un ´etat d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.2.2Stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.3 Crit`ere des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

v

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

9.5.3.1R´esultat g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.5.3.2Stabilit´e interne et stabilit´e BIBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.5.3.3Marge de stabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.5.4 Crit`ere de Jury. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.5.5 M´ethode de Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.5.6 Stabilit´e d"un syst`eme ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.5.6.1´Echantilonnage d"une boucle ouverte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.5.6.2Bouclage d"un syst`eme ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.6Commandabilit´e/observabilit´ed"un mod`ele discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.6.1 D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.6.1.1Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.6.1.2Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.6.2 Crit`ere de Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.6.2.1Commandabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.6.2.2Observabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.6.2.3Dualit´e des deux concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.6.3 Crit`eres s"appliquant aux formes de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.6.4 Grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.6.4.1D´efinition des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.6.4.2Interpr´etation des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.6.4.3Calcul des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.6.5 Mod`eles et structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.6.6 R´ealisation minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.7Commande par retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.7.1 Les diff´erentes approches de la commande num´erique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.7.2 Retour d"´etat discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9.7.3 Placement de pˆoles par retour d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.7.3.1Commandabilit´e et placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.7.3.2Technique de placement de pˆoles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.8Commande par retour de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

10Conclusion107

10.1R´esum´e du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

10.2Perspectives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Annexes109

ARappels d"alg`ebre et d"analyse111

A.1`A propos des matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

A.1.1 Transposition et conjugaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

A.1.2 Matrices carr´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

A.1.3 Op´erations sur les matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

A.1.3.1Addition de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 A.1.3.2Multiplication de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

A.1.4 D´eterminant d"une matrice carr´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

A.1.4.1D´eterminant d"une matrice carr´ee d"ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 A.1.4.2D´eterminant d"une matrice carr´e d"ordre 3 ou plus. . . . . . . . . . . . . . . . 114

A.1.4.3Quelques propri´et´es du d´eterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.1.5 Cofacteurs et matrice adjointe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.1.6 Polynˆome caract´eristique d"une matrice carr´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.1.7 Rang d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.1.8 Matrices inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.1.8.1D´efinition et calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.1.8.2Propri´et´es des inverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A.1.9 Valeurs propres d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

vi

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

A.1.9.1Structure propre d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A.1.9.2Propri´et´es des valeurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

A.1.9.3Propri´et´es des vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

A.1.10 Rang d"une matrice carr´ee, d´eterminant et valeurspropres. . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.1.11 Trace d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.2`A propos de la d´efinition positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.2.1 Fonction d´efinie positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.2.2 Matrices Hermitiennes d´efinies en signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

B`A propos du r´egime transitoire121

B.1Influence du spectre de la matrice d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

B.2Influence des vecteurs propres deA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

B.2.1 Couplage modes/sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

B.2.2 couplage modes/commandes en boucle ferm´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

B.2.3 Couplage modes/consigne en boucle ferm´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

B.2.4 En r´esum´e sur les vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.3Influence des z´eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.3.1 Les z´eros d"un mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

B.3.2 Contribution des z´eros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

CFormule d"Ackermann pour le placement de pˆoles par retour d"´etat127

C.1Rappel du probl`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

C.2R´esolution selon Ackermann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

D`A propos deZ129

D.1Propri´et´es deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

D.2Tableau de transform´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

ELyapunov et les syst`emes lin´eaires131

E.1Le cas continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

E.2Le cas discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

E.3Le cas ´echantillonn´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

F`A propos des grammiens135

F.1Signification des grammiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

F.2Invariance des valeurs propres deWcWo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

GMATLABet la repr´esentation d"´etat139

G.1Fonctions math´ematiques de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

G.2Fonctions li´ees au mod`ele d"´etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

G.3Fonctions li´ees aux mod`eles discrets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

HBiographies153

H.1Alexandr Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

H.2Rudolf Kalman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

R´ef´erences bibliographiques159

vii

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

viii

Chapitre 1

Introduction

L"Automatique est une discipline scientifique qui vise `a conf´erer `a un dispositif donn´e, appel´e syst`eme, des

propri´et´es souhait´ees et ce, sans n´ecessit´e d"une intervention humaine. Une telle discipline requiert d"attribuer

un mod`ele au comportement du dit syst`eme (phase de mod´elisation) et de l"utiliser afin, d"une part, de mieux

comprendre ce comportement (phase d"analyse) et d"autre part, d"agir sur le syst`eme dans le but d"am´eliorer ses

propri´et´es (phase de commande).

