[PDF] Préparation aux oraux 2017-2018

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´eparation aux oraux 2017-2018MP2

Lycée Chateaubriand

GRELA Fabrice

MP2Oraux blancs 2018Déroulement des oraux

Oraux CCP

Préparation :30 min.

Oral :30 min.

Exercices :Un exercice sur 8 points issu de la banque d"exercices (disponible sur le site internet de CCP) et un

exercice sur 12 points.

Oraux Centrale (Mathématiques 1)

Préparation :Pas de préparation.

Oral :30 min.

Exercice :Un exercice composé 3 questions : la première est une question de cours (définition - énoncé d"un théorème

- une courte démonstration) ou un calcul, raisonnement simple et court; la deuxième question met "en oeuvre des

mécanismes de difficulté raisonnable" et la troisième est plus difficile (et nécessite le plus souvent des indications

de l"examinateur pour être taitée).

Oraux des Mines.

Préparation :Pas de préparation - 15 min.

Oral :45 min - 1h.

Exercices :Au minimum deux exercices de difficultés très variable.

Oraux ENS.

Préparation :Pas de préparation.

Oral :45 min.

Exercices :Un exercice (l"examinateur n"intervient pas durant les dix premières minutes de l"oral).

2

MP2Oraux blancs 2018ENS : Sujet 1

Série des inverses des entiers premiers.

Soit(pn)n1la suite croissante des nombres premiers. 1.

Mon trerq ue

X1p ndiverge. 2. En déduire que (n) =o(n)où(n)est le nombre d"entiers premiers inférieurs àn. 3

MP2Oraux blancs 2018ENS : Correction 1

Série des inverses des entiers premiers.

1. Comme l"ens embledes nom brespremiers e stinfini, la sui te(pn)nexiste et diverge vers l"infini. Par l"absurde, supposons que la sérieP1=pnconverge.

On en déduit alors que la sérieXln

11p n converge car les termes généraux de ces deux séries sont positifs et équivalents. En passant à l"exponentielle, on en déduit que la suite de terme général u N=NY n=1111=pn converge. Or pour toutM1,

111=pn=+1X

k=01p kn1 +1p n+1p

2n+:::+1p

Mn:

On obtient alors

u N=NY n=1+1X k=01p knNY n=1 1p

2n+:::+1p

Mn

On choisit doncMassez grand pour obtenir dans ce produit les inverses de tous les entiers compris entre1

etpN(ces entiers ont tous leurs facteurs premiers parmip1;:::;pN).

On a donc

u Np NX i=11i ce qui absurde car le terme de droite tend vers l"infini (la série harmonique diverge). 2.

Soit n2N. On veut majorer(n).

Soitk(n). Les nombres premiersp1;:::;pksont donc dans[j1;nj]. Si on noteun(k)le nombre d"entiers dans[j1;nj]qui ne sont divisibles par aucun despi,1ik, on a necessairement(n)k+un(k)et donc n kn +un(k)n

Le but est de choisirkcomme une fonction dennégligeable devantnde sorte queun(k)soit aussi négligeable

devantn.

Commençons par majorerun(k).

SoitN=p1:::pk. Tout entierlde[j1;nj]s"écrit de manière unique sous la formeqN+ravec0r < N. Ainsi

ln"est divisible par aucun despi(ik) ssirest premier avecN.

Il y"a'(N)possibilités pour choisirrpremier avecNoù'est l"indicatrice d"Euler etbn=Ncpossibilités pour

choisirq. Alors u n(k) bnN c'(n)nN k Y i=1(pi1) =nkY i=1 11p i

Or, on a vu que la série

Xln 11p n diverge. Donc le produitkY i=1 11p i tend vers 0 lorsquektend vers+1.

On a alors, pour tout entierk:

(n)n kn +kY i=1 11p i (En effet, c"est ce que l"on vient de montrer pourk(n)et le résultat est évident pourk(n).) Il suffit alors d"appliquer cette inégalité en prenantk=bpnc. 4

MP2Oraux blancs 2018ENS : Sujet 2

Dual deMn(K).

Les question 2. et 3. sont indépendantes.

SoitKun corps. On définit l"applicationfpar

f:Mn(K)!Mn(K)

A7!fA:X7!tr(AX)

1. Mon trerq uefest un isomorphisme entreMn(K)et son dual. 2. Soit n2. Montrer que tout hyperplan deMn(K)rencontreGLn(K). 3.

Soit g2Mn(K)vérifiant

8X;Y2Mn(K); g(XY) =g(Y X):

Montrer quegest proportionnelle à la trace, c"est-à-dire,

92K;8X2Mn(K); g(X) =tr(X):

5

MP2Oraux blancs 2018ENS : Correction 2

Dual deMn(K).

1.

On note (Ei;j)ii;jnla base canonique deMn(K).

La linéarité de la trace et la bilinéarité du produit matriciel impliquent la linéarité def.

De plus,Mn(K)etMn(K)sont de même dimensionn2. Il suffit donc de montrer quefest injectif.

SoitA2Mn(K)telle quefA= 0.

Alors, pour touti;j2[j1;nj], on a :

0 =tr(AEi;j) =nX

k=1(AEi;j)k;k=nX k=1n X l=1a k;li;lj;k=aj;i: Ainsi,A= 0doncfest injectif. Ainsi,fest un isomorphisme. 2. Soit Hun hyperplan deMn(K)un hyperplan deMn(K).Soit'une forme linéaire de noyauH. Il existe doncA2Mn(K)telle que8X2Mn(K); '(X) =tr(AX). On cherche donc une matriceX2GLn(K)telle quetr(AX) = 0. Pour simplifier le problème, on noterle rang deAet alorsAest équivalente à la matriceJr= I r0 0 0! c"est-à-dire9P;Q2GLn(K); A=PJrQ. On a donc pour toutX2Mn(K):tr(AX) =tr(PJrQX) =tr(JrQXP). L"objectif est donc de trouverY2GLn(K)telle quetr(JrY) = 0. En effet, pour une telle matriceY, on poseX=Q1Y P1qui appartient à la fois àGLn(K)et àH.

Par exemple, on peut poser

Y=0 B

BBBBBBBBBB@0 0 0 1

1 0 ...0 0 1 0

0 1 01

C

CCCCCCCCCCA:

On a bien queYest inversible (car de déterminant(1)n+1) etJrYest de trace nulle (car de diagonale nulle).

3. D"après la q uestion1, 9A2Mn(K);8X2Mn(K); g(X) =tr(AX).

L"hypothèse surgfournit alors :

8X;Y2Mn(K); tr(AXY) =tr(AY X) =tr(XAY):

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