[PDF] Chapitre 8 - Double fentes et réseaux

View - Download Chapitre 8 - Double fentes et réseaux

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 8

Double fentes et r´eseaux

8.1 Fentes d"Young

Dans tout ce paragraphe, nous ´etudions la diffraction de Fraunhofer par une ouverture constitu´ee de deux fentes (F1) et (F2) parall`eles, fines, de largeureselonux, et longues, de longueurbselonuy, dont les centresO1et O

2sont distants dea.

8.1.1 Cas d"une source ponctuelle

Calcul de l"´eclairement

Le dispositif ´etudi´e est repr´esent´e sur la figure ci-dessous. La source ponctuelle ´emet une onde plane dont la directionusitu´ee dans le plan xOz, fait avecOzun angleθ. On observe en un pointM`a l"infini dans la directionu?situ´ee dans le plan de figurexOz, et faisant avecOzun angle ?. L"amplitude complexe diffract´ee enMest donn´ee par l"expression du principe de Huygens-Fresnel avecα=u·ux= sinθ≈θetα?=u?·ux= sinθ?≈θ?: a(M) =KA0exp(ik0(SOM))? (F1)?(F2)exp?ik0(θ?-θ)X?dX Les fentes ´etant disjointes, l"int´egrale est additive : a(M) =a1 (M) +a2 (M) avec ai (M) =KA0exp(ik0(SOM))? F iexp?ik0(θ?-θ)X?dX 1

2CHAPITRE 8. DOUBLE FENTES ET R´ESEAUX

Ainsi tout se passe comme si chaque fente ´emettait une onde, les ondes

´emises ´etant coh´erentes.

Le choix de l"origineOest sans influence sur le r´esultat du calcul des amplitudes. Choisissons doncO1comme origine pour le calcul dea1 etO2 pour le calcul dea2 ai (M) =KA0exp(ik0(SOiM))? +e/2 -e/2exp(ik0(θ?-θ)X)dX 0? Apr`es factorisation des termes communs, l"amplitude totale diffract´ee s"´ecrit : a(M) =KA0esinc?π(θ?-θ)eλ 0? [exp(-ik0(SO1M)) + exp(-ik0(SO2M))] La diff´erence de marcheδ= (SO2M)-(SO1M) apparaˆıt sur la figure en tra¸cant les plans d"ondes : δ= (O2H2)-(O1H1) =O2H2-H1O1=asinθ?-asinθ=a(θ?-θ)

D"o`u :

exp(-ik0(SO1M)) + exp(-ik0(SO2M)) = exp(-ik0(SO1M))[1 + exp(ik0δ)] = exp(-ik0(SO1M))?1 + exp?-ik0a(θ?-θ)?? En d´efinitive, l"amplitude complexe re¸cue enMs"´ecrit : a(M) =KA0eexp(-ik0(SO1M))sinc?π(θ?-θ)eλ 0? ?1 + exp?-ik0a(θ?-θ)?? Et en prenant le carr´e du module, nous obtenons l"´eclairement :

I(M) =K2A20e2sinc2?π(θ?-θ)eλ

0??

2 + 2cos?2πa(θ?-θ)λ

0??

Cette expression peut se mettre sous la forme :

I(M) =I0(M)?R(M) avecR(M) = 2 + 2cos?2πa(θ?-θ)λ 0? o`uI0(M) est l"´eclairement qui serait diffract´ee par une seule des deux fentes, et o`uI(M) est la fonction d"interf´erences `a deux ondes, correspondant aux deux ondes d"amplitudesa1 eta2 , fictivement ´emises par les centresO1 etO2des deux fentes d"Young.

8.1. FENTES D"YOUNG3

Contenu physique

Avece << a, la fonction de diffraction joue le rˆole d"enveloppe de la fonction d"interf´erences. En pratique, l"´eclairement en dehors de la frange centrale de diffraction est n´egligeable, et on observe des franges d"interf´erences ´equidistantes de l"interfrange angulaireδθ?=λ0/adans la frange centrale de diffraction de demi-largeur angulaire Δθ?=λ0/e. Ainsi, la diffraction joue ici un rˆole favorable sur la largeur du champ d"interf´erences.

