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Cours et

Exercices

Première année du cycle du

Baccalauréat international

section - sciences expérimentales

Préparé par AZIZ AFAADAS Professeur

d™enseignement secondaire qualifiant au lycée OUED SAKIA EL HAMRA

ES - SMARA

Sommaire

Chapitre 1........................................................................ ............................................................................................... 1 La logique ........................................................................ ................. 1 Exercices ........................................................................ ............... 9 Chapitre 2........................................................................ ............................................................................................. 12

Généralités sur les fonctions numériques ........................................................................

..................................................... 12 Exercices ........................................................................ ............. 24 Chapitre 3........................................................................ ............................................................................................. 25 Barycentre dans le plan ........................................................................ ...................................................................................... 25 Exercices ........................................................................ ............. 32 Chapitre 4........................................................................ ............................................................................................. 46

Analytique du produit scalaire ........................................................................

........................................................................ 46 Exercices ........................................................................ ............. 57 Chapitre 5........................................................................ ............................................................................................. 49

Application du produit scalaire ........................................................................

........................................................................ 49 Exercices ........................................................................ ............. 56 Chapitre 6........................................................................ ............................................................................................. 83 Les suites numériques ........................................................................ ........................................................................................ 83 Exercices ........................................................................ ............. 90 Chapitre 7........................................................................ ........................................................................................... 102 Trigonométrie ........................................................................ ...... 102 Exercices ........................................................................ ........... 109 Chapitre 8........................................................................ ........................................................................................... 112 La rotation dans le plan ........................................................................ ................................................................................... 112 Chapitre 9........................................................................ ........................................................................................... 117

Limite d'une fonction numérique ........................................................................

................................................................... 117 Exercices ........................................................................ ........... 123 Chapitre 10 ........................................................................ ........................................................................................ 139

La dérivabilité d'une fonction numérique ........................................................................

................................................. 139 Exercices ........................................................................ ........... 152 Chapitre 11 ........................................................................ ........................................................................................ 158

Etude des fonctions numériques ........................................................................

..................................................................... 158

Exercices ........................................................................................................

........................................................................... 167 Chapitre 12 ........................................................................ ........................................................................................ 191 Vecteurs de l'espace ........................................................................ ......................................................................................... 191 Chapitre 13 ........................................................................ ........................................................................................ 194

Droites et plans dans l'espace ........................................................................

........................................... 194

Exercice

s ........................................................................................................

........................................................................... 209 ................ 221 1. Uneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.

Exemples :

-"Il pleut.» -"Je suis plus grand que toi.» -" 2Å2AE4 » -" 2£3AE7 » construites à partir dePet deQ.

L"opérateur logique "et»

L'assertion "PetQ» est vraie siPest vraie etQest vraie. L'assertion "P et Q» est fausse sinon.

On résume ceci en unetable de vérité:

P\QVF VVF FF F

FIGURE1 - Table de vérité de "P et Q»

Par exemple siPest l'assertion "Cette carte est un as» etQl'assertion "Cette carte est cœur» alors

l'assertion "P et Q» est vraie si la carte est l'as de coeur et est fausse pour toute autre carte.

L"opérateur logique "ou»

L'assertion "PouQ» est vraie si l'une des deux assertionsPouQest vraie. L'assertion "PouQ» est fausse si les deux assertionsPetQsont fausses.

On reprend ceci dans la table de vérité :

P\QVF VVV FV F

SiPest l"assertion "Cette carte est un as» etQl"assertion "Cette carte est coeur» alors l"assertion

"PouQ» est vraie si la carte est un as ou bien un coeur (en particulier elle est vraie pour l"as de

coeur).Remarque

Pour dénir les opérateurs "ou», "et» on fait appel à une phrase en français utilisant les

motsou,et! Les tables de vérités permettent d"éviter ce problème.

