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Diffraction de Fraunhofer

H. EL RHALEB

Université Mohammed V, Rabat, Agdal Faculté des Sciences, Département de Physique, Laboratoire de Physique Théorique elrhaleb@fsr.ac.ma

2

"Toute déviation d es rayons lumineux de leur trajet re ctiligne qui ne peut sexpliquer ni par une réflexion ni par une réfraction est due à la diffraction" Létude de la diffracti on, dans le cas général, est complexe, un certain nombre dapproximations simposent alors.

3

écran diaphragme

Lorsque les dimensions des obstacles sont de lordre de la longue ur donde, il convie nt dutiliser le modèle ondulatoire.

écran

Laser diaphragme Laser carré circulaire

I - Mise en évidence de la diffraction

4 diaphragme Laser

I - Mise en évidence de la diffraction

5 diaphragme Laser

I - Mise en évidence de la diffraction

6

Écran

F'

I.1 - Phénomène de strioscopie

En plaçant un cache au point focal image F', aucune lumière napparaît sur lécran. En plaçant sur le faisceau parallèle un objet (structure très fine), on observe sur lécran limage de cet objet.

F

On peut interpréter cette expérience en supposant que lobjet éclairé se comporte comme une "source lumineuse" et diffracte la lumière sans passer par F'.

Objet 7 Un faisceau laser éclaire un écran. On interpose sur ce faisceau un écran opaque E o

à bord rectiligne. Expérimentalement, au lieu de passer de lombre à la pleine lumière, on obser ve autour de O de s franges correspondant à la répartition dintensité lumineuse indiqué sur la figure.

I.2 - Diffraction par le bord dun écran

Laser o E O D

8 l'absence de diffraction

la limite de l'ombre géométrique

I - Mise en évidence de la diffraction

9 a

Considérons une fente de largeur a éc lairé par une source ponctuelle monochromatique placée à linfini.

Après la fente, on observe la répartition de léclairement aux différents emplacements 1, 2, .., 5.

2 3 4 5 1

On observe juste après la fente limage projetée de celle-ci avec des os cillations (f ranges) de période proche de λ. C'est la diffraction de Fresnel.

I.3 - Diffraction suivant lemplacement

10

En séloignant, la taille des franges croît. En 5 , la figure de diffraction ne ressemble plus à la fente, nous sommes dans la situation de Fraunhofer.

-2a -a -a/2 0 a 2a a/2

2 3 4 5 1

I - Mise en évidence de la diffraction

11

La figu re de diffraction e st incluse dans la tache géométrique ⇒ théorie de Fresnel. La figure de diffraction est beaucoup plus large que la tache géométrique ⇒ diffraction de Fraunhofer.

I - Mise en évidence de la diffraction

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Pratiquement, le problème de la di ffraction est le suivant : Comment déterminer la répartition dintensité lumineuse après tr aversée de la pupille, connaissant la répartition damplitude au niveau de la pupille et la forme de celle-ci ? En principe il faut résoudre les équations de Maxwell avec les conditions aux limites pour différentes polarisations. En fait ce problème est quasi-insoluble analytiquement et souvent difficile numériquement. Pour simplifier le problème on utilise un champ scalaire avec des conditions aux limites triviales.

I.4 - Problématique

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"Lamplitude de la vibration lumineuse en un point M est la somme des amplitudes produites par toutes les sources secondaires. Létat vibratoire dune source secondaire est proportionnel à celui de londe incidente et à lélément de surface dS entourant le point P où est située cette source secondaire".

dS M S O O' écran diaphragme ii r D Fresnel a précisé le principe de Huyghens de la manière suivante : P ii

II - Principe de Huyghens-Fresnel

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Soit A(P) lamplitude de londe au point P de louverture de surface S : Daprès le princip e de Huyghens-Fresnel, le point P émet une ondelette sphérique. Lamplitude au point M de lécran est de la forme : C est un facteur de proportionnalité.

exp(ikr) dA(M)= C.A(P)dS r

Pour tout les points P de louverture, au point M, nous devons effectuer la somme de toutes les contributions élémentaires :

S exp(ikr)

A(M)=C.A(P)dS

r∫∫ P

A(P)=Aexp(iωt)

15

Additionner ces amplitudes est une conséquence de la linéarité des équations de Maxwell. On dit que les vibrations interfèrent pour donner en M une vibration résultante. On montre que le facteur C est quasiment une constante et que la variab le r du dénominateu r peut être confondue avec D.

La formu lation pratique du pri ncipe de Huyghens-Fresnel est donc : S

A(M)=KA(P)e xp(ik r)dS

avec C

K==c te

D 16

III.1 - Expression de A(M)

Supposons que le diaphragme soit un plan.

Le point P, a pour coordonnées (x,y). Le point M, a pour coordonnées (x 1 ,y 1

On pose

!R=OM"!""",!!=OP"!""!r=!R-!! donc !r=PM"!"" et y 1 x z dS M S O O' écran diaphragme r D x1 y P iiii

III - Les approximations

17

Par suite

r2=R2+!2-2!R.!!

