[PDF] [PDF] Groupes 22 nov 2019 · IV Groupes

View - Download [PDF] Groupes

Previous PDF

Next PDF

Groupes

Thomas Dedieu

Rentrée 2019, compilé le 22 novembre 2019

Avertissement.Ceci n"est pas un polycopié de cours. Ce texte est constitué de mes notes personnelles pour un cours de préparation à l"agrégation, grossièrement mises en forme. Néanmoins, si vous trouvez des erreurs il m"intéresse que vous me les communiquiez.

Exercices propédeutiques 2

I Groupes opérant sur un ensemble 5

1 Définitions5

2 Groupe agissant sur lui-même 6

3 Équation aux classes8

4 Application : théorèmes de Sylow 10

II Groupes monogènes 13

1 Description générale 13

2 Générateurs de(Z/nZ,+)13

3 Sous-groupes deZ/nZ14

4 Lemme chinois16

5 Indicatrice d"Euler16

6 Automorphismes de(Z/nZ,+)17

III Groupe symétrique 19

1 Décomposition en produit de cycles à supports disjoints 19

2 Signature20

3 Groupe alterné23

IV Groupes abéliens de type fini (grabdetf) 25

1 Groupes abéliens de type fini 25

2 Matrices à coefficients dans un anneau principal 26

3 Unicité de la décomposition 27

1

GroupesTh. Dedieu

Exercices propédeutiques

Exercice 1.Donner des exemples de :

group esab éliensfinis non-cycliques ; group esmonogènes non-cycliques ; group esab éliensinfinis non-monogènes ; group esinfinis non-ab éliens. Exercice 2.Montrer queZ2n"est pas monogène. En déduire queZ2etZsont deux groupes non-isomorphes. Sont-ils isomorphes en tant qu"ensembles? Exercice 3.1) Démontrer le théorème de Lagrange : soitGun groupe fini. Pour tout sous- groupeH < G, l"ordre deHdivise l"ordre deG.

2) En déduire le théorème d"Euler : soitn >0un entier. Pour tout entierxpremier avecn, on

a x ?(n)≡1 modn, où?(n) = Card{i?[[1,n]] : pgcd(i,n) = 1}est lafonction indicatrice d"Euler.

3) En déduire le petit théorème de Fermat : pour tout entierppremier, et tout entiera, on a

a p≡amodp. Exercice 4.1) SoitGun groupe,K ? Gun sous-groupe distingué. Montrer que l"ensemble quotientG/Kest muni d"une structure de groupes canoniquement induite par la structure de groupe deG. Montrer que l"applicationx?G?→¯x?G/Kest un morphisme de groupes.

2) Soitφ:G→Hun morphisme de groupes. Montrer que le noyauK= ker(φ)est un sous-

groupe distingué deG. Montrer queφinduit un morphisme injectifG/K→H.

3) SoitGun groupe,K ? Gun sous-groupe distingué. SoitHun groupe, etφ:G→H

un morphisme. On suppose queφ(K) ={1H}. Montrer qu"il existe un unique morphisme de

groupes¯φ:G/K→Htel queφ=¯φ◦π, oùπest le morphisme canoniqueG→G/K.

4) SoitGun groupe. On considère

D(G) =?aba-1b-1, a,b?G?

(sous-groupedérivédeG). a) Montrer queD(G)est un sous-groupe distingué deG, et que le groupe quotientGab:=

G/D(G)est abélien.

b) SoitMun groupe abélien,φ:G→Mun morphisme de groupes. Montrer qu"il existe un

unique morphisme¯φ:Gab→Mtel queφ=¯φ◦π, oùπest le morphisme canoniqueG→Gab.

Exercice 5.Donner un morphisme deZ/3Z×Z/17ZdansGLn(C). Exercice 6.1) Démontrer que tout sous-groupe deZest monogène. Exhiber un sous-groupe deRqui n"est pas monogène.