La négation "non»

L"assertion "nonP» est vraie siPest fausse, et fausse siPest vraie.PV FnonPF V

FIGURE3 - Table de vérité de "non P»

L'im?licationAE)

La dénition mathématique est la suivante :

L"assertion "(non P) ou Q» est notée "PAE)Q».Sa table de vérité est donc la suivante :

P\QVF VVF FVV

FIGURE4 - Table de vérité de "PAE)Q»

L"assertion "PAE)Q» se lit en français "P implique Q». Elle se lit souvent aussi "si P est vraie alors Q est vraie» ou "si P alors Q».

Par exemple :

-" 0ÉxÉ25AE)pxÉ5 » est vraie (prendre la racine carrée). -"x2]¡1,¡4[AE)x2Å3x¡4È0 » est vraie (étudier le binôme). -" sin(µ)AE0AE)µAE0 » est fausse (regarderpourµAE2

¼par exemple).

-p2AE

2 » est vraie! Eh oui, siPest fausse alors l"assertion "PAE)Q» est" 2Å2AE5AE)

toujours vraie.

L'équivalence()

L"

équivalenceest dénie par :

"P()Q» est l"assertion "(PAE)Q) et (QAE)P)».

On dira "Pest équivalent àQ» ou "Péquivaut àQ» ou "Psi et seulement siQ». Cette assertion

est vraie lorsquePetQsont vraies ou lorsquePetQsont fausses. La table de vérité est :P\QV FVVF FF V

Exemples :

-Pourx,x??R, l"équivalence "x·x?=0??(x=0ou x?=0) » est vraie.

-Voici une équivalencetoujours fausse(quelque soit l"assertionP) : "P??non(P) ».On s"intéresse davantage aux assertions vraies qu"aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors

de ce chapitre on écrira "P??Q» ou "P=?Q» uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Par exemple si l"on écrit "P??Q» cela sous-entend "P??Qest vraie». Attention rien ne dit quePetQsoient vraies. Cela signie quePetQsont vraies en même temps ou fausses en même temps.Proposition 1 SoientP,Q,Rtrois assertions. Nous avons les équivalences (vraies) suivantes :

1.P??non(non(P))

2. (P et Q)??(Q et P)

3. (P ou Q)??(Q ou P)

4.non(P et Q)??(non P)ou(non Q)

5.

6.P et(Q ou R)non(P

ou Q)??(non P)et(non Q)

¡¢??(P et Q)ou(P et R)7.

¡P ou(Q et R)¢??(P ou Q)et(P ou R)

8. "P=?Q»??"non(Q)=?non(P) »Démonstration

Voici des exemples de démonstrations :

4. Il suft de comparer les deux assertions "non(P et Q) » et " (non P)ou(non Q) » pour toutes les valeurs possibles dePetQ. Par exemple siPest vrai etQest vrai alors "PetQ» est vrai donc "non(P et Q)» est faux; d"autre part (nonP) est faux, (nonQ) est faux donc "(non P)ou(non Q)» est faux. Ainsi dans ce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse ainsi

les deux tables de vérités et comme elles sont égales les deux assertions sont équivalentes.

P\QVF VFV FV V FIGURE6 - Tables de vérité de "non(P et Q) » et de " (non P)ou(non Q) » 6.

On fait la même chose mais il y a trois variables :P,Q,R. On compare donc les tables de vérité

¢pd"abord dans le cas oùPest vrai¡(à gauche), uis dans le cas oùPest faux (à droite). Dans les

deux cas les deux assertions " P et(Q ou R) » et " (P et Q)ou(P et R) » ont la même table de vérité donc les assertions sont équivalentes.Q\RV FVVV FVF Q\RVF VFF FFF

8. Par dénition, l"implication "P=?Q» est l"assertion "(non P) ou Q».

Donc l"implication "non(Q)=?non(P)» est équivalente à "non(non(Q))ou non(P)» qui équivaut

encore à "Q ou non(P) » et donc est équivalente à "P=?Q». On aurait aussi pu encore une

1.2. Quanticateurs

Le quanticateur8: "pour tout»Une assertionP?eut dé?endre d'un ?aramètrex, ?ar exem?le "x?Ê1 », l'assertionP?x? est vraie

ou fausse selon la valeur dex.

