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Comment démontrer que trois points sont alignés avec le barycentre ?
Pour montrer que les points P ,Q et R sont alignés, il suffit de montrer, par exemple, que Q est le barycentre de P et de R avec des coefficients à déterminer. Le point P est donc le barycentre de (B , 1) et (C , -2). Par ailleurs, R est le milieu du segment [AB] donc . (Q est donc le barycentre de (A , 1) et (C , 2)).
Quel est la formule du barycentre ?
La position du barycentre est donnée par la relation vectorielle ?. GA + ?. GB + ?. GC = 0.
Soit G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ). Pour tout point M de l'espace : Donc, en particulier en prenant M = O : L'abscisse du barycentre est la moyenne pondérée des abscisses.

Exercices avec corrections sur le barycentre

Introduction et barycentres de deux points.

Exercice 1.

On considère un triangle ABC. On appelle I le milieu de [BC].

Démontrer que

AC AB AI 2

Exercice 2.

A et B sont deux points distincts. N est le point défini par la relation NB21NA ABAN

Exercice 3.

ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M et N sont tels que : 0AB2AM3

0DN3CD

AMAB CNCD Įet ȕ pour que N soit barycentre des points pondérés (C, Į et (D, ȕ.

5) Justifier que le quadrilatère NCMA est un parallélogramme et que O est le milieu de [MN].

Exercice 4.

B est le milieu de [AC].

Démontrer que le barycentre de (A, 1) (C, 3) est confondu avec celui de (B, 2) (C, 2).

Exercice 5.

M masse m, pour le commerçant, de ne pas manipuler plusieurs masses.

1) Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochet G sur le segment [AB] pour réaliser

? (M = 2 kg)

A B A B

M M m = 3 m = 5

2) Le point G est tel que AB32AGm pesée ? (Données : M = 2 kg)

Exercice 6.

Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm. Soit I le milieu de [BC].

1) Placer le point F tel que

2) P étant un point du plan, réduire (en justifiant) chacune des sommes suivantes :

21PB21

PB2PA

PA2PB2

M du plan vérifiant :

MB2MAMC21MB21

N du plan vérifiant :

NA2NB2NCNB

Barycentres de trois points et plus.

Exercice 7. Le centre de gravité comme isobarycentre. ABC est un triangle, ABC]. On se propose de démontrer la propriété : " G est le centre de gravité du triangle ABC » équivaut à "

0GCGBGA

GA GA' ?

2) a) Prouver que

GA'2GCGB

3) a) Quelle interprétation cette propriété peut-on donner en physique ?

alité

0GCGBGA

Exercice 8.

Soit ABCD un carré et K le barycentre des points pondérés (A, 2), (B, 1), (C, 2) et (D, 1).

On note I le barycentre des points pondérés (A, 2), (B, 1) et J celui de (C, 2) et (D, 1).

1) Placer I et J en justifiant.

: KBKA2KDKC2

Exercice 9.

On considère un triangle ABC G le barycentre de (A, 1), (B, 4) et (C, 3).

1) Construire le barycentre I de (B, 4) et (C, 3).

2) Démontrer que 0GIGA

Exercice 10.

ABC est un triangle. On note G le barycentre de (A, 2), (B, 1) et (C déterminer la position précise du point G.

1)Soit I le milieu de [BC]. Démontrer que GI2GCGB

3)Conclure.

Exercice 11.

1) Placer dans un repère les points A (1, 2), B ( 3, 4) et C ( 2, 5).

Soit G le barycentre des points pondérés (A, 3), (B, 2) et (C, 4).

2)Quelles sont les coordonnées de G ? Placer G.

3) La droite (BG) passe t- ? Justifier.

Exercice 12.

ABC est un triangle. Soit G le barycentre de (A, 1), (B, 3) et (C, 3). Démontrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles.

Exercice 13.

ABC est un triangle. On considère le barycentre Ae (B, 2) et (C, 3), le barycentre BA, 5) et (C, 3) ainsi que le barycentre CA, 5) et (B, 2).

Démontrer que les droites (AABBCC

Indication : on pourra considérer le barycentre G de (A, 5), (B, 2) et (C, 3).

Exercice 14.

ABC est un triangle de centre de gravité G.

On définit les points P, Q, R, S, U, V par : AB31AP

AB32AQAC31ARAC2ASBC31BUBC32BV

est le milieu de [RU] et de [SQ] (inutile de refaire les calculs).

Démontrer que RPUV est un parallélogramme.

Exercice 15.

Soit ABC un triangle et G un point vérifiant : 0GC3GB2GA4AB

Exercice 16.

ABCD est un carré.

E des points M du plan tels queMCMBMA2 ?