Sans revenir trop longuement dans cette introduction sur des concepts ´etudi´es lors des cours relatifs `a l"approche

dite fr´equentielle, il convient de rappeler quelques notions de base. 1.1

Notion de syst`eme

Un syst`emeest unecombinaisonde composantsinterconnect´espouratteindreun objectif,rendreunservice `a unou

plusieurs op´erateurs humains.Le ?composant?est un organefonctionnelqui ne se limite pas `a un objet physique

mais peut correspondre `a un objet plus abstrait de telle sorte qu"un syst`eme peut ˆetre ´economique, financier,

d´emographique mˆeme si, dans le cadre de cet enseignement,seront plutˆot rencontr´es des syst`emes physiques,

c"est-`a-dire m´ecaniques, ´electriques, ´electroniques, hydrauliques, pneumatiques, chimiques, m´ecatroniques voire

biologiques.

Parmi les grandeurs, ´eventuellement physiques, mises en jeu dans le fonctionnement d"un syst`eme, l"on peut

distinguercelles qui,g´en´er´eesparl"environnementext´erieurau syst`eme,agissent sur ce dernier.Ce sont les entr´ees

parmi lesquelles figurent celles dont l"homme a la maˆıtrise(les entr´ees de commande ou simplement entr´ees) et

celles qui ´echappent `a son contrˆole (les perturbations).L"on distingue aussi les grandeurs par lesquelles le syst`eme

agit sur l"environnement ext´erieur, `a savoir les sorties. L"on note souvent par les lettresu,dety, respectivement

les entr´ees, les perturbations et les sorties, de sorte qu"un syst`eme peut-ˆetre repr´esent´e par le sch´ema de la figure

1.1.

Syst`emeu

1 u

2...umy

1 y

2...ypd

1dr FIGURE1.1 - Syst`eme comportantmentr´ees,psorties etrperturbations

Dans le cadre de ce cours, seuls seront ´etudi´es les syst`emes monovariables pour lesquelsm=p= 1, c"est-`a-dire

ne comportant qu"une seule entr´ee et une seule sortie. 1

Notion de mod`ele

Il est rappel´e que l"automaticien est souvent amen´e `a r´eintroduire l"information pr´esente au niveau de la sortie

sur l"entr´ee afin de modifier les performancesdu syst`eme. Ce dernier est alors dit boucl´e.La notion de boucle ´etant

d´ej`a connue des ´etudiants, elle n"est pas d´etaill´ee dans cette introduction. Une partie de ce cours consacr´ee `a la

commande y reviendra. Il va de soi que les performances attendues sont les mˆemes que celles envisag´ees lors de

l"´etude de l"approche fr´equentielle, `a savoir la stabilit´e, la forme des r´egimes transitoires, la pr´ecision et le rejet de

perturbations. 1.2

Notion de mod`ele

Comme le sous-entend le pr´eambule de cette introduction, l"analyse d"un syst`eme eta fortiorisa commande font

appel `a un mod`ele du comportement du syst`eme. De cette description math´ematique du comportement peuvent

naˆıtre des outils d"analyse et de commande qui sont utilis´es par la suite. L"on distingue plusieurs automatiques

selon la nature des signaux et des mod`eles consid´er´es.

?Ainsi les signaux continus peuvent prendre toutes les valeurs dans un intervalle donn´e alors que d"autres signaux

sont susceptibles de prendre uniquement certaines valeursbien d´etermin´ees. Sur la base de cette diff´erence, l"on

distingue l"automatiquedes syst`emes `a ´ev´enements continusde l"automatiquedes syst`emes `a ´ev´enements discrets. Seul le cas des ´ev´enements continus sera envisag´e dans cecours.