L'assertion

8x2E P?x?

est une assertion vraie lorsque les assertionsP?x? sont vraies ?our tous les élémentsxde l'en- sembleE. On lit "Pour toutxappartenant àE,P?x? », sous-entendu "Pour toutxappartenant àE,P?x?est vraie».

Par exem?le :

-"8x2[1,Å1[ ?x?Ê1? » est une assertion vraie. -"8x2R?x?Ê1? » est une assertion fausse. -"8n2Nn?nÅ1?est divisible par? » est vraie.

Le quanticateur9: "il existe»

L'assertion

9x2E P?x?

est une assertion vraie lorsque l'on ?eut trouver au moins unxdeE?our lequelP?x? est vraie. On lit "il existe x appartenant à E tel que P?x??soit vraie)».

Par exem?le :

-"9x2R?x?x¡1?Ç?? » est vraie ??ar exem?lexAE1 ?vérie bien la ?ro?riété?.- "9n2Nn?¡nÈn» est vraie ?il y a ?lein de choix, ?ar exem?lenAE3 convient, mais aussi nAE1? ou mêmenAE1??, un seul suft ?our dire que l'assertion est vraie?. -"9x2R?x?AE¡1? » est fausse ?aucun réel au carré ne donnera un nombre négatif?.

La négation des quanticateurs

La négation de "8x2E P?x? » est "9x2E non P?x? » .

Par exemple la négation de "8x2[1,Å1[ ?x?Ê1? » est l'assertion "9x2[1,Å1[ ?x?Ç1? ». En

effet la négation dex?Ê1 est non?x?Ê1? mais s'écrit ?lus sim?lementx?Ç1. La négation de "9x2E P?x? » est "8x2E non P?x? ».Voici des exemples : -La négation de "9z2C?z?ÅzÅ1AE?? » est "8z2C?z?ÅzÅ16AE?? ». -La négation de "8x2R?xÅ12Z? » est "9x2R?xÅ1ÝZ? ». -Ce n'est ?as ?lus difcile d'écrire la négation de ?hrases com?lexes. Pour l'assertion :

8x2R9yÈ? ?xÅyÈ1??

sa négation est

9x2R8yÈ?

Remarques

L'ordre des quanticateurs est très important. Par exemple les deux phrases logiques

8x2R9y2R(xÅyÈ0) et9y2R8x2R(xÅyÈ0).sont différentes. La première est vraie, la seconde est fausse. En effet une phrase logique se lit de

gauche à droite, ainsi la première phrase afrme "Pour tout réelx, il existe un réely?qui ?eut donc

dé?endre dex? tel quexÅyÈ0.» (par exemple on peut prendreyAExÅ1). C'est donc une phrase

vraie. Par contre la deuxième se lit : "Il existe un réel y, tel que ?our tout réelx,xÅyÈ0.» Cette phrase est fausse, cela ne peut pas être le mêmeyqui convient pour tous lesx!

On retrouve la même différence dans les phrases en français suivantes. Voici une phrase vraie

"Pour toute ?ersonne, il existe un numéro de télé?hone», bien sûr le numéro dépend de la personne.

Par contre cette phrase est fausse : "Il existe un numéro, ?our toutes les ?ersonnes». Ce serait le

même numéro pour tout le monde!

Terminons avec d'autres remarques.

Quand on écrit "9x2R(f(x)AE0) » cela signie juste qu'il existe un réel pour lequelf s'annule. Rien ne dit que cexest unique. Dans un premier temps vous pouvez lire la phrase ainsi : "il existeau moinsun réelxtel quef(x)AE0 ». An de préciser quefs'annule en une unique valeur, on rajoute un point d'exclamation : 9 !x2R(f(x)AE0). Pour la négation d'une phrase logique, il n'est pas nécessaire de savoir si la phrase est

fausse ou vraie. Le procédé est algorithmique : on change le "?our tout» en "il existe» et

inversement, puis on prend la négation de l'assertionP.

