[PDF] CCP 2017 fili`ere TSI Corrigé Modélisation

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1sur 12CCP 2017 fili`ere TSI

Corrig´e Mod´elisation

Q1) Calcul de l"acc´el´eration : on calcule le vecteur vitesse?VG2,2/0puis on le d´erive : V

G2,2/0=?

d---→O0G2 dt?0 ?VG2,2/0=?ddt(X?x0+a?x2)? 0 ?VG2,2/0=X?x0+a?d?x2 dt?0 ?VG2,2/0=X?x0+aθ2?y2

Soit :

G2,2/0=?d?VG2,2/0

dt?0 ?ΓG2,2/0=?ddt(X?x0+aθ2?y2)? 0 Or

2= 0, d"o`u :

G2,2/O=¨X?x0-aθ22?x2

Q2)Le rep`ereR0est suppos´e en translation uniforme par rapport au r´ef´erentiel terrestre, on

peut donc le supposer galil´een. J"applique le th´eor`eme de la r´esultante dynamique au solideS 2: F

1→2+?P=m?ΓG2,2/0

F

1→2=m(¨X(t)-g)?x0-maθ22?x2

En notant m la masselotte 2, on a d"apr`es le th´eor`eme des actions r´eciproques : F m/1=m(g-¨X)?x0+maθ22?x2

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Q3) Etant donn´e que les deux roues dent´ees poss`edent le mˆeme rayon, elles tournent `a la mˆeme

vitesse dans des sens oppos´es, on a donc la relation :

2=-θ3

Q4)La r´esultante des forces centrifuges est la somme des forces centrifuges appliqu´ee `a chaque

masselotte : F cm/1=?Fc2/1+?Fc3/1 ?Fcm/1=maθ22?x2+maθ32?x3 Or d"apr`es la question 3, on aθ2=-θ3, on obtient alors : F cm/1=maθ22(?x2+?x3)

Q5)Pour que l"effort

?F cm/1reste vertical il faut que la composante selon?y1soit nulle : ?x ?x2+?x3= (cos(θ2) +cos(θ3))?x1+ (sin(θ2) +sin(θ3))?y1

Soit :sin(θ2) +sin(θ3) = 0

Q6) Pour respecter la condition de la question pr´ec´edente, il faut queθ

3etθ2soient en opposition

de phase :θ

3=θ2±π

Q7) Q8) En positionnant les masselottes en opposition de phases, cela permet de limiter la r´esonance du syst`eme.

Q9)Le centre de gravit´eG

2appartient `a l"intersection des plans de sym´etrie, il estdonc situ´e

sur l"axe (O

2,?x2)

Q10) Calcul du moment excentrique :

m e= 4ma m e=16mR 3π me≈16kg.m

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Q11) Calcul de la force centrifuge maximale :

F max=meΩ2max

Fmax≈1.106N

Q12)Expression des vecteurs

O

OGet--→IJO:

O

OG=X(t)?x0--→IJ

O= (h-X-L)?x0

Les efforts dus au ressortkaet au ressortkbvalent : F a=-ka(X-la)?x0et?Fb=kb(h-L-lb-X)?x0 Q13) J"applique le th´eor`eme de la r´esultante statique `al"ensemble V en projection sur?x0: -k a(X-la) +kb(h-L-lb-X) +Mg+ρApLg= 0 Q14) A l"´equilibre statique on a Ω = 0 soitF e(t) = 0. En noteXsla position d"´equilibre de V, l"´equation obtenue pr´ec´edemment devient : (M+ρA pL)g-ka(Xs-la)-kb(L+Xs+lb-h) = 0 Q15) J"applique le th´eor`eme de la r´esultante dynamique `a l"ensemble V en projection sur?x 0: M t¨X=Mtg-ka(X-la) +kb(h-L-X-lb) +Fe(t) M t¨X=-ka(X-Xs)-kb(X-Xs) +Fe(t) M t¨X+ (ka+kb)(X-Xs) =Fe(t) M t¨X(t) +Kt(X-Xs) =Fe(t) Q16) Condition particuli`ere :u(t) =s(Ω)cos(Ωt)

2+ω20)s(Ω) =me

MtΩ2

s(Ω) =meΩ2

Mt(ω20-Ω2)

Q17)

4sur 12

Q18) Quand Ω augmente, sa valeur passe parω0telle ques(ω0)→ ∞: r´esonance.

En g´en´eral il y a des frottements. Solution technologiquequi permettrait de limiter la r´esonance :

utilisation de filtre?

Q19)Crˆete `a crˆete d"o`u le "2" :A

max= 2me

M=2×16

3210= 10-2m

Q20)??