2) Soita,b?Z. Démontrer que

aZ+bZ= pgcd(a,b)ZetaZ∩bZ= ppcm(a,b)Z. 2

GroupesTh. Dedieu

3) a) Démontrer le théorème de Bezout : deux entiersaetbsont premiers entre eux si et

seulement si il existeu,v?Ztels queau+bv= 1. b) Soitd?Z. Est-il vrai quepgcd(a,b) =dsi et seulement si il existeu,v?Ztels que au+bv=d?

4) Soitaetbdeux entiers. On noted= pgcd(a,b)etm= ppcm(a,b).

a) Montrer qu"il existea?,b??Ztels quea=da?etb=db?. b) Montrer quem=ab?=a?b. c) Montrer quemd=ab. Exercice 7.1) Démontrer queZ/nZest un corps si et seulement sinest un nombre premier.

2) Montrer que18est inversible pour la multiplication dansZ/55Z, et déterminer son inverse.

3) a) Soitx= ¯a?Z/nZ. On noted= pgcd(a,n). Montrer que?x?(le sous-groupe deZ/nZ

engendré parx) est égal à?¯d?. b) Déterminer le sous-groupe engendré par1038dansZ/1000000Z.

4) Déterminer tous les générateurs du groupe additifZ/24Z.

5) Montrer que l"ensemble des éléments non nuls deZ/19Zconstitue un groupe pour la multi-

plication. Vérifier que ce groupe est cyclique, et trouver tous ses générateurs.

Exercice 8.Soita,b?Z.

1) Déterminer le noyau du morphisme de groupes (ou d"anneaux)

n?Z?→(nmoda,nmodb)?Z/aZ×Z/bZ. En déduire qu"il existe un morphisme injectifZ/ppcm(a,b)Z→Z/aZ×Z/bZ.

2) Siaetbsont premiers entre eux, déduire de la question précédente qu"il existe un isomor-

phismeZ/abZ≂=Z/aZ×Z/bZ. (Indication: utiliser un argument de cardinalité).

3) On supposeaetbpremiers entre eux, et on considèreu,v?Ztels queau+bv= 1. Montrer

que l"application est bien définie, et que c"est un morphisme de groupes (d"anneaux en fait). Vérifier que ce morphisme est l"inverse du morphismeZ/abZ≂=Z/aZ×Z/bZdes questions précédentes.

4) On ne suppose plusaetbpremiers entre eux, et on considère leurs décompositions en

produits de facteurs irréductibles : soitp1,...,prdes nombres premiers deux à deux distincts, eta1,...,ar,b1,...,br?Ntels quea=pa11···parretb=pb11···pbrr(certains desbiouai peuvent être nuls). a) Montrer que Z/aZ×Z/bZ≂=?Z/pa11Z× ··· ×Z/parrZ?×?Z/pb11Z× ··· ×Z/pbrrZ? b) En déduire queZ/aZ×Z/bZ≂=Z/pgcd(a,b)Z×Z/ppcm(a,b)Z.

Exercice 9.Déterminer la signature de la permutationσ, ainsi queσ10000dans les cas suivants :

(i)σ=?1 2 3 4 5 6 7 8

8 7 1 5 2 4 6 3?

(ii)σ=?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

11 5 7 12 10 3 6 4 2 1 9 8?

(iii)σ=?1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 8 5 3 9 1 7 6 4?

3

GroupesTh. Dedieu

Exercice 10.Soientn?N?,σ?Sn,a1,a2,...,akkéléments deux à deux distincts de[[1,n]].

Montrer que

σ◦[a1,a2,...,ak]◦σ-1= [σ(a1),σ(a2),...,σ(ak)]. Exercice 11.1) Déterminer tous les sous-groupes des groupes symétriquesS3etS4. Lesquels sont des sous-groupes distingués?

2) Déterminer un morphisme non constant du groupeS4dans le groupeS3.

3) Vérifier que le groupe alternéA5possède deux sous-groupes isomorphes àA4etZ/5Zrespec-

tivement, et tels que l"application de multipliciation réalise une bijection. Les groupesA4×Z/5ZetA5sont-ils isomorphes?

