[PDF] Cours de maths S/STI/ES - Nombres complexes

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Fiche n°7 - Nombres complexes

Les nombres complexes, écritures et opérations

J. Paquereau 1/14

Cours : fiche n°7 - Nombres complexes

Thème : les nombres complexes, écritures et opérations.

Notions abordées Page

1. Notation algébrique et propriétés : définition du corps des complexes et écriture algébrique,

opérations sur les nombres complexes, propriétés. 1

2. Notation trigonométrique et propriétés : interprétation géométrique, propriétés et notation

trigonométrique ou polaire. 3

3. Notation exponentielle et propriétés : notation exponentielle, propriétés. 5

4. Equations du second degré : solutions complexes des équations du second degré à

coefficients réels puis à coefficients complexe. 9

5. Nombres complexes et géométrie : plan complexe, symétries, translations et rotations et

1. Notation algébrique et propriétés

Il existe divers ensembles de nombres : ԳؿԺؿԷؿ Cette notation est qualifiée de forme algébrique.

Soit ݖൌܽ൅݅אܾ

Si ܽ

1.2. Opérations sur les nombres complexes

Partant de la précédente définition, nous pouvons munir ů'ensemble ԧ de plusieurs opérations :

Conjugaison : soitݖൌܽ൅ܾ݅

Le conjugué de ݖ est ݖҧൌܽെܾ݅ Addition : soientݖൌܽ൅ܾ݅ et ݖԢൌܽԢ൅ܾ݅

N.B. : cette addition est commutative, i.e. : ݖ൅ݖᇱൌݖᇱ൅ݖ. Son élément neutre est Ͳ, i.e. : Ͳ൅ݖൌݖ. Elle est associative,

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Multiplication : soientݖൌܽ൅ܾ݅ et ݖԢൌܽԢ൅ܾ݅

N.B. : cette multiplication est commutative, i.e. : ݖݖᇱൌݖᇱݖ. Son élément neutre est ͳ, i.e. : ͳൈݖൌݖ et son élément

Multiplication par un scalaire : soitݖൌܽ൅ܾ݅ Egalité : soientݖൌܽ൅ܾ݅ et ݖԢൌܽԢ൅ܾ݅ On dit que ݖൌݖǯ si et seulement si ܽൌܽǯ et ܾൌܾ

Exemple : soient ݖൌହା௜

ଷ൅݅ deux nombres complexes.

On a : ݖൌହା௜

Les conjugués de ݖ et ݖǯ sont respectivement : ݖൌହ La somme de ݖ et ݖǯ est : ݖ൅ݖᇱൌହ Le produit de ݖ et ݖǯ est : ݖݖᇱൌቀହ Autre exemple : mettre ݖൌହା௜

1.3. Propriétés

(ii) Soitݖאԧ, alors : ݖ൅ݖҧൌʹܴ définition du nombre conjugué.

(ii) ݖ൅ݖҧൌܽ൅ܾ݅൅ܽെܾ݅ൌܽ൅ܽൌʹܽ

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2. Notation trigonométrique et propriétés

2.1. Interprétation géométrique et notation trigonométrique

A gauche, on a représenté le nombre complexe ݖ dans le plan complexe. On ordonnées. de nouvelle caractéristique des nombres complexes :

Remarque !

A partir de cette interprétation géométrique précédente, on peut formuler quelques remarques. nombre ݖא trigonométrique. Plus généralement, un nombre complexe ݖא comme un point du cercle de centre le plan

Ceci nous donne à voir les nombres complexes

déduit les propriétés formulées ci-après.

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2.2. Propriétés

qualifiée de forme trigonométrique ou forme polaire. par définition du nombre conjugué. (iv) On rappelle que pour tous réels ߠ et ߠ

Il vient que :

Exemple : soient ݖൌିଵା௜ trigonométrique et leur somme sous forme algébrique.

Mettre ݖ sous forme trigonométrique :

Mettre ݖԢ sous forme trigonométrique :

Mettre leur somme sous forme algébrique :

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Remarque ! Pour passer de la forme algébrique à la forme " trigo », on essaie de faire

apparaître un cosinus et un sinus remarquables (à retenir).

3. Notation exponentielle et propriétés

3.1. Notation exponentielle

Nous admettrons le résultat qui suit, lequel peut être démontré grâce à une notion hors programme,

celle de développement en série de Taylor : En multipliant chacun des membres de cette égalité parǡݎא des nombres complexes : Exemple : soient ݖൌିଵା௜ exponentielle. Nous avons déjà montré que ݖൌܿ ସቁ et ݖᇱൌͷ൬ܿ ర௜ et ݖᇱൌͷ݁

Autre exemple : soit ݖൌͳʹ݁

ల un nombre complexe. Mettre ݖ sous forme algébrique.