2) Représenter cet ensemble E.A

Exercice 17.

ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A, 1), (B, 1) (C, 3) (D, 3). Construire le point G et expliquer votre construction.

Exercice 18.

Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A, 2), (B, 2), (C, 15).

Démontrer que G, C, et E sont alignés.

Exercice 19.

ABCD est un quadrilatère. On note G son isobarycentre. Le but de cet exercice est de préciser la position

du point G.

1) On note I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. Démontrer que G est le barycentre de I et J munis

2) Conclure et faire une figure.

3) Si ABCD est un parallélogramme, préciser la position du point G.

Exercice 20.

ABC est le triangle donné ci-dessous. Y est le milieu de [BC].

1) Placer, en justifiant, le barycentre U de (A, 4) et (C, 1).

Puis placer le barycentre E de (A, 4) et (B, 1).

2) Soit G le barycentre de (A, 4), (B, 1) et (C, 1). Montrer que G est le barycentre de (E, 5) et (C, 1).

3) Démontrer que les droites (EC), (AY) et (BU) sont concourantes.A

C A

Exercice 21.

ABCD est un quadrilatère.

G est le centre de gravité du triangle ABC.

I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC].

L est le barycentre de (A, 1) et (D, 3).

K est le barycentre de (C, 1) et (D, 3).

les droites (IK), (JL) et (DG) sont concourantes. Pour cela, on utilise le barycentre H de (A, 1), (B, 1), (C, 1) et (D, 3).

1) Placer en justifiant, les points L et K.

2) Démontrer que H est le barycentre de G et D

3) Démontrer que H est le barycentre de J et L

4) Démontrer que H est le barycentre de I et K

5) Conclure.

Exercice 22. IM P B

On considère un triangle ABC et A[BC]. On note O le centre du cercle circonscrit à ce triangle. On considère le point H défini par

OCOBOAOH

OA'2OCOB

OA'2AH

dans le triangle ABC.

On admet, que de la même manière, on peut démontrer que le point H appartient aux deux autres

hauteurs du triangle ABC.

4) Reconnaître le point H.

5) Soit G le centre de gravité du triangle ABC.

Montrer que O, G et H sont alignés et que

OG3OH

MŃP M MŃB

Exercice 23.

Pour cet exercice, une figure est recommandée.

ABCDE est une pyramide à base carrée BCDE.

Soit G A, B, C, D et E.

On note O le centre du carré BCDE -à-CE) et (BD)).

1) Démontrer que O BCDE.

2) Démontrer que G est le barycentre de (O, 4) et (A, 1).

3) Soit G1 le centre de gravité du triangle ABE et I le milieu de [CD]. Démontrer que G 1 I).

Exercice 24.

Pour cet exercice, une figure est recommandée.

ABCD est un tétraèdre et G est le barycentre de (A, 4), (B, 1), (C, 1) et (D, 1). On note H le centre de gravité du triangle BCD -à-dire H B, C, D).

1) Démontrer que G est le barycentre de (H, 3) et (A, 4).

2) Situer le point G sur la droite (AH).

Introduction et barycentres de deux points.

Exercice 1.

On considère un triangle ABC. On appelle I le milieu de [BC]. Démontrons que ACABAI2AI2ICIBAI2IBAIIBAIACAB

0 Exercice 2. A et B sont deux points distincts. N est le point défini par la relation NB21NA

AB31AN

3) CommeNB21NA0NB21NA2

0NBNA2

Exercice 3. ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M et N sont tels que : 0AB2AM3

0DN3CD

AMAB0AB2AM3

AB2AM3AB2

0AB2AM30MBAM2AM30MB2AM2AM3

0MB2AM0MB2MA

CNCD0DN3CD

0CNDC3CD0CN3DC3CD0CN3CD3CD0CN3CD2

CD2CN3CD32CN

0DN3CD0DN3NDCN0DN3DNCN0DN2CN

0ND2NC

Į = 1 et ȕ = 2 pour que N soit barycentre des points pondérés (C, ĮD, ȕ A

5) Justifions que le quadrilatère NCMA est un parallélogramme et que O est le milieu de [MN].AB32AM et CD32CN donc CNNCCD32AB32AM.

Comme AM NC alors NCMA est un parallélogramme. Les diagonales [MN] et [AC] ont le même milieu. Comme O est le milieu de [AC] alors O est aussi le milieu de [MN].

Exercice 4. B est le milieu de [AC]. Démontrons que le barycentre G de (A, 1) (C, 3) est le barycentre H

de (B, 2) (C, 2). Comme G est le barycentre de (A, 1) et (C, 3) alors GA3GC0 (*).

