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Exercice 20 La force Ffluide/paroi que le fluide exerce sur la paroi peut se Question 12 : calculer le champ de pression et en déduire la force de traînée du ...
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Une force de pression sur une surface plane à orientation arbitraire est égale au paroi plane est inclinée par rapport à horizontale. Il découle de l'équation ...
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paroi plane. Ce dispositif permet de déterminer directement le moment dû à y:point d'application de la force de pression(m) yp: centre de poussée (m). Ix ...
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plan sur la distribution de la pression…..…….…6. II- TP Transfer de chaleur ... Tp : Température de la paroi solide (en k). Ta : Température du fluide (en k).
action dun jet sur un obstacle
Ces dernières comprennent les forces de pression et les forces de frottement. j) A la fin de TP fermer la vanne d'alimentation et stopper complètement la ...
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Masse. Page 2. 2 surface plane. 3- Équilibre des forces. Six forces sont en jeu sur ce montage. La force gravitationnelle qui agit sur les masses déposées sur
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Ces forces sont généralement modélisées par une pression répartie sur cette surface. 2.2 Liaisons mécaniques. Les liaisons mécaniques sont des dispositions
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TP-1 : FORCE DE POUSSEE HYDROSTATIQUE SUR UNE PAROI PLANE. VERTICALE … Ou Fp= la force de pression en n ; ? : la masse volumique du liquide en kg/m³ ;.
Pression hydrostatique
La force sur la surface plane verticale crée un moment par rapport au pivot. On ramène le volume à sa position initiale en ajoutant des poids sur le plateau.
F=?S
C'est la force hydrostatique qui agirait sur la projection de la surface S selon l'axe des x sur le plan zy (Sx qui est une paroi verticale). Fh=?Sx. dFx=pGx.
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Cas c : la pression est égale à 1. L'écoulement se fait dans le plan xz car les gradients de vitesse selon y sont nuls. Exercice 20 La force Ffluide/paroi
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9 juil. 2012 3.1 Convection forcée laminaire sur plaque plane . ... pression (Pa) ... TP - Ta. ?=1. ?/?0 ? = r/R x. 0 paroi. 0617 0
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et puisque hD = hC (même plan horizontal d'un même fluide) des forces radiales de pression qui s'exercent sur la paroi verticale et qui sont.
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Ph. Marty
2012-13
Isothermes autour d"un cylindre chauff´e
en pr´esence d"un ´ecoulement d"air `aRe= 1260Ref.: Eckert and Drake.
G´ENIE DES PROC´ED´ES
Master 2
Universit´e Joseph Fourier, Grenoble
version modifi´ee le 9 Juillet 2012Philippe.Marty@hmg.inpg.fr
Contents1 Introduction3
2 Convection forc´ee interne6
2.1 Convection forc´ee laminaire en conduite circulaire chauff´ee `a flux constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Convection forc´ee laminaire dans des conduites de section quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Convection forc´ee turbulente dans un tube quelconque . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Convection forc´ee externe10
3.1 Convection forc´ee laminaire sur plaque plane . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1 Rappel sur les couches limites hydrodynamique et thermique . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.2 Echanges thermiques sur plaque plane pourPr <<1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.3 Echanges thermiques sur plaque plane pourPr >>1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.4 Expressions exactes - Flux total ´echang´e (en laminaire) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Convection forc´ee turbulente sur plaque plane . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Ecoulements forc´es autour d"obstacles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.1 Obstacles cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.2 Obstacles non circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.3 Obstacle sph´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Convection naturelle20