On a : ݖൌͳʹ݁

3.2. Propriétés

A partir de la notation exponentielle, nous pouvons construire quelques propriétés :

ȁ௭ȁ et ܽ

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ȁ௭ᇲȁ et ܽ

Module et argument du conjugué inverse : soit ݖא

Preuves :

Soit ݖǡݖԢא

Il vient que ଵ

On peut procéder comme ci-dessus ou classiquement remarquer que ௭ ௭ᇲ . On applique alors les deux formules précédentes :

Intuitivement, on a :

Plus formellement, essayez-vous à prouver ces formules par récurrence.

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Module et argument du conjugué :

Graphiquement, cette propriété est assez évidente. Il suffit de tracer un (graphique représenté à droite, extrait de Wikipédia).

Où : ݎ est le module de ݖ et ߠ

Module et argument du conjugué :

Graphiquement, cette propriété est elle-aussi évidente. Il suffit de tracer un nombre complexe ݖ et son

Où : ݎ est le module de ݖ et ߠ

Formule de Moivre :

notation qui nous arrange quand cela nous arrange, la tentation de procéder à une démonstration

et cosinus sont respectivement des fonctions impaires et paires, etc. Toute astuce est toujours bonne

à prendre et surtout à retenir !

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plus exigée en terminale. Malgré tout, les futurs étudiants que vous êtes peut-être ont

Idée : représenter ͵൅͵݅ et െ͸െʹξ͵݅ dans le plan complexe.

Or : ଷ

N.B. : cette transformation est appelée une linéarisation. Elle est particulièrement utile afin de pouvoir facilement intégrer

coefficients ቀ݊

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Finalement on a : ܿ

savoir que ׊ݔא

que pour tout ݔ réel positif, voire pour tout ݔ complexe, le carré de racine de ݔ est égal à ݔ.

Pareillement, on peut définir la racine ݊-ième de ݔ, notée ξݔ೙, en tant que réciproque de ݔ௡.

Formellement, on a : ׊ݔא

4. Equations du second degré

4.1. Solutions complexes des équations du second degré à coefficients réels

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mémoire flanche, je vous invite à consulter la fiche de cours n°1 afin de vous rafraîchir la mémoire. Nous

nous intéressons à présent aux solutions ݔ où ݔאԧ et non plus ݔא

On appelle équation du second degré complexe à coefficients réels une équation de la forme :

complexes de (E) (ݔאԧ) diffèrent des solutions réelles (ݔא où ߂ൌͲ, on a ߜ

Si ȟ൐Ͳ, ܵ

Si ȟൌͲ, ܵ

Preuve : soient ߙ

On constate que :

On peut ainsi retenir le résultat remarquable suivant :

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Avec : ߜ

4.2. Solutions complexes des équations du second degré à coefficients complexes

hors programme de terminale. Elle est présentée ici à titre informelle.

On appelle équation du second degré complexe à coefficients complexes une équation de la forme :

La résolution de telles équations est tout à fait similaire à celles présentées en 4.1. Toute la difficulté de

suivant la méthode expliquée en 4.1. On cherche alors à calculer le discriminant réduit אߜԧ tel que ߜ

Dès lors ߜ

Le discriminant vaut οൌ൫ξʹ݅െͳ൯

On cherche אߜԧ tel que ߜ

On note ߜ sous forme algébrique, alors : ߜൌ݉൅݅݊ avec ݉ǡ݊א

Alors : ߜ

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Par identification, il vient que :

degré réelle que nous savons fort bien résoudre. Les solutions de cette équation sont finalement ܯ On a donc : ߜൌͳ൅ξʹ݅݋ݑߜ

On choisit arbitrairement que ߜ

5. Nombres complexes et géométrie

5.1. Plan complexe

de formaliser cette notion : complexe ݖאԧ, ݖൌݔ൅݅ݕ, par un point ܯ du point ܯ

5.2. Symétries, rotations et translations

Nous avons déjà prouvé les propriétés suivantes quoique nous les avions énoncées de manière peu

géométrique. En voici une formulation plus géométrique : de ܣ

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rotation de ߠ de ܣ

5.3. Problèmes de géométrie

géométrie faisant ou pouvant faire intervenir les nombres complexes. Ces propriétés ne sont pas

spécialement à retenir. Il convient surtout de bien les comprendre, elles et leur démonstration, afin que

vous puissiez prouver vous-même des propriétés similaires. De plus, on sait que ׊ݖǡݖᇱאԧǡܽ

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Preuve :

D'après les propriétés précédentes, on a ȁ௭್ି௭೘ȁ

Ce qui est équivalent à :

quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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