4) Vérifier l"existence des suites de sous-groupes distingués suivantes :

a){1}=A2?S2≂=Z/2Z; b){1}?A3=Z/3Z?S3; c){1}?Z/2Z? V4?A4?S4(V4est le groupe de KleinZ/2Z×Z/2Z). Exercice 12.On considère le plan euclidien orientéE2, muni d"un repère orthonormal direct.

On note pour toutα?R/(2πZ),rαla rotation vectorielle d"angleα, et pour toutγ?R/(πZ),

s

γla réflexion orthogonale par rapport à la droiteDγformant un angleγavec l"axe des abscisses.

1) Montrer queR:α?R/(2πZ)?→rα?GL(E)est un morphisme de groupes. Montrer que

l"image deRest le noyau du morphismedet :u?O(E)?→det(u)?R. En déduire que l"image deRest un sous-groupe distingué deO(E). Est-ce un sous-groupe distingué deGL(E)?

2) a) Soitγ,γ??R/(πZ). Montrer quesγ?◦sγ=r2(γ?-γ). Faire un dessin.

b) L"ensembleR/(πZ)des réflexions orthogonales est contenu dansGL(E). L"injection corre- spondanteR/(πZ)→GL(E)est-elle un morphisme de groupes?

3) Calculerrα◦sγetsγ◦rαpour toutα?R/(2πZ)etγ?R/(πZ). (Indication: écrire

r

4) Soitα?R/(2πZ),γ,γ??R/(πZ). Vérifier les relations (faire des dessins) :

a)sγrαsγ=r-α; b)rαsγr-α=sγ+α; c)sγsγ?s-1γ=s2γ-γ?(réflexion orthogonale par rapport à la droitesγ(Dγ?).

5) On considère l"ensembleD4à huit éléments

D a) Montrer queD4est le groupe des isométries du carré formé des points d"affixe une racine

4-ème de l"unité dans l"identificationE2≂=Cdonnée par le choix de notre repère.

b) On noter=rπ/2ets=s0. Montrer que D

4={1,r,r2,r3,s,sr,sr2,sr3}.

c) Montrer queD4est le groupe donné par générateurs et relations ?r,s:s2=r4=srsr= 1?. d) Déterminer les cinq classes de conjugaison deD4. e) Déterminer tous les sous-groupes deD4. Lesquels sont distingués? 4

GroupesTh. Dedieu

I - Groupes opérant sur un ensemble

Slogan." Un groupe c"est fait pour agir. »

1 - Définitions

1.1 - Actions de groupes

(1.1) Définition.Ggroupe,Xensemble.Gagit à gauche surX(GX) si [...] Remarque.Chaqueˆgest automatiquement une bijection. (1.1.1)De manière équivalente, on veut un morphisme de groupesG→Bij(X). (1.2) Exemples.GL(E)E(telle quelle pas très intéressante en fait),(E,+)AE. S n{1,...,n}.

On en verra plein d"autres.

(1.3)Une action estfidèlesi seul1?Gagit comme l"identité. On peut toujours se ramener à une action fidèle en remplaçantGpar le noyau du morphisme G→S(X)- qui est toujours un sous-groupe distingué; on l"appelle lenoyau de l"action. (1.4)Une action esttransitivesi pour tousx,y?X, il existeg?Gtel quey=g.x. Exemples.EAEest transitive,GL(E)Enon (il y a deux orbites,{0}etE\ {0}, qui ne se ressemblent pas beaucoup).PGLn+1Pnest transitive. (1.5)Plus généralement, pourk?N, une actionGXestk-transitive si [...] Exemple.Snagitn-transitivement sur{1,...,n}.Anagit(n-2)-transitivement : ?x1···xn-2xn-1xn y

1···yn-2yn-1yn?

ou?x1···xn-2xnxn-1 y

1···yn-2ynyn-1?

convient; en revancheAn{1,...,n}n"est pas(n-1)-transitive (remarque : dans ce cas, c"est

équivalent à lan-transitivité).

1.2 - Orbites et partitions

(1.6) Définition.Pourx?X, l"orbiteω(x)est{g.x:g?G}. Exemple.Action du groupe des rotations(R/2πZ,+)surR2. (1.7) Proposition.X=?