?Une autre distinction tout aussi fondamentale se fait sur letemps. En effet, les signaux peuvent ˆetre d´efinis `a

tout instant du temps ou simplement connus `a des instants donn´es (l"on parle de signaux discrets, discr´etis´es, ou

´echantillonn´es). Les signaux de sortie sont ainsi mesur´es, et donc connus, uniquement `a certains instants, et la

s´equence des ´echantillons est obtenue sous forme num´erique en sortie d"un convertisseur analogique num´erique.

Elle est transmise `a un calculateur qui en d´eduit une s´equence de signaux de commande. Celle-ci est transform´ee

par un convertisseur num´erique analogique qui restitue unsignal `a temps continu sur l"entr´ee du syst`eme. Pour le

calculateur, l"ensemble constitu´e du syst`eme et des convertisseurs est vu comme un syst`eme `a temps discret (ou,

de mani`ere plus g´en´erale, ?syst`eme discret?). Dans ce cours, sera essentiellement consid´er´ee l"automatique des syst

`emes`a temps continu(ou simplement des?syst`emes continus?). Seul le dernier chapitre traitera traitera de

l"automatique des syst`emes discrets.

?Il existe d"autres distinctions qui reposent sur le mod`elemath´ematique utilis´e pour d´ecrire le comportement

du syst`eme. Ce mod`ele est obtenu soit par identification (l"on fait correspondre un mod`ele de structure donn´ee

au comportement entr´ees/sorties du syst`eme) ou, et ce sera le cas ici, par une utilisation judicieuse des ´equations

correspondant aux lois de la physique r´egissant le comportement du syst`eme. La plupart de ces ´equations sont

diff´erentielles et non lin´eaires. Cependant, il est souvent recommand´e de travailler dans une gamme de valeurs

autour d"un point de fonctionnement de telle sorte que les ´equations sont raisonnablement remplac¸ables par des

´equations diff´erentielles dites lin´eaires `a coefficients constants. Cette approximation permet donc de passer d"un

mod`ele non lin´eaire `a un mod`elelin´eaire. Bien que moins fid`ele `a la r´ealit´e, ce dernier facilite l"analyse et la

commande du syst`eme, notamment grˆace `a un principe fondamental, celui desuperposition(ou de s´eparation),

r´esum´e sur la figure 1.2. 1ua1 u

22ay=a1y1+ay2 2Syst`emelin´eaire++

FIGURE1.2 - Principe de s´eparation

Si l"entr´eeu1entraˆıne la sortiey1et si l"entr´eeu2entraˆıne la sortiey2alors une entr´eea1u1+a2u2entraˆıne une

sortiey=a1y1+a2y2. Ce cours est restreint `a l"´etude des syst`emes lin´eaires.

?Enfin, comme il a d´ej`a ´et´e mentionn´e, une derni`ere distinction est essentielle pour ce cours. Les syst`emes sont

soient monovariables (une seule entr´ee, une seule sortie)soit multivariables (plusieurs entr´ees, plusieurs sorties).

Seuls les syst`emesmonovariablesseront ´etudi´es. 2

Grandes lignes du cours

En r´esum´e, ce cours concerne les syst`emeslin´eairesmonovariables (continus etdiscrets), c"est-`a-dire ceux qui

peuvent ˆetre d´ecrits par une fonction de transfert. 1.3

Grandes lignes du cours

Compte tenu des connaissances pr´ealables des ´etudiants,ce cours est organis´e comme suit. Apr`es un rappel sur la

fonction de transfert, son origine, son int´erˆet, un nouveau mod`ele alternatif est pr´esent´e : la repr´esentation d"´etat

lin´eaire. Ses propri´et´es sont explicit´ees, en particulier le lien existant avec la fonction de transfert. Une foisce

mod`ele introduit, l"on s"int´eresse `a la mani`ere de d´eterminer la r´eponse des syst`emes lin´eaires monovariables.

Ensuite, il sera montr´e comment analyser la stabilit´e d"un tel mod`ele d"´etat. Bien moins famili`eres seront les

notions de commandabilit´e et d"observabilit´e d"une repr´esentation d"´etat. La commande de tels mod`eles sera

abord´ee vers la fin du cours avant de consacrer une chapitre au mod`ele d"´etat discret et de conclure sur les

perspectives d"´etude en automatique. 3

Grandes lignes du cours

4

Chapitre 2

Rappel sur la fonction de transfert

Dans ce chapitre, l"on revient bri`evement sur la notiona priorifamili`ere de fonction de transfert. D"o`u vient-elle?