Pour la négation d'une proposition, il faut être précis : la négation de l'inégalité stricte "Ç»

est l'inégalité large "Ê», et inversement. Les quanticateurs ne sont pas des abréviations. Soit vous écrivez une phrase en français : "Pour tout réel x, si f(x)AE1alors xÊ0.» , soit vous écrivez la phrase logique :

8x2R(f(x)AE1AE)xÊ0).

Mais surtout n'écrivez pas "8xréel, sif(x)AE1AE)x?ositif ou nul». Enn, pour passer d'une ligne à l'autre d'un raisonnement, préférez plutôt "donc» à "AE)». -Il est défendu d'écrire69,6AE). Ces symboles n'existent pas!Mini-exercices 1. Écrire la table de vérité du "ou exclusif». (C'est leoudans la phrase "fromage ou dessert», l'un ou l'autre mais pas les deux.)

2. Écrire la table de vérité de "non ?P et Q?». Que remarquez vous?

3. Écrire la négation de "PAE)Q».

4. Démontrer les assertions restantes de la proposition1.

5. Écrire la négation de "

¡¢P et(Q ou R) ».

6. Écrire à l'aide des quanticateurs la phrase suivante : "Pour tout nombre réel, son carré

2. Raisonnements

Voici des méthodes classiques de raisonnements.

2.1. Raisonnement directOn veut montrer que l'assertion "P=?Q» est vraie. On suppose quePest vraie et on montre

qu'alorsQest vraie. C'est la méthode à laquelle vous êtes le plus habitué.Exemple 1

Montrer que sia,b?Qalorsa+b?Q.Démonstration

Prenonsa?Q,b?Q. Rappelons que les rationnelsQsont l'ensemble des réels s'écrivantqpavec p?Zetq?N?.? q avecp??Zetq??N?.Alorsa=qppour un certainp?Zet un certainq?N?. De mêmeb=p

Maintenanta+b=pq

+p? q ?=pq?+qp?qq

Or le numérateurpq?+qp?est bien un élément deZ; le dénominateurqq?est lui un élément de

N?. Donca+bs'écrit bien de la formea+b=p??q

??avecp???Z,q???N?. Ainsia+b?Q.

2.2. Cas par cas

Si l'on souhaite vérier une assertionP(x) pour tous lesxdans un ensembleE, on montre l'asser- tion pour lesxdans une partieAdeE, puis pour lesxn'appartenant pas àA. C'est la méthode de disjonctionou ducas par cas.Exemple 2 Montrer que pour toutx?R,|x-1|Éx2-x+1.Démonstration

Soitx?R. Nous distinguons deux cas.

Premier cas ?xÊ1.Alors|x-1|=x-1. Calculons alorsx2-x+1-|x-1|. x

2-x+1-|x-1|=x2-x+1-(x-1)

=x2-2x+2 =(x-1)2+1Ê0.Ainsix 2 -x+1-|x-1|Ê0etdoncx2-x+1Ê|x-1|.

Deuxième

cas x 1 Alors x 1 x 1). Nous obtenons x 2 -x+1-|x-1|=x2-x+1+(x-1)=x2Ê0. Et donc x 2 -x+1Ê|x-1|.

Conclusion.

Dans tous les cas x 1 x 2 alors non(P)

DémonstrationNous supposons quenn'est pas pair. Nous voulons montrer qu'alorsn2n'est pas pair. Comme

nn'est pas pair, il est impair et donc il existek?Ntel quen=2k+1. Alorsn2=(2k+1)2=

4k2+4k+1=2`+1 avec`=2k2+2k?N. Et doncn2est impair.

Conclusion : nous avons montré que sinest impair alorsn2est impair. Par contraposition ceci est équivalent à : sin2est pair alorsnest pair.