Donc GA3GA AC0 puis 4GA3AC0 soit 3AC4AG AC AG3. 4Comme H est le barycentre de (B, 2) et (C, 2) alors 2HB2HC0 (H est le milieu de [BC]). 2HA ACDonc 2HA AB0 puis 4HA2AB2AC0 donc 4HA3AC0 etAC AH43. Comme AC AG43 et AC AH43 alors AG AH.

Autre solution.

Comme H est le barycentre de (B, 2) (C, 2), alors H est le milieu de [BC], donc . Comme G est le barycentre de (A, 1) et (C, 3) alors GA3GC0, puis , donc , donc puis et .

Donc , les points et sont confondus.

Exercice 5. M

peser une masse m, le vendeur place, à une position précise, un crochet sur la tige. Cette balance a

avantage, pour le commerçant, de ne pas manipuler plusieurs masses.

1) Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochet G sur le segment [AB] pour réaliser

? (M = 2 kg)

A B A B

M M m = 3 m = 5 après le principe des leviers MGBmGA0 donc ABMAGmm. Donc 2GB3GA0 puis AB53AG (situation 1, m = 3 et M = 2). Donc 2GB5GA0 puis AB75AG (situation 2, m = 5 et M = 2).

2) Le point G est tel queAB32 AG. Quelle est la masse m pesée ? (Données : M = 2 kg) AB32AGAG GB32 AG 3AG2AG2GB GA2GB0 2GA4GB0MGBmGA0) on a donc m = 4.

Exercice 6.

N P

M Ń ŃB

IN P MP ŃPP MP P Ń M MPŃ LHB

N P M M P

IN P P ŃŃ ŃP H P M B

Barycentres de trois points et plus.

Exercice 7. Le centre de gravité comme isobarycentre.

P L

Ń M NP ŃŃ

P NMŃP P F

Exercice 8.

ŃP ŃP MP

ŃP P MŃ MN

La méthode est à retenir :

ŃPP MN H NMŃP

Exercice 9.

Exercice 10.

ŃŃ P P M P Ń P

GB GC2GI2GA2GI0

GB GC GIIBGIIB2GI2GIIBIB02GA GB GC0

Exercice 11.

M M

Exercice 12.

Exercice 13.

3B F P NMŃP

1B FŃ P P P MB

3B F P NMŃ

P MB P

P P P MB P P ŃŃMPBo

5 xxx x yyy y x y

Exercice 14.

MŃMPP

Exercice 15.

Exercice 16.

I A G Exercice 17. ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A, 1), (B, 1) (C, 3) (D, 3).

Plusieurs constructions sont possibles. Par exemple, on construit le milieu I de [AB] qui est le barycentre

de (A, 1) et (B, 1). Puis on construit le milieu J de [CD] qui est le barycentre de (C, 3) et (D, 3). Par

associativité du barycentre, le point G est alors le barycentre de (I, 2) et (J, 6). Donc le point G vérifie la

relation

0GJ6GI2

0IJGI3GI

0IJ3GI4

IJ3IG4

IJ 43IG.
Ceci permet de placer le point G sans difficulté.

Exercice 18.

Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A, 2), (B, 2), (C, 15). A, 2), (B, 2). Par associativité du barycentre,

G est alors le barycentre de (E, 4) et (C, 15). Ceci montre que les points G, C, et E sont alignés.

Exercice 19. ABCD est un quadrilatère. On note G son isobarycentre. Le but de cet exercice est de

préciser la position du point G.

1) On note I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. I est le barycentre de (A, 1) et (C, 1) tandis que J

est le barycentre de (B, 1) et (D, 1). On en déduit par associativité du barycentre que G, barycentre de

(A, 1), B, 1), (C, 1), (D, 1) est aussi le barycentre de (I, 2) et (J, 2). Autrement dit, G est le milieu de [IJ].

2) La figure ne présente aucune difficulté, on construit I, J et G qui sont les milieux des segments [AC],

[BD] et [IJ].

3) Si ABCD est un parallélogramme,

précède les points I et J sont confondus. Le point G, milieu de [IJ] est alors confondu avec I et J. G est

donc le centre du parallélogramme. Exercice 20. ABC est le triangle donné ci-dessous. Y est le milieu de [BC].

1) Le barycentre U de (A, 4) et (C, 1) vérifie la relation

0UCUA4

0UCCA4UC4

0CA4UC5

CU5CA4

CA 54CU

0EBEA4

0EBBA4EB4

0BA4EB5

BA4BE5

54BE. Ceci permet de placer le point E.

2) Soit G le barycentre de (A, 4), (B, 1) et (C, 1). Comme E est le barycentre de (A, 4) et (B, 1), on a par

associativité que G est le barycentre de (E, 5) et (C, 1).