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Convection naturelle sur plaque plane verticale chauff´ee `a flux constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Convection naturelle entre plaques verticales parall`eles (chemin´ee) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.1 Condition d"existence de ce r´egime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.2 Equations du r´egime ´etabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.3 Cas de deux plaques de mˆeme temp´erature . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Autres g´eom´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4.1 Paroi plane inclin´ee par rapport `a la verticale . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4.2 Cylindre vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 24
4.4.3 Cylindre horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 25
4.4.4 Sph`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 25
4.4.5 Plaques horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 25
1NomenclatureTtemp´erature (K)
Rr´esistance thermique (K.W-1)
CChaleur massique (J.Kg-1.K-1)
qsources de chaleur volumiques (W.m-3)Qchaleur, energie (J)
hcoefficient d"´echange convectif (W.m-2) ggravit´e (m.s-2)Ppression (Pa)
ttemps (s) ?Vvitesse du fluide (m/s)NuNombre de Nusselt
GrNombre de Grashof
RaNombre de Rayleigh
PrNombre de Prandtl
PeNombre de P´eclet
RiNombre de Richardson
??densit´e de flux de chaleur (W.m-2)Φ Flux de chaleur (W)
λconductivit´e thermique (W.m-1.K-1)
2= Δ operateur laplacien
ρmasse volumique (kg.m-3)
ρCdiffusivite thermique (m2.s-1)
βdilatabilit´e volumique (K-1)
2Chapter 1IntroductionL"objet de chapitre est de rappeler comment l"´ecriture sous forme adimensionnelle de l"´equation de transport de la chaleur
fait apparatre les nombres sans dimensions caract´eristiques de laconvection dans les fluides. On y ra pelle aussi ce qui
caract´erise les diff´erents r´egimes de convection : forc´ee, naturelle et mixte. Ce chapitre se termine par la liste des principaux
nombres sans dimension utiles en convection thermique.Lorsque le champ de vitesse est impos´e, le champ de temp´eratureest totalement d´ependant de celui-ci. Cette situation
est celle de la convection forc´ee dans laquelle la vitesse est donc insensible aux variations de temp´erature dans le fluide. La
temp´eratureTob´eit alors `a une ´equation de transport: ρC PDTDt=λ?2T+ ΦS
o`u: DTDt=∂T∂t+ (?V .??)T
Le dernier terme repr´esente un ´eventuel terme source pouvant r´esulter d"une r´eaction chimique, de l"effet Joule si le fluide
est m´etallique ou de la contribution des forces visqueuses si l"´ecoulement est supersonique (ΦSest enW.m-3).
Lorsque le champ de vitesse est cr´ee par le champ de temp´erature, on dit que la convection est naturelle, et la vitesse
ob´eit `a: D?VDt=-??p+μ?2?V-ρgβ(T-Tref)?g
o`u le dernier terme repr´esente la pouss´ee d"Archm`ede par unit´e de volume fluide.Ecriture adimensionnelle des ´equations
- En convection forc´ee:Si la distribution de vitesse n"est pas connue, on peut la chercher par r´esolution des ´equations de Navier-Stokes. En choisis-
sant les variables adimensionnelles suivantes: T +=T-Tref l"´equation de la vitesse devient: D?V+Dt+=-??p++1Re?2?V+
o`u le nombre de Reynolds est tel queRe=UrefLrefLa solution obtenue peut ensuite ˆetre ensuite introduite dans l"´equation deTqui, en ´ecriture adimensionnelle, devient:
ρCPΔT
Lref/Uref.DT+Dt+=λΔTL2ref?2T++ Φ+S
soit encore: DT+Dt+=1Pe?2T++ Φ+S
3o`uPed´esigne le nombre de P´eclet:Pe=UrefLrefαavecα=λρCPdiffusivit´e thermique du fluide. Le terme Φ+Sest tel que
S=ΦSLref
UrefΔTρCP.
- En convection naturelle:L"utilisation des mˆemes grandeurs adimensionnelles transforme l"´equation de Navier-Stokes ainsi:
D ?V+Dt+=-??p++1Re?2?V++gβΔTLU2refT+
Il reste toutefois `a d´eterminerUrefqui n"est pas impos´ee par un m´ecanisme externe mais par la convection naturelle
elle-mˆeme.Si l"´ecoulement est rapide (Re,Gr >>1 ), on peut postuler un ´equilibre entre les forces d"inertie et la pouss´ee d"Archim`ede
soit:ρU2 de sorte que Navier-Stokes devient: D ?U+Dt+=-??p++1Gr1/2?2?U+-T+?g+
o`u le nombre de Grashof est d´efini par:Gr=gβΔTL3ν2.
L"´equation de la temp´erature devient alors: DTDt+=1Gr1/2Pr?2T++ Φ+S
o`u le nombre de Prandtl est d´efini parPr=νSi l"´ecoulement est lent (faible Grashof et Reynolds), un choix judicieux de l"´echelle de vitesse consiste `a ´equilibrer les
forces visqueuses et d"Archim`ede ce qui donneμU L2≈ρgβΔT. L"´echelle de vitesse est alors: U ref=gβΔTL2 - Convection mixte:Lorsque de la convection naturelle se superpose `a de la convectionforc´ee, la question se pose de savoir si un des deux champs
de vitesse peut ˆetre n´eglig´e ou si les deux doivent ˆetre pris en consid´eration.On peut par exemple estimer le rapport des deux vitesses attendues pour chacun des modes de convection pris isol´ement,
soit?gβΔTLrefpour la convection naturelle etU0pour la convection forc´ee. On forme ainsi le nombre de Richardson:
Ri=gβΔTLref
U20SiRi >>1, alors la convection naturelle domine alors que siRi <<1, c"est la convection forc´ee qui pr´evaut.