2.4. Absurde

Leraisonnement par l'absurdepour montrer "P=?Q» repose sur le principe suivant : on suppose à la fois quePest vraie et queQest fausse et on cherche une contradiction. Ainsi siPest vraie alorsQdoit être vraie et donc "P=?Q» est vraie.Exemple 4 Soienta,bÊ0. Montrer que sia1+b=b1+aalorsa=b.Démonstration Nous raisonnons par l'absurde en supposant quea1+b=b1+aeta?=b. Commea1+b=b1+aalors a(1+a)=b(1+b) donca+a2=b+b2d'oùa2-b2=b-a. Cela conduit à (a-b)(a+b)=-(a-b). Commea?=balorsa-b?=0 et donc en divisant para-bon obtienta+b=-1. La somme de deux nombres positifs ne peut être négative. Nous obtenons une contradiction.

Conclusion : si

a1+b=b1+aalorsa=b. Dans la pratique, on peut choisir indifféremment entre un raisonnement par contraposition ou par

l'absurde. Attention cependant de bien écrire quel type de raisonnement vous choisissez et surtout

de ne pas changer en cours de rédaction!

2.5. Contre-exemple

Si l'on veut montrer qu'une assertion du type "8x?E P(x) » est vraie alors pour chaquexdeE il faut montrer queP(x) est vraie. Par contre pour montrer que cette assertion est fausse alors il suft de trouver x?Etel queP(x) soit fausse. (Rappelez-vous la négation de "8x?E P(x) » est "

9x?E non P(x) »). Trouver un telxc'est trouver uncontre-exempleà l'assertion "8x?

E P(x) ».Exemple 5

Montrer que l'assertion suivante est fausse "Tout entier positif est somme de trois carrés». (Les carrés sont les 0

2, 12, 22, 32,... Par exemple 6=22+12+12.)Démonstration

Un contre-exemple est 7 : les carrés inférieurs à 7 sont 0, 1, 4 mais avec trois de ces nombres on

ne peut faire 7.

2.6. Récurrence

Leprincipe de récurrencepermet de montrer qu'une assertionP(n), dépendant den, est vraie pour tout n?N. La démonstration par récurrence se déroule en trois étapes : lors de

l'initialisationon prouveP(0). Pour l'étape d'hérédité, on supposenÊ0 donné avecP(n) vraie,

et on démontre alors que l'assertionP(n+1) au rang suivant est vraie. Enn dans laconclusion,

Exemple 6

Montrer que pour toutn?N, 2n>n.Démonstration

PournÊ0, notonsP(n) l'assertion suivante :

2 n>n. Nous allons démontrer par récurrence queP(n) est vraie pour toutnÊ0. Initialisation.Pourn=0 nous avons 20=1>0. DoncP(0) est vraie. Hérédité.FixonsnÊ0. Supposons queP(n) soit vraie. Nous allons montrer queP(n+1) est vraie. 2 n+1=2n+2n >n+2ncar parP(n) nous savons 2n>n, >n+1 car 2nÊ1.

DoncP(n+1) est vraie.

Conclusion.

Par le principe de récurrenceP(n) est vraie pour toutnÊ0, c'est-à-dire 2n>npour toutnÊ0.

Remarques :

La rédaction d'une récurrence est assez rigide. Respectez scrupuleusement la rédaction proposée : donnez un nom à l'assertion que vous souhaitez montrer (ici

P(n)), respectez les

trois étapes (même si souvent l'étape d'initialisation est très facile). En particulier méditez

et conservez la première ligne de l'hérédité " FixonsnÊ0. Supposons queP(n) soit vraie.

Nous allons montrer queP(n+1) est vraie. »

Si on doit démontrer qu'une propriété est vraie pour toutnÊn0, alors on commence l'initia-

lisation au rangn0. Le principe de récurrence est basé sur la construction deN. En effet un des axiomes pour dénir Nest le suivant : "SoitAune partie deNqui contient0et telle que sin?Aalors n+1?A. Alors A=N».xercice 1. (Raisonnement direct) Soienta,b?R+. Montrer que siaÉbalorsaÉa+b2

ÉbetaÉ?abÉb.

2. (Cas par cas) Montrer que pour toutn?N,n(n+1) est divisible par 2 (distinguer lesn pairs desnimpairs). 3. (Contraposée ou absurde) Soienta,b?Z. Montrer que sib?=0 alorsa+b?2ÝQ. (On utilisera que?2ÝQ.)