8.1.2 Cas d"une fente source de largeur?

La source est ici une fenteSde largeur?, parall`ele `auydont le centre est confondu avec le foyer-objet de la lentille mince (L1). Nous supposons ici les fentes diffractantes infiniment fines, de telle sorte que la diffraction est isotrope dans les plansy= constante. Comme, en l"absence de diffraction dans la directionuy, l"´eclairement en un pointMde l"´ecran est cr´e´e exclu- sivement par le segmentS1S2des points de la fente source qui ont mˆeme ordonn´ee queM. D´ecoupons le segmentS1S2en ´el´ements de longueur dxScentr´es sur le point courantSd"abscissexS. Avecθ=-xS/f?1, la contribution de dxS`a l"´eclairement enMvaut : dI(M) =I0? dxS?

2 + 2cos?2πa(θ?-θ)λ

0?? Les diff´erentes sources quasi-ponctuellesSsont distinctes, donc incoh´e- rentes; leurs ´eclairements enMsont donc additifs :

I(M) =?

+?/2 -?/2I 0? dxS?

2 + 2cos?2πa(θ?-θ)λ

0??

L"int´egrale se calcule ais´ement :

I(M) =I0+I0?

0?? +?/2 -?/2

Soit :

I(M) =I0?

1 +λ0f?12πa?sin?2πa(θ?+?/2f?1λ

0? 0??

Puis en factorisant les sinus :

I(M) =I0?

1 +λ0f?1πa?

sin?π?aλ 0f?1? cos?2πaθ?λ 0??

4CHAPITRE 8. DOUBLE FENTES ET R´ESEAUX

En faisant apparaˆıtre le sinus-cardinal, il vient :

I(M) =I0?

1 +Vcos?2πaθ?λ

0?? avec

V= sinc?π?aλ

0f?1? Vest ici une constante, de telle sorte que l"´eclairement ´evolue entre I max=I0(1 +|V|) etImin=I0(1- |V|). Le facteur de contraste est alors

´egal `aC=|V|. Il s"annulle pour :

π?aλ

0f?0=nπavecnentier soit?=λ0f?1a

Ainsi les franges se brouillent p´eriodiquement et le premier brouillage a lieu lorsque : max=λ0f?1a En pratique, le contraste n"est convenable que pour? < ?max. Le crit`ere de non brouillage des franges peut-ˆetre exprim´e `a l"aide de la variation maxi- male de l"ordre d"interf´erences lorsqueSse d´eplace sur la source ´etendue :

Δp=?aθ?λ

0+a?2λ0f?1?

-?aθ?λ

0-a?2λ0f?1?

=a?λ 0f?1

Soit au premier brouillage :

Δpmax=a?maxλ

0f?1= 1

Lorsqu"un dispositif interf´erentiel est ´eclair´e par une source suffisamment ´etendue, les franges d"interf´erences se brouillent et on obtient un ´eclairement uniforme. Le crit`ere semi-quantitatif de brouillage que nous avons obtenu est tout `a fait g´en´eral :

Δpmax≥1

8.2 Diffraction par des fentes multiples - R´eseau

8.2.1 Intensit´e

Consid´erons le cas deNfentes parall`eles, infiniment longues suivantOy et ´etroites de largeure, s´epar´ees par la distancea, de centre `a centre. On

8.2. DIFFRACTION PAR DES FENTES MULTIPLES - R

´ESEAU5

place l"origine des coordonn´ees au centre de la premi`ere fente. On noteOi le centre de lai`eme fente. La source ponctuelle ´emet une onde plane dont la directionusitu´ee dans le planx0z, fait avecOzun angleθ. On observe en un pointM`a l"infini dans la directionu?situ´ee dans le plan de figurexOz, et faisant avecOzun angleθ?. L"amplitude complexe diffract´ee enMest donn´ee par l"expression du principe de Huygens-Fresnel avecα=u·ux= sinθ≈θ etα?=u?·ux= sinθ?≈θ?: a(M) =KA0exp(ik0(SOM))?

