[PDF] Vecteurs et barycentres La notion mathématique de

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Chap II :Vecteurs et barycentres

I. Vecteurs

1) Définitions

Définition 1 :Un vecteur-→uest défini par unedirection, unsenset une longueur (appeléenorme).

La norme du vecteur--→ABest la longueurAB.

Elle est notée???--→AB???

. Ainsi???--→AB??? =AB.

Propriété 1 :Lorsque les pointsA,B,CetD, ne sont pas alignés, on a--→AB=--→DC??ABCDest un parallèlogramme.×D×C×

A×B

Définition 2 :Relation de Chasles: On a--→AB+--→BC=--→AC.

×A×B×

C --→AB+--→BC Remarque :??Règle du parallélogramme??:--→AB+--→AC=--→AD.

×A×B×

D×C

--→AB+--→AC Définition 3 :Dire que(x;y)sont lescoordonnées(uniques) du point

Mdans le repère?

O;-→i,-→j?

signifie que--→OM=x-→i+y-→j. On note :M(x;y). Les coordonnées d"un vecteur-→usont celles du pointMtel que--→OM=-→u. On note :-→u(x;y).×Oy xM -→i -→j -→u Remarque :Ainsi, dire que les coordonnées de-→udans le repère?

O;-→i,-→j?

sont(x;y)signifie que

-→u=x-→i+y-→j. (On dit aussi que(x;y)sont les coordonnées de-→udans la base?-→i,-→j?

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2) Colinéarité

Définition 4 :Lorsque le vecteur-→uet le nombreksont non nuls, le vecteurk-→ua :

•même direction que-→u,

•même sens que-→usik>0et sens contraire sik<0.

•pour norme le réel :|k|×??-→u??.

Remarque :Les vecteurs--→ABet--→BAsont

opposés:--→BA=---→AB. ATTENTION, la??multiplication??et la??division??entre vecteurs n"est pas définie. Définition 5 :Dire que deux vecteurs non nuls--→ABet--→ACsontcolinéaires signifie qu"ils ont la même direction, c"est-à-dire que les droites(AB)et(CD)sont parallèles.×

A×B

C×D

-→u -→v

On peut également dire que deux vecteurs non nuls--→ABet--→CDsont colinéaires s"il existe un réelk

tel que--→AB=k--→CD. Remarque :Parconvention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

Propriété 2 :•Dire que trois points distinctsA,BetCsontalignéséquivaut à dire qu"il existe

un nombrektel que--→AB=k--→AC.

•Dire que deux droites(AB)et(CD)sont

parallèleséquivaut à dire qu"il existe un nombrektel que--→AB=k--→CD. On peut caractériser la colinéarité avec les coordonnées.

Propriété 3 :Dire que-→u(x;y)et-→v(x?;y?)sontcolinéaireséquivaut à dire quexy?-yx?=0.

(Forme vectorielle du théorème de Thalès) Théorème 1 :SoitABCun triangle.Msur(AB)etNsur(AC).

•Si(MN)est parallèle à(BC)soitkle nombre tel que--→AM=k--→AB. alors--→AN=k--→AC

et---→MN=k--→BC.

A×B×M

C ×N k>0

×A×B

M×C×N

k<0

•(Réciproque)S"il existe un réelktel que--→AM=k--→ABet--→AN=k--→AC, alors(MN)

et(BC)sont parallèles.

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3) Vecteurs directeurs et équations de droites

Définition 6 :Unvecteur directeurd"une droite(D)est un vecteur dont la direction est celle de (D).

En particulier,

--→ABest un vecteur directeur de la droite (AB)et tous les vecteurs directeurs de cette droite sont les vecteursk--→AB, oùkest un réel non nul. E× F

×A×

B (D) -→u

Propriété 4 :Toute droite(D)estcaractériséepar uneéquation cartésiennede la formeax+

by+c=0, aveca?=0oub?=0, Le vecteur-→u(-b;a)est alors un vecteur directeur de(D).

Propriété 5 :Toute droitenon parallèle à l"axe des ordonnéesa uneéquation réduitede la

forme :y=mx+p.

Propriété 6 :•Dire que les droites d"équationsy=mx+pety=m?x+p?sont parallèles équivaut

à dire quem=m?.