3) Comme G est le barycentre de (E, 5) et (C, 1)

alors les points G, E, C sont alignés.

ABCDG'G

Exercice 21.

ABCD est un quadrilatère.

G est le centre de gravité du triangle ABC.

I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [BC].

L est le barycentre de (A, 1) et (D, 3).

K est le barycentre de (C, 1) et (D, 3).

les droites (IK), (JL) et (DG) sont concourantes. Pour cela, on utilise le barycentre H de (A, 1), (B, 1), (C, 1) et (D, 3).

1) Plaçons en justifiant, les points L et K.

Il suffit de voir que

AD 43AL
CD 43CK
Comme G est la centre de gravité du triangle ABC alors 1 C 1B

1Abar3G

1 C 1B

1Abar3G

3 D 1C 1B

1Abar6H

3 D

3Gbar6Hprès u

barycentre. Donc H est le milieu de [GD].

3) Démontrons que H est le barycentre de J et L

Comme 3 D

1Abar4L

1 C

1Bbar2J

3 D 1C 1B

1Abar6H

2 J

4Lbar6H

Donc H

Comme 3 D

1Cbar4K

1 B

1Abar2I

3 D 1C 1B

1Abar6H

2 I

4Kbar6H

(IK).

5) Comme H appartient aux droites (IK), (JL) et (DG) alors elles sont concourantes en H.ABCYUEG

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Comment trouver le barycentre de 3 points ?

Comment démontrer que trois points sont alignés avec le barycentre ?

Quel est la formule du barycentre ?

Introduction et barycentres de deux points.

Exercice 1.

Démontrer que

Exercice 2.

Exercice 3.

0DN3CD

5) Justifier que le quadrilatère NCMA est un parallélogramme et que O est le milieu de [MN].

Exercice 4.

B est le milieu de [AC].

Exercice 5.

1) Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochet G sur le segment [AB] pour réaliser

A B A B

2) Le point G est tel que AB32AGm pesée ? (Données : M = 2 kg)

Exercice 6.

1) Placer le point F tel que

2) P étant un point du plan, réduire (en justifiant) chacune des sommes suivantes :

21PB21

PA2PB2

M du plan vérifiant :

MB2MAMC21MB21

N du plan vérifiant :

NA2NB2NCNB

Barycentres de trois points et plus.

0GCGBGA

2) a) Prouver que

GA'2GCGB

3) a) Quelle interprétation cette propriété peut-on donner en physique ?

0GCGBGA

Exercice 8.

1) Placer I et J en justifiant.

Exercice 9.

1) Construire le barycentre I de (B, 4) et (C, 3).

2) Démontrer que 0GIGA

Exercice 10.

1)Soit I le milieu de [BC]. Démontrer que GI2GCGB

3)Conclure.

Exercice 11.

1) Placer dans un repère les points A (1, 2), B ( 3, 4) et C ( 2, 5).

2)Quelles sont les coordonnées de G ? Placer G.

3) La droite (BG) passe t- ? Justifier.

Exercice 12.

Exercice 13.

Démontrer que les droites (AABBCC

Exercice 14.

ABC est un triangle de centre de gravité G.

AB32AQAC31ARAC2ASBC31BUBC32BV

Démontrer que RPUV est un parallélogramme.

Exercice 15.

Exercice 16.

ABCD est un carré.

E des points M du plan tels queMCMBMA2 ?

2) Représenter cet ensemble E.A

Exercice 17.

Exercice 18.

Démontrer que G, C, et E sont alignés.

Exercice 19.

1) On note I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. Démontrer que G est le barycentre de I et J munis

2) Conclure et faire une figure.

3) Si ABCD est un parallélogramme, préciser la position du point G.

Exercice 20.

1) Placer, en justifiant, le barycentre U de (A, 4) et (C, 1).

Puis placer le barycentre E de (A, 4) et (B, 1).

2) Soit G le barycentre de (A, 4), (B, 1) et (C, 1). Montrer que G est le barycentre de (E, 5) et (C, 1).

3) Démontrer que les droites (EC), (AY) et (BU) sont concourantes.A

Exercice 21.

ABCD est un quadrilatère.

G est le centre de gravité du triangle ABC.

L est le barycentre de (A, 1) et (D, 3).

K est le barycentre de (C, 1) et (D, 3).

1) Placer en justifiant, les points L et K.

2) Démontrer que H est le barycentre de G et D

3) Démontrer que H est le barycentre de J et L

4) Démontrer que H est le barycentre de I et K

5) Conclure.

Exercice 22. IM P B

OCOBOAOH