Si on suppose que ρ << R on peut écrire :

r=R1+!2R2-2!R.!!R2!R+!22R-"R."!R En utilisant les coordonnées de R et ρ, on déduit : 22
11 x+yxx+y y rR+- 2RR

Lamplitude au point M sécrit donc (1) :

22
ikR 11 S -ik(xx+yy)ik( x+y)

A(M)=KeA(P)e xpe xpdS

R2R

III - Les approximations

18 On introduit les sinus directeur (α, β,γ) : 1 x ==c os sin R 1 y ==si n R =cos cos

Lexpression précédente sécrit (2) :

22
ikR S ik(x+y)

A(M)KeA(P)ex p-ik (αx+βy)expdS

2R 1 x 1 y z O' M O !v=(!,",#)ψ !R

III - Les approximations

19

III.2 - Approximation de Fresnel et Fraunhofer

Lexpression (2) est lapproximation fondamentale de la diffraction dans lapproximation de Fresnel. Dans certaines conditions on simplifie parfois cette expression en écrivant :

22
x+y >>(αx+βy) R

Lorsque c.à.d R petit.

A(M)!K.eikRA(P)expik(x2+y2)2R!"#$%&S''dS

(3)

Nous sommes dans le cas de la diffraction à distance finie ou diffraction de Fresnel (le calcul de (3) est généralement difficile).

20

Lorsque R→∞ le terme qu adratique devient négligeable devant le terme linéaire et lexpression (2) devient :

A(M)!K.eikRA(P)exp(-ik(!x+"y))S##dS

Nous sommes dans le cas de la diffraction à linfini ou diffraction de Fraunhofer.

III - Les approximations

21

Dans la pratique, on réalise la diffraction à linfini en se plaçant dans le plan focal F' dune lentille convergente. On place e n F

1

, un objet ponctue l. Louverture de diffraction reçoit donc une onde plane. On observe le phénomène de diffraction à linfini dans le plan focal image de la lentille L

2 F 1 L 1 L 2 F 2

écran fente

III - Les approximations

22

III.3 - Transformation de Fourier

Considérant lexpression de la diffraction de Franhaufer. Lamplitude sur le diaphragme sécrit A(x,y), alors que sur lécran est A(x

1 ,y 1 ). Le terme de phase peut sécrire : 11 ik ik(αx+βy)=(xx +yy )=2iπ(ux+vy) R avec 1 x u== R et 1 y v== R fréquences spatiales S

A(u,v)=A(x,y)exp( -2i π(ux+vy))dxdy

Or, nous savons que A(x,y) ≠ 0 si (x,y) ∈ S et A(x,y) = 0 ailleurs. L amplitude diffracté prend la forme :

23
Nous pouvons don c étendre le domi ne dintégration jusquà linfini :

A(u,v)=A(x,y)ex p(-2 iπ(ux+vy))dxdy

Cette équation d éfinit une opération mathémati que appelée transformation de Fourier :

A(u,v)=A(x,y)ex p(-2 iπ(ux+vy))dxdy

On peut di re quà un facteur multi plicatif près, la répartition damplitude à l infini dune onde diffractée est égale à la transformée de Fourier de la répartition damplitude dans le plan de lobjet diffractant.

III - Les approximations

24

IV.1 - Diffraction par une fente

On se limite à la diffraction de Fraunhofer.

Considérant une fente fine rectangulaire de largeur a et de longueur b (a << b), éclairée uniformément par un faisceau monochromatique parallèle à laxe oz. Sachant que A(P) = A(x, y) = Cte (éc lairement uniforme), la relation suivante :

S

A(M)=A(P)e xp( -ik(αx+βy))dS

sécrit +a/2+b/2 -a/2-b/2

A(α,β)=C tee xp(-ik(αx+βy))dxdy

+a/2+b/2 -a/2-b/2 =Ct eexp(-ikαx)dxexp(-ikβy)dy

IV.1.1 - Expression de lamplitude diffractée

IV - Les exemples

25

En utilisant la relation

ix-ix e-e sinx= 2i on obtient : kαakβb sinsin 22

A(α,β)=a b

kαa C kβb 22
a b sinsin

A(α,β)=C ab

a b

Ou encore puisque

2π k=

Cette expression est de a forme :

sinUsinV A=C. UV =consCtante

IV - Les exemples

26

IV.1.2 - Eude de la fonction sinc(U)

pour U = kπ sinU =0 U pour U = 0 sinU =1 U est maximum (U ≠ 0) pour U = tanU sinU U soit

U=( 2n+1)

2 et a pour valeur : n max sinU2(-1)

U(2n +1)π

(avec n ≠ 0 et -1) 1/ 2/ 3/

IV - Les exemples

27
0 U -π -π/2 π/2 π tgU

IV - Les exemples

28
0 2π

0,20,0-0,20,61,00,40,8

π3π4π-2π-π-3π-4π

3π 2 5π 2U

IV - Les exemples

sin(U)U 29
Sachant que et on peut écrire : =co s sin

θβ=sinψ

IV.1.3 - Répartition de lintensité dans le plan focale dune lentille acos( )sin( bsin( sinsin

A(α,β)A( ψ,θ)=C .ab

acos( )sin( bsin(

Si nous su pposons que ψ ≈ 0, l a s ituation d evient unidimensionnelle et on obtient : A(ψ,θ) →A(θ) avec :

0 asin( sin

A(θ)=A

asin( 30
où A 0

est une constante proportionnelle à la surface de la fente S = ab. Cette expression représente lamplitude de londe diffracté par une fente fine de l argeur a suivant θ. Si nous nous plaçons dans le plan focal de la lentille de distance focale , il nous faut remplacer la variable θ par la variable x

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