Comment l"obtenir? Pourquoi est-elle utilis´ee? 2.1

´Equations pr´eliminaires

Il faut d"abord noter que le syst`eme ´evoluant avec le temps, les grandeurs impliqu´ees peuvent ˆetre assimil´ees `a des

signaux temporels,c"est-`a-dire,math´ematiquement,des fonctionsdu temps. Lors de la phase de mod´elisation,l"on

essaie g´en´eralement de d´ecrire le comportement du syst`eme par un jeu d"´equations, de relations math´ematiques

entre les signaux, qui paraˆıt correspondre fid`element `a ce qu"est le syst`eme. Dans le cas d"un syst`eme physique,

l"on s"appuie sur les lois de la physique (´electricit´e, m´ecanique, etc...) pour d´eterminer plusieurs ´equations reliant

les diff´erentes grandeursen jeu, en essayant de prendreencompte tous les ph´enom`enes afin de d´ecrire l"int´egralit´e

du syst`eme. Tr`es souvent, ce dernier fait apparaˆıtre un comportement dynamique (et pas seulement statique) de

sorte que les ´equations obtenues sont non seulement alg´ebriques mais aussi diff´erentielles.

Prenons comme exemple un circuit RLC comme celui de la figure 2.1 u(t)y(t)LR Ci(t)

FIGURE2.1 - Circuit RLC

Les ´equations issues des lois de l"´electricit´e qui r´egissent le comportement du circuit RLC sont les suivantes :

?u(t) =Ri(t) +Ldi(t) dt+y(t) y(t) =1 C? t 0 i(τ)dτ?dy(t)dt=1Ci(t).(2.1) 2.1.1

Lin´earit´e

La premi`ere constatation souvent fˆacheuse est que ces ´equations alg´ebro-diff´erentielles ne sont pas lin´eairesen

fonction des grandeurs impliqu´ees ou de leurs d´eriv´ees successives. Or, les mod`eles non lin´eaires sont par essence

difficiles `a manipuler.Celasignifie enpratiquequ"ilsrendentarduesl"analyseducomportementdusyst`emeet,plus

encore, sa commande.Par cons´equent,mˆeme si c"est une entorse au principe de descriptionfid`ele de la dynamique

5

´Equations pr´eliminaires

du syst`eme, l"on d´ecide bien souvent de travailler dans une gamme de valeurs des grandeurs se situant autour de

valeurs centrales constituant ce qu"il est convenu d"appeler un point de fonctionnement. Sous r´eserve de ne pas

trop s"´eloigner de ce point de fonctionnement, l"on peut approcher les ´equations non lin´eaires par des ´equations

certes approximatives mais lin´eaires. Sans revenir sur ces notions connues, l"on peut utiliser pour ce faire des

d´eveloppements limit´es ou de Taylor au premier ordre de certaines fonctions math´ematiques en jeu. L"on parle

alors du syst`eme non lin´eaire et de son ?lin´earis´e tangent?qui est lin´eaire. L"on s"arrange ´egalement pour que

les coefficients intervenant dans les ´equations soient ind´ependants du temps. L"on parle alors de mod`ele lin´eaire

invariant dans le temps.

Dans le cas des ´equations (

2.1), elles sont d´ej`a lin´eaires `a coefficients constants donc il est inutile de recourir

`a une approximation. 2.1.2 Mod`ele entr´ee/sortie : l"´equation diff´erentielle

Poursimplifierle mod`elelin´eaireobtenu,pourle rendrepluscompact,unetendancehabituelleconsiste `a regrouper

toutes les ´equations en une seule. Il s"agit d"´eliminer dujeu d"´equations toutes les grandeurs internes au syst`eme

qui ne sont ni l"entr´ee, ni la sortie. L"on obtient alors uneunique ´equation diff´erentielle ne faisant apparaˆıtre que

l"entr´eeu, la sortieyet, ´eventuellement, leurs d´eriv´ees successives. Une telle ´equation a l"allure suivante :

andny(t)dtn+an-1dn-1y(t)dtn-1+...+a1y(t) +a0y(t) =bmdmu(t)dtm+bm-1dm-1u(t)dtm-1+...+b1u(t) +b0u(t).(2.2)

(NB : le point sur une lettre d´esignant un signal correspond`a la d´erivation par rapport au temps; exemple :y(t)

signifie dy(t) dt.)

