[PDF] La somme des n premières racines





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Somme de deux racines carrées

Somme de deux racines carrées. Un thème à dérouler sur plusieurs niveaux. Richard Choulet(*). Le point de départ de cette étude est un exercice d'un livre 



la somme dun nombre rationnel et dun nombre irrationnel est

Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Vrai : la racine carrée d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.



La somme des n premières racines

La somme des n premières racines. par Ivan Debouzy Jérôme Dal



FRACTIONS PUISSANCES

https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19RacPuissM.pdf



MyPrepa

On remarque que le nombre entier à l'intérieur de la somme est constant. Brouillon 1. Soit n ? N?. On obtient par télescopage : Sn+1 ? Sn = (n+1)2?1.



Hypoténuse Angle droit

la touche est la touche permettant de trouver la racine carrée d'un nombre. alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des c.



Racine carrée - Exercices corrigés

RACINE CARREE. EXERCICES CORRIGES. Les carrés parfaits : ( sauf 1 ). 4 9



La racine carrée

Exemples : ?. ?. ?. ?. ?. ?. ?. ?. ?. ?. ?. ?. Page 2. 2 c) Avec l'addition et la soustraction. La somme de deux racines carrées n'est pas égale à 



Table des matières 1 Valeurs absolues

La racine carrée d'un nombre réel a est un nombre b réel tel que b2 = a. Attention : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines.



TP numéro 1

Écrire une fonction qui retourne la racine carrée d'un nombre s'il est positif et Écrire une fonction somme qui calcule récursivement la somme des n ...



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La racine carrée de a est le nombre (toujours positif) dont le carré est a Remarque : = ? La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5



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Définition : La racine carrée de est le nombre (toujours positif) dont le carré est Racines de carrés parfaits : ?0 = 0 ?25 = 5 ?100 = 10 ?1 = 1 ? 



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On appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est égal à a Cette définition se traduit en écritures mathématiques par :



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La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a La racine carré de a se note On a Remarques : 1 La racine carrée d' 



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L'objectif de cet exercice est de démontrer que toute puissance entière de est la somme des racines carrées de deux entiers consécutifs 1 Vérifiez ce résultat 



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RACINE CARREE EXERCICES CORRIGES Les carrés parfaits : ( sauf 1 ) 4 9 16 25 36 49 64 81 100 et la racine carrée de ces carrés 



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La racine carrée d'un produit de deux nombres positifs est égale au produit des racines carrés de chacun d'eux Exemples : • 3 × 5 = 3 × 5 = 15 •



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Il n'existe pas de formule concernant la somme de racines carrées mais nous pouvons calculer certaines sommes algébriques en simplifiant les racines carrées



[PDF] les racines carrées :

les racines carrées : 1) Introduction : il existe un et un seul nombre positif dont le carré est 4 c'est 2 il existe un et un seul nombre positif dont le 



[PDF] Les racines carrées - Mathsbook

Pour résoudre l'équation on notera que la solution est la racine carrée de a notée : ? a Par exemple : ? 25 = 5 car 52 = 25 I - Règles de calcul

  • Comment calculer la somme d'une racine carrée ?

    On ne peut pas additionner des racines carrées

  • Comment simplifier une somme de racine carré ?

    Simplifier une racine carrée, c'est l'écrire sous la forme « a x ?b » avec b le plus petit possible. La simplification de racines carrées est utile quand on doit effectuer des additions, des soustractions ou des multiplications de racines carrées.
  • Propriété Le produit de 2 racines carrées est égal à la racine carrée du produit. Le quotient de 2 racines carrées ets égale a la racine carrée du quotient.

La somme des

n premières racines. par Ivan Debouzy, Jérôme Dal, élèves de TC du

Lycée Pablo Neruda de Saint Martin d'Hères

enseignants : MM.Laurent Delgado et Jean-

Claude Oriol

chercheur : M.Charles Payan, Laboratoire de

Structures Discrètes et de Didactique de Gre-

noble. [NDLR : Sujet initial du groupe : Points, droites, cercles, figures É étonnant, non ?]