- Le nombre d"Eckert: pour un ´ecoulement de gaz `a grande vitesse (nombre de Mach>0.3), la puissance des forces
visqueuses g´en`ere de la chaleur, ce qui se traduit par un terme source dans l"´equation deT. Le nombre d"EckertEc=U20
CPΔTmesure l"importance de cet effet: siEc <<1, la contribution des forces visqueuses `a l"´echauffement du fluide peut ˆetre
n´eglig´ee.Pour l"ensemble des probl`emes convectifs, les ´echanges de chaleur en paroi se mesurent `a l"aide du nombre de Nusselt:
Nu=?reel
λΔT/Lref
o`u le num´erateur d´esigne le flux de chaleur qui passe effectivement `a travers la paroi et le d´enominateur le flux qui circulerait
si seule la conduction agissait. En convection forc´ee, le nombre de Nusselt est de la forme:Nu=f(Re,Pr). En convection naturelle, il s"´ecrit:Nu=f(Gr,Pr) ou encoreNu=f(Ra,Pr) 4 Nombre de NusseltNu=hlλh : coefficient de convection l :longueur caract´eristiqueλ: con- ductivit´e thermique du fluideNutraduit la qualit´e de l"´echange thermique : une aug- mentation de ce nombre traduit une contribution importante de l"´ecoulement sur l"´echange de chaleur avec la paroi Nombre de PrandtlPr=νaν: viscosit´e cin´ematiquea: dif- fusivit´e thermique du fluidePrcompare l"aptitude du fluide `a diffuser la quantit´e de mouve- ment par le biais de sa viscosit´e `a son aptitude `a diffuser la chaleur par le biais de sa diffusivit´e ther- miqueNombre de ReynoldsRe=UdνUvitesse moyenne de
l"´ecoulement,ddimension caract´eristique etνviscosit´e cin´ematique du fluideNombre de P´ecletPe=UdαUvitesse moyenne de
l"´ecoulement,ddimension caract´eristique etα=ρCPλdiffusivit´e thermique du fluide
une valeur ´elev´ee dePetraduit une distorsion importante du champ de temp´erature due `a l"´ecoulement par rapport `a ce qu"il serait si seule la diffusion´etait pr´esente
Nombre de GrashofGr=gβΔTl3ν2βcoefficient de dilatabilt´e du fluide ,ldimension car- act´eristique,ggravit´e etν viscosit´e cin´ematique du fluideune augmentation deGrtraduit une augmentation de l"intensit´e de la convection naturelle Nombre de RayleighRa=gβΔTl3νaνviscosit´e cin´ematique ,adiffu- sivit´e thermique du fluideRa=Gr.Prpour de l"air ou des fluides de nombre de Prandtl proche de l"unit´e,RaetGrsont tr`es proches Nombre de RichardsonRi=gβΔTlU2en convection mixte,Ri >>1 traduit l"importance de la con- vection naturelle par rapport `a la convection forc´ee Figure 1.1: Nombres sans dimension utiles en convection 5Chapter 2Convection forc´ee interneCe chapitre pr´esente quelques r´esultats relatifs `a la convection interne, c"est `a dire en conduite. On traitera d"abord le cas
des ´ecoulements laminaires, puis turbulents.2.1 Convection forc´ee laminaire en conduite circulaire chauff´ee `a flux con-
stantsituation tr`es courante (´echangeurs)
la conduite fournit
un flux constant :?p(Tparoi> Tfluide)le champ de vitesse est un ´ecoulement de Poiseuille suppos´e non pertub´e par la convection naturelle. Il est en r´egime
´etabli.
le champ de temp´erature est suppos´e aussi ´etabli, cela suppose qu"on soit suffisament ´eloign´e de la zone d"entr´ee o`u
prend naissance une couche limite thermiqueLa longueur,L, d"´etablissement sera estim´ee plus pr´ecis´ement par la suite. Elle est telle que :
LD≈0,05.ReDavecReD=UDν
Un simple bilan thermique sur une tranchedxdonne:
dP=?2πRdx= mCPdT d"o`u l"expression de l"accroissement de temp´erature le long de la conduite: dT dx=2πR?ρQCP=Cste La temp´erature croit donc lin´eairement le long du tube.Par ailleurs, on peut tr`es simplement montrer que la solution de l"´equation de la chaleur donne un profil deTqui est un
polynome de degr´e 4. On en d´eduit le nombre de Nusselt : Nu=4811= 4,36
Toutefois on peut d´eduire sans calculs l"ordre de grandeur de la diff´erence de temp´erature entre la paroi et l"axe en disant
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