Nfentes

exp?ik0(u?-u)·OP?dX Le domaine d"int´egration peut-ˆetre scind´e enNpartie de largeurecor- respondants auNtraits du r´eseau : a(M) =KA0exp(ik0(SOM))n=0? N-1? n `emefenteexp?ik0(u?-u)·OP?dX

Soit en introduisant le centre de chaque fente :

a(M) =KA0exp(ik0(SOM))n=0?

N-1exp?ik0?u?-u)·OOn???

n `emefenteexp?ik0(k?-k)·OnP?dX Par p´eriodicit´e les int´egrales dans le terme de droite ont toutes la mˆeme valeur : sfente (M) =? n 0 La valeur de la somme discr`ete peut se calculer rapidement sous la forme de la somme d"une suite g´eom´etrique : n=0?

N-1exp?ik0?u?-u)·OOn??=n=0?

N-1exp?ik0?θ?-θ?na?=n=0?

N-1exp?ik0?θ?-θ?a?n

n=0? exp ik0(θ?-θ)a2 sin

π(θ?-θ)Naλ

0sin

π(θ?-θ)aλ

0 En prenant le module au carr´e de l"amplitude on obtient l"intensit´e au point M:

I(M) =K2A20e2sinc2π(θ?-θ)eλ

0sin

2π(θ?-θ)Naλ

0sin

2π(θ?-θ)aλ

0

6CHAPITRE 8. DOUBLE FENTES ET R´ESEAUX

A nouveau, l"intensit´e de la figure de diffraction est modul´ee par une enve- loppe, la fonction : sin

2π(θ?-θ)Naλ

0sin

2π(θ?-θ)aλ

0 Celle-ci poss`ede des maxima principaux lorsque (θ?-θ) =mλ0/aet la valeur de ces maxima vautN2.

Les minima se produisent pour :

(θ?-θ) =±λ0Na ,±2λ0Na ,±3λ0Na ,...,±(N-1)λ0Na ,±(N+ 1)λ0Na Entre les minima, il y a un maximum secondaire, donc la position est ap- proximativement : (θ?-θ) =±3λ02Na,±5λ02Na,...

8.2.2 R´esolution d"un spectrom`etre `a r´eseau

On d´efinit la largeur effective d"une raie spectrale comme ´etant la largeur angulaire entre deux z´eros situ´es de par et d"autre d"un maxima principal. Pour une direction d"incidence donn´ee, cette largeur est donn´ee par :

Δθ?=2λ0Na

C"est la largeur angulaire d"une raie spectrale due `a l"´elargissement instru- mental. On constate que cette largeur est proportionnelle `a la dimension du r´eseauNa. Un autre param`etre tr`es important est la variation de l"angle de dif- fraction par rapport `a la longueur d"onde du rayonnement oudispersion angulaire, d´efinit par :

D=dθdλ

Pour les r´eseaux, cela vaut :

D=ma Le pouvoir de r´esolution spectraleRd"un spectrom`etre `a r´eseau est d´efini par :

R=λ(Δλ)min

8.2. DIFFRACTION PAR DES FENTES MULTIPLES - R

´ESEAU7

o`u (Δλ)minest la plus petite diff´erence de longueurs d"onde que l"on peut r´esoudre. En limite de r´esolution, elle est ´egale `a la distance angulaire entre le maxima et le premier minima, soit : min=λ0Na

Puis en utilisant la dispersion angulaire :

(Δλ)min=?Δθ?? min/D=λ0mN

D"o`u :

R=mN Le pouvoir de r´esolution d´epend du nombre de traits ´eclair´es et de l"ordre dans lequel on observe!quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

[PDF] diffraction interference difference

[PDF] diffraction par deux fentes

[PDF] diffraction par un trou

[PDF] diffraction par une fente

[PDF] diffraction par une fente fine

[PDF] diffraction par une ouverture circulaire

[PDF] diffraction sonore

[PDF] diffraction terminale s exercices

[PDF] diffuser une vidéo youtube en classe

[PDF] diglossie en arabe

[PDF] diglossie traduction en arabe

[PDF] dihibridarea probleme rezolvate

[PDF] dihybridisme exercices corrigés

[PDF] dihybridisme gènes liés

[PDF] diiode cyclohexane