Nous avons cherché un encadrement de la

somme Sndes n premières racines :

Nous avons obtenu :

N ous avons écrit un programme infor- matique pour calculer Sn.A l'aide du tableau des valeurs de Snainsi obte- nu (voir page suivante), nous avons cherché à partir de quelle valeur de n la somme des n premières racines était minorée par k´n , pour k = 1, 2, 3, É .

On passe de n1àn3en ajoutant 18, de n3à

n5en ajoutant 2´18, de n5àn7en ajoutant

3´18, de n7àn9en ajoutant 4´18. [NDLR :

On fait donc l'hypothèse suivante :] la sous-

suite (nk) de rang impair s'exprime par : ou soit, après simplification :

On exprime k en fonction de nk:

On obtient :

O n démontre par récurrence que l'in-

égalité

(1) est vraie pour tout n¹0. donc si on montre que alors .

Après calculs :

Sn1+2+É+n=i

i=1 n n 3

4n+5£i

i=1 n n 3 4n+6

A partir de

n1 = 1 n2= 8 n3 = 19 n4 = 35 n5 = 55 n6 = 80 n7 =109 n8 =143 n9 =181 n10=224 on a

Sn³ n

Sn³ 2n

Sn³ 3n

Sn³ 4n

Sn³ 5n

Sn³ 6n

Sn³ 7n

Sn³ 8n

Sn³ 9n

Sn³ 10n

n k1118218Ék-1

2()=+´+´++´18

nk=1+ k-1 2

18+(k-1)´9

2 ae nk=1+ 9 4 (k 2-1) k= 1 3 4nk+5

Sn³

n 3 4n+5

1°/ S1 = 1 ³ 1

3

9 (= 1)

2°/ Sn+1 = Sn + n + 1 ³ n

3

4 n + 5 + n + 1

n 3

4 n + 5 + n + 1 ³ n + 1

3

4 (n+1) + 5

Sn+1 ³ n + 1

3

4 (n+1) + 5

n 3

4 n + 5 + n + 1 ³ n + 1

3 4 n+9

Û - 12 n + 1 + 54 n + 5 + 4 n + 9 ³ 0

Si - 12 n + 1 + 54 n + 5 + 4 n + 5 ³ 0

alors - 12 n + 1 + 54 n + 5 + 4 n + 9 ³ 0. ÒMATh.en.JEANSÓ au Palais de la Découverte - 1992page 47

Loi de Antoine 7

Si Xet Y sont deux nombres différents de 0

et si Y>X

X(Y - X) Y__ +______ =___ =1

Y Y Y

O n compare Snà une valeur légèrement supérieure à la première borne : (choix arbiraire). [NDLR: démons- tration non fournie ici, mais juste.] (2) Exemple prouvant la très grande précision de l'encadrement :Or - 12 n + 1 + 54 n + 5 + 4 n + 5 ³ 0

Û 64 n + 5 ³ 12 n + 1

Û 4 n + 5 ³ 4n + 4 . C.Q.F.D.

Sn £ n

3

4 n + 6

S100 000 » 21 082 008,4

100 000

3

4 ´ 100 000 + 5 » 21 081 982,83

soit une différence de » 26 ou encore une précision de 1,3 10-4%

100 000

3

4 ´ 100 000 + 6 » 21 082 009,18 :

précision < 10-7% n : 1 : 8 : 15 : 22 :
29 :
36 :
43 :
50 :
57 :
64 :
71 :
78 :
85 :
92 :
99 :
106 :
113 :
120 :
127 :
134 :
141 :
148 :
155 :
162 :
169 :
176 :
183 :
190 :
197 :
204 :
407 :
414 :
421 :
428 :
435 :
442 :
Sn 1,000

16,306

40,469

70,939

106,606

146,799

191,057

239,036

290,466

345,131

402,848

463,464

526,847

592,881

661,463

732,502

805,915

881,629

959,575

1039,692

1121,921

1206,210

1292,510

1380,775

1470,962

1563,031

1656,944

1752,667

1850,164

1949,405

5483,825

5625,737

5768,852

5913,160

6058,652

6205,318

Sn+1 2,414

19,306

44,469

75,735

112,083

152,882

197,690

246,177

298,082

353,193

411,333

472,352

536,121

602,525

671,463

742,846

816,593

892,629

970,889

1051,311

1133,837

1218,417

1305,000

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