Q21) ρA p∂2u ∂t2(x,t)-∂N∂x(x,t) = 0

N(x,t)

Ap=σ(x,t) =E∂u∂x

N(x,t) =EA

p∂u ∂x On remplace dans l"´equation pr´ec´edente et on obtient : ρA p∂2u ∂t2-ApE∂ 2u ∂x2= 0 c

2=Eρ

Q22) Consid´erons la masse M situ´ee au point G(x=0), les forces appliqu´ees sont : - le poids; - un seul effort normalN(0,t) =EA p?∂u ∂x ?(0,t) - la force de rappel du ressort a - la force d"excitationF e(t) On applique le PFS et le PFD et on obtient bien la relation (3) : M 2u ∂t2(0,t)-EAp∂u ∂x(0,t) +kau(0,t) =Fecos(Ωt) Consid´erons l"extr´emit´e I de masse nulle, les forces appliqu´ees sont : - un seul effort normal-N(L,t) =EA p?∂u ∂x ?(L,t) - la force de rappel du ressort b La somme des forces est nulle, on obtient la relation (4) : EA p∂u ∂x(L,t) +kb(L,t) = 0 Q23) ∂u ∂t=?(x)p?(t) =?(x)ω(-Csin(ωt) +Dcos(ωt)) 2u ∂t2=-ω2?(x)p(t) ∂u ∂x=? ?(x)p(t) =ωc? -Asin(ωcx) +Bcos(ωcx? p(t) 2u ∂x2=-ω 2 c2?(x)p(t)

Q24) On ´ecrit rapidement :

2u ∂t2(x,t)-c2∂2u ∂x2(x,t) =-w2u(x,t) +w2u(x,t) = 0. Q25) L"´egalit´e (3) permet d"´ecrire que la quantit´e

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M∂

2u ∂t2(0,t)-EAp∂u ∂x(0,t) +kau(0,t) vaut : M ?-w

2u(0,t)?-EAp

?BW C? p(t) +kau(0,t), c"est-`a-dire : -Mw

2A(Ccos(wt) +Dsin(wt))-EApBw

c(Ccos(wt) +Dsin(wt)) + k aA(Ccos(wt) +Dsin(wt)).

En regroupant, l"´egalit´e

M 2u ∂t2(0,t)-EAp∂u ∂x(0,t) +kau(0,t) = 0

´equivant `a l"´egalit´e :

-Mw

2AC-EApBwC

c+kaAC? cos(wt) +? -Mw2AD-EApBwD c+kaAD? sin(wt) = 0. Comme cette ´egalit´e est valable pour toutt,on obtient : ?-Mw

2C+kaC?A-EApwC

cB= 0?-Mw

2D+kaD?A-EApwD

cB= 0. De mˆeme, l"´egalit´e (4) permet d"´ecrire que la quantit´e EA p∂u ∂x(L,t) +kbu(L,t) vaut : EA p -Aw csin?wLc? +Bwccos?wLc?? p(t) +kb

Acos?wL

c? +Bsin?wLc?? p(t). Cette quantit´e est donc nulle. On remplace ensuitep(t) parCcos(wt)+Dsin(wt).Et on regroupe sous la forme : (4 ?)G1cos(wt) +G2sin(wt) = 0, avec : ?G

1=?EApwBC

c+kbCA? cos?wL c -EApwAC c+kbCB? sin?wL c G

2=?EApwBD

c+kbDA? cos?wL c -EApwAD c+kbBD? sin?wL c

Comme (4

?) est valable pour toutt,on a :G1=G2= 0,ce qui donne le nouveau syst`eme, d"inconnuesAetB: EApwC csin?wL c ?+k bCcos?wL c

A+?EApwC

ccos?wL c ?+k bCsin?wL c B= 0? EApwD csin?wL c ?+k bDcos?wL c

A+?EApwD

ccos?wL c ?+k bDsin?wL c B= 0.

En posantα=w

cL,on a le syst`eme : EApwC csinα+kbCcosα?

A+?EApwC

ccosα+kbCsinα? B= 0? EApwD csinα+kbDcosα?

A+?EApwD

ccosα+kbDsinα? B= 0.

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Q26) On sait qu"un syst`eme lin´eaire homog`ene admet des solutions non nulles si et seulement si son d´eterminant est nul. C"est-`a-dire si : ?-200α

2+ 2-20α

cosα-20αsinαsinα+ 20αcosα???? = 0.

En d´eveloppant, cela donne :

-300α

2sinα-2000α3cosα+ sinα+ 30αcosα= 0.

En posanth(α) =α(30-2000α

2)cosα+ (1-300α2)sinα,la condition est :

h(α) = 0.

Q27) On remarque que 30-2000α

2s"annule sur?

0,π2?

pourα=? 3

200et que 1-300α

2 s"annule sur?

0,π2?

pourα=? 1

300.Puis 30-2000α

2<0 sur?

?3

200,π2?

et 1-300α 2<0 sur 1

300,π2?

. Comme? 1 300 3

200et comme cosαet sinαsont strictement positifs sur

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