Il s"agit l`a d"un mod`ele de comportement entr´ee/sortie,c"est-`a-dire qui traduit l"´evolution de la sortie en fonction

de celle de l"entr´ee et ce, en ´eludant la dynamique internedu syst`eme.

Physiquement, il est inconcevable quemsoit strictement sup´erieur `an. L"on peut toujours imaginer un mod`ele

math´ematique correspondant `a ce cas mais en pratique, cela signifierait que la sortie du syst`eme `a un instant donn´e

ditcausal. Si l"on revient `a l"exemple du circuit RLC, en regroupant les deux ´equations donn´ees en (

2.1), l"on obtient, par

´elimination dei(t):

u(t) =LCd2y(t) dt2+RCy(t) +y(t).(2.3)

Cette ´equation diff´erentielle unique constitue bien un mod`ele du lien existant entre l"entr´eeu(t)et la sortiey(t).

En outre, il est clair que des valeurs ´elev´ees demetnrendent difficile la d´etermination analytique de l"expression

du signaly(t). En d"autres termes, il est fastidieux, sinon impossible, de r´esoudre une ´equation diff´erentielle

d"ordre ´elev´e. Aussi a-t-on ressenti le besoin d"introduireun nouvel outil de mod´elisation, plus ais´e `a manipuler,et

plus `a mˆeme d"aider l"automaticien dans les phases d"analyse et de commande: il s"agit de la fonctionde transfert.

2.1.3 Transform´ee de Laplace : de l"´equation diff´erentielle`a la fonction de transfert

Pour ´eviter d"avoir `a manipuler une ´equation diff´erentielle pas toujours simple, les ´electroniciens et `a leur suite,

les automaticiens, ont d´ecid´e d"exploiter un outil math´ematique bien connu, la transform´ee de Laplace.

Chaque signal temporelf(t)causal

, c"est-`a-dire pour lequelf(t) = 0,?t <0, peut subir une transformation dite de ?Laplace?, not´eeLet ainsi d´efinie : 6

´Equations pr´eliminaires

f(t)L?-→F(p) =? 0 f(t)e-ptdt.

F(p), si elle existe, c"est-`a-dire si l"int´egrale est calculable, est appel´ee transform´ee de Laplace def(t)et la

variable complexep=α+jβ(not´eesdans les ouvrages de culture anglo-saxonne) est connue sousle nom de

variable de Laplace. Cet op´erateur poss`ede les propri´et´es suivantes :

1. lin´earit´e :

f1(t) +kf2(t)L?-→F1(p) +kF2(p)

2. th´eor`eme de la d´erivation :

•f(t)L?-→pF(p)-f(0)

¨f(t)L?-→p2F(p)-pf(0)-f(0)

dlf(t)

pcorresponddonc, en pr´esencede conditions initiales nulles, `a une d´erivationdans le domainede Laplace.

3. th´eor`eme de l"int´egration :

•?t≥0

0f(τ)dτL?-→F(p)p

1/pest donc l"op´erateur d"int´egration dans le domaine de Laplace.

4. th´eor`eme du retard :

•f(t-θ)L?-→e-θpF(p)

5. th´eor`eme du d´ecalage fr´equentiel :

•f(t)eωtL?-→F(p+ω)

6. th´eor`eme de la valeur initiale :

•limt→0f(t) = limp→∞pF(p)

(sous r´eserve d"existence des deux limites)

7. th´eor`eme de la valeur finale :

•limt→∞f(t) = limp→0pF(p)

(sous r´eserve d"existence des deux limites)

Comme il est parfois fastidieux de calculer la transform´eede Laplace d"une fonction temporelle compliqu´ee (de

quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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