G\Xω.

(ii)x?ω(x).2

On peut aussi regarder la relation d"équivalence " être transporté l"un sur l"autre par l"ac-

tion ». 5

GroupesTh. Dedieu

2 - Groupe agissant sur lui-même

2.1 - Action par conjugaison

(2.1)g.h=ghg-1.

Attention :g-1hgdéfinit une actionà droite.

(2.2) Principe de conjugaison. (2.2.1) Exemple.Sipest la projection surFdans la direction deG,u◦p◦u-1est la projection suru(F)dans la direction deu(G).

Pourf=λ1p1+···+λsps, on a donc [...]. Idem pour une décomposition de Dunford-Jordan.

(2.2.2) Exemple.DansSn,σ?1,...,k?σ-1=?σ(1),...,σ(k)?. (2.2.3) Lien avec la formule de changement de base.

2.2 - Action par multiplication et quotient

(2.3)g.h=ghactionGGà gauche.

Quotient par un sous-groupe

(2.4)H < Gsous-groupe quelconque.Hagità droitesurG(GH) par multiplication : g.h=gh.

Poura?G, on note

aH=ω(a) ={ah:h?H}; ceci s"appelle une classeà gauchemoduloH. (2.5) Lemme.Toutes les orbites sont en biijection avecH. En particulier siHest fini, elles ont toutes le même cardinal|H|. Preuve.φa:H→aHest une application injective et surjective pour touta.2 (2.6) Application.Théorème de Lagrange. Parenthèse : propriété universelle du quotient (2.7) Proposition.SoitGun groupe, etK?Gun sous-groupedistingué, de sorte que le quotient G/Kest muni d"une structure de groupe. On considère un autre groupeH. Les morphismes de groupesG/K→Hsont en correspondance bi-univoque avec les morphismes de groupesG→H qui sont triviaux surK. (2.8) Exercice.SiH=Mest un groupe abélien, l"ensembleHom(G,H)est muni d"une structure canonique de groupe, automatiquement abélien.

1) La composition (à gauche) avecG→G/Ket la restriction àKdéfinissent respectivement

deux morphismes de groupes

2) Le morphismeHom(G/K,M)→Hom(G,M)est injectif, et son image est le noyau de

Hom(G,M)→Hom(K,M).

6

GroupesTh. Dedieu

Action sur un quotient

(2.9)GG/Hpar multiplication à gauche :g.aH=gaH, autrement ditg.¯a=ga. Valable pour un sous-groupe quelconque (pas nécessairement distingué).

Attention :on ne peut pas écrirega= ¯g¯a, quandHn"est pas distingué on ne peut même pas

mettre de structure de monoïde sur le quotient. Il n"y a pas en général d"actionG/HG/H qui correspond àGG/H, c"est pour ça que cette dernière est intéressante. (2.10) Lemme.L"actionGG/Hpar multiplication à gauche est transitive, mais n"est pas fidèle en général. De plus, ung?Gpeut très bien agir avec points fixes. Preuve.L"actionGG/Hest transitive commeGG: poura,b?G,¯b=ba-1.¯a. Les autres affirmations sont justifiées par l"Exemple (2.10.2) ci-dessous.2 (2.10.1) Noyau de l"actionGG/H.Il est clair que ça ne peut pas êtreHen général, sinon celui-ci serait distingué. En général :quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36

[PDF] trouve quelquun avec son numero

[PDF] trouve quelquun qui fle

[PDF] verbes suivis de prépositions

[PDF] les verbes de communication pdf

[PDF] systeme solaire 4eme

[PDF] translation of strep throat in french

[PDF] les types de la traduction

[PDF] changement de base vecteur si

[PDF] définition de la traduction pdf

[PDF] c'est quoi la traduction

[PDF] la définition de la traduction

[PDF] qu'est ce que la traduction littéraire

[PDF] qu'est ce que la traduction

[PDF] adjectif personnalité travail

[PDF] casnav test francais