4. (Absurde) Soitn?N?. Montrer que?n

2+1 n'est pas un entier.

5. (Contre-exemple) Est-ce que pour toutx?Ron ax<2=?x2<4?

6. (Récurrence) Montrer que pour toutnÊ1, 1+2+···+n=n(n+1)2

Exercices de logique

Exercice 1Ecrire les contraposees des implications suivantes et les demontrer.nest un entier naturel,xetysont des nombres reels.

1.npremier)n= 2 ounest impair ,

2.xy6= 0)x6= 0 ety6= 0 ,

3.x6=y)(x+ 1)(y1)6= (x1)(y+ 1) .

Exercice 2Ecrire les reponses aux questions suivantes, portant sur des entiers naturels, sous la forme d'assertions mathematiques (ecrites avec les symboles \?", \et", \ou", \)", \,") et les prouver.

1. Le produit de deux nombres pairs est-il pair?

2. Le produit de deux nombres impairs est-il impair?

3. Le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair est-il pair ou impair?

4. Un nombre entier est-il pair si et seulement si son carre est pair?

Exercice 3Soient les quatre assertions suivantes :

1.9x2R,?y2R,x+y >0 ,

2.?x2R,9y2R,x+y >0 ,

3.9x2R,?y2R,y2> x,

4.?"2R+,92R+,jxj< ) jx2j< ".

Les assertions 1, 2, 3 et 4 sont elles vraies ou fausses? Donner leurs negations. Exercice 41. Soitn>2 un entier. Montrer par l'absurde que, sinn'est pas premier, il admet un diviseur premier?qui est inferieur ou egal apn.

2. A l'aide de ce critere, determiner si les nombres 89, 167 et 191 sont premiers.

Exercice 5Montrer quep89 est irrationnel.

Exercice 6Soitn2N. Montrer que soit 4 divisen2, soit 4 divisen21.

Exercice 7* Demontrer que pour toutn2N:

1.n3nest divisible par 6 ,

2.n5nest divisible par 30 ,

3.n7nest divisible par 42 .

Indication : Pour 1, on peut factorisern3npour voir que ce nombre est multiple de 2 et de

Exercice 8Demontrer par recurrence que :

8n2N f0;1;2;3g; n262n:

Exercice 9Pourn2N, on denit deux proprietes :

P n: 3 divise 4n1 etQn: 3 divise 4n+ 1:

1. Prouver que pour toutn2N,Pn)Pn+1etQn)Qn+1.

2. Montrer quePnest vraie pour toutn2N.

3. Que penser, alors, de l'assertion :9n02N;8n2N; n>n0)Qn?

θЫЮЮСПаХЫЪCorrection 11.npair,n6= 2)nnon premier. Demo : sinpair,n6= 2 alors 2 divisen

etnn'est pas premier.

2.x= 0 ouy= 0)xy= 0. D

emo triviale.

3. (x+ 1)(y1) = (x1)(y+ 1))x=y. Demo : si (x+ 1)(y1) = (x1)(y+ 1) alors

en d eveloppantx+y=xy, d'ou 2y= 2x,x=y.

Correction 21.

Oui.n;mpairs)nmpair. Demo :9

i;n= 2idoncnm= 2(im) est pair.

2. Oui.n;mimpairs)nmimpair. Demo :9i;|,n= 2i+ 1,m= 2|+ 1 doncnm=

2(2 i|+i+|) + 1 est impair (ou par contraposee).

3. Pair. (

npair,mimpair))nmpair (cf 1).

4. Oui.npair,n2pair. Demo : sinpair alorsn2=nnest pair

par 1) (sens)); Sin impair alorsn2est impair par 2), ce qui donne le sens(par contraposee.

1. Faux.

Negation :8x2R;9y2R;x+y60 (demo : soitx2R, on prendCorrection 3 y=x).

2. Vrai (demo:y=

x+ 1). Negation :9x2R;8y2R;quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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