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TD 10 - Analyse : méthode de Newton en dimension 2 On cherche à approcher numériquement une solution du sytème d"équations suivant : x2+y2= 2 x

2y2= 1

On réécrit ce système sous la forme :f(x1; x2) = 0oùfest une application deR2dansR2qui au

vecteurX=x1 x 2 associe le vecteurY=f1(x1; x2) f

2(x1; x2)

=x21+x222 x

21x221

On souhaite appliquer la méthode de Newton et comparer avec le résultat obtenu avec la fonction

fsolvede Scilab qui permet la résolution de systèmes non linéaires. Donnons le principe de la méthode de Newton en dimension2.

Comme pour le cas de la dimension1, la méthode consiste à regarder la solution de l"équationf(X) = 0

comme solution de l"équationF(X) =XavecF(X) =XDf(X)1f(X)oùDf(X)est la matrice jacobienne defque l"on suppose inversible. Dans l"exemple, la matrice jacobienne s"écrit : @f1@x 1@f 1@x

2@f2@x

1@f 2@x 2! =2x12x2

2x12x2

; (inversible pourx1etx2 non nuls) On construit alors une suite de vecteurs(Xk)définie parX0et pour tout entier naturel,Xk+1=F(Xk). On arrête le calcul des termes successifs de la suite lorsquekXk+1Xkk< oùest la précision voulue.

Travail demandé :

Programmer la méthode de Newton sur l"exemple proposé, et déterminer numériquement une solution

du système.

1.Déterminer les valeurs exactes des solutions.

2.Définir deux fonctions qui prennent en argument le vecteurX=x1

x 2 et qui renvoient respec- tivementf(X)etDf(X).

3.Implémenter la méthode de Newton. On pourra en plus de la condition d"arrêtkXk+1Xkk< ,

limiter le nombre d"itérations pour le cas où la méthode ne converge pas.

4.Afficher la solution et comparer le résultat avec la fonctionfsolve:X=fsolve(X0; f).

Script Scilab// méthode de Newton// avec la fonction f(x1,x2) définie comme suit : functionY=f(X)

Y=[X(1)^2+X(2)^2-2;X(1)^2-X(2)^2-1];

endfunction utilisateur=x_mdialog("précision et nombre maximum d""itérations",... ["eps";"n"],["0.001";"10"]); eps =evstr(utilisateur(1)); n =evstr(utilisateur(2)); X0 =evstr(x_matrix("vecteur initial X0",[1;1])); functionDf=Jac(X)

Df(1,1)=2*X(1);

Df(1,2)=2*X(2);

Df(2,1)=2*X(1);

Df(2,2)=-2*X(2);

endfunction // méthode de Newton function[X,dist]=Newton(f,Jac,eps,n) X=X0; k =1; ep2 =eps^2; dist2 =eps^2+1; whilek<=n&dist2>ep2 Xk =Jac(X)\f(X);

X=X-Xk;

dist2 =Xk"*Xk; k =k+1; end dist=sqrt(dist2); endfunction [X,dist]=Newton(f,Jac,eps,n); disp("solution de f(x1,x2)=0 :"); disp(X); // utilisation de la fonction fsolve y=fsolve(X0,f); disp("solution de f(x1,x2)=0 avec fsolve :"); disp(y);quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] TD 10 - Analyse : méthode de Newton en dimension 2

La méthode de Newton : un exemple en dimension 2