•Dire que les droites d"équationsax+by+c=0eta?x+b?y+c?=0sont parallèles

équivaut à dire queab?-a?b=0.

II. Barycentre

1) Barycentre de deux points

La notion mathématique de barycentre est intuitivement très proche de la notion physique de centre

de gravité. Théorème 2 :SoientAetBdeux points du planP,αetβdeux réels. Lorsqueα+β?=0, il existe un unique pointGtel que : --→GA+β--→GB=-→0 .

Ce point est appelé

barycentredes deux points pondérés(A;α)et(B;β).

On noteG=bar?(A,α);?B,β??.

Siα=β?=0

(et notammentα=β=1), on dit queGest l"isobarycentredeAetB. -→démonstration

Remarque :L"isobarycentre deAetBest le milieu de[AB], c"est le pointItel que-→I A+-→IB=-→0.

Théorème 3 :Soientαetβtels queα+β?=0et soientAetBdeux points du planP, -→démonstration

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Propriété 7 :Le barycentre de?(A;α); (B;β)?est situé sur la droite(AB). Remarque :Siαetβsont de même signe,G?[AB].

Siαetβsont de signes contraires,G?[AB].

Si |α|>??β??alorsGest plus près deAque deB. -→Penser à l"équilibre d"une barre avec une masse à chaque bout. Remarque :?k?R?:G=bar?(A,α);?B,β??=bar?(A,kα);?B,kβ??. Théorème 4 :SoitGle barycentre du système?(A;α); (B;β)?dans un repère?

O;-→i,-→j?

SiA(xA;yA)et siB(xB;yB)alors les coordonnées deGdans ce repère sont : G ?αxA+βxB

α+β;αyA+βyBα+β?

-→démonstration

2) Barycentre de trois points

Théorème 5 :SoientA,BetCtrois points du planP,α,βetγtrois réels tels queα+β+γ?=0.

Il existe un unique pointGtel que :

--→GA+β--→GB+γ--→GC=-→0 .

Ce point est appelé

barycentredes trois points pondérés(A;α),(B;β)et(C;γ).

On noteG=bar?(A,α);?B,β?;?C,γ??.

Siα=β=γ?=0, on dit queGest l"

isobarycentredeA;BetC.

Théorème 6 :Soientα,βetγtels queα+β+γ?=0et soientA,BetCtrois points du planP,

Remarque :?k?R?:G=bar?(A,α);?B,β?;?C,γ??=bar?(A,kα);?B,kβ?;?C,kγ??.

Remarque :Par définition

lecentre de gravitéGd"un triangleABCest l"isobarycentre des points A,BetC. On a donc :--→GA+--→GB+--→GC=-→0.

Théorème 7 :(barycentre partiel)

?G=bar?(A,α);?B,β?;?C,γ?? -→Penser à l"équilibre d"une barre en T avec une masse à chaque bout. -→démonstration

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Théorème 8 :SoitGle barycentre du système?(A;α); (B;β); (C;γ)?dans un repère?

O;-→i,-→j?

SiA(xA;yA),B(xB;yB)etC(xC;yC)alors les coordonnées deGdans ce repère sont :

G?αxA+βxB+γxC

-→démonstration

3) Barycentre denpoints(HP)

On peut généraliser à un nombre plus grand de points la notionde barycentre. Les propriétés

resteront alors similaires. Dans toute la suitenest un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Théorème 9 :SoientA1,A2, ...,Annpoints du planP,α1,α2, ...,αnnréels tels queα1+α2+

···+αn?=0. Il existe un unique pointGtel que :

1---→GA1+α2---→GA2+···+αn---→GAn=-→0 .

Ce point est appelé

barycentredesnpoints pondérés(A1;α1),(A2;α2), ...,(An;αn). On noteG=Bar?(A1;α1),(A2;α2),...,(An;αn)?.

Théorème 10 :Soientα1,α2, ...,αntels queα1+α2+···+αn?=0et soientA1,A2, ...,Annpoints

du planP,il y a équivalence entre et

Théorème 11 :SoitGle barycentre du système?(A1;α1),(A2;α2),...,(An;αn)?dans un repère?

O;-→i,-→j?

SiA1(xA1;yA1),A2(xA2;yA2), ...,An(xAn;yAn)alors les coordonnées deGdans ce repère sont : G ?α1xA1+α2xA2+···+αnxAn

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