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Pour montrer que les points P ,Q et R sont alignés, il suffit de montrer, par exemple, que Q est le barycentre de P et de R avec des coefficients à déterminer. Le point P est donc le barycentre de (B , 1) et (C , -2). Par ailleurs, R est le milieu du segment [AB] donc . (Q est donc le barycentre de (A , 1) et (C , 2)).Quel est la formule du barycentre ?
La position du barycentre est donnée par la relation vectorielle ?. GA + ?. GB + ?. GC = 0.- Soit G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ). Pour tout point M de l'espace : Donc, en particulier en prenant M = O : L'abscisse du barycentre est la moyenne pondérée des abscisses.
1ère S Exercices sur le barycentre de trois points ou plus
1 On considère un triangle ABC quelconque.
On note G le barycentre des points pondérés (A ; 4), (B ; 1) et (C ; -1).1°) Construire G.
Pour la figure, on prendra la droite (AB) " horizontale » ; A à gauche de B ; C au-dessus de la droite (AB) ; tous
les angles du triangle aigus. Cette disposition est souvent la plus commode pour le cerveau.2°) Démontrer que la droite (AG) est parallèle à (BC).
2 Soit ABC un triangle quelconque.
On note G le point tel que AG 3AB AC .
1°) Construire G en respectant la disposition préconisée dans l'exercice précédent.
On laissera apparentes les constructions vectorielles effectuées.2°) Exprimer G comme barycentre des points A, B, C pondérés par des coefficients de pondération que l'on
définira.3 Soit ABCD un parallélogramme.
Pour la figure, on adoptera la disposition suivante : droite (AB) " horizontale » ; A à gauche de B ; C et D au-
dessus de la droite (AB).Exprimer D comme barycentre des points A, B, C affectés de coefficients de pondération que l'on définira.
Indication : chercher une relation entre les vecteurs DA, DB et DC.4 Soit A, B, C trois points quelconques du plan.
Pour tout point M on pose 5MA 2MB 3MCu .
Démontrer que u est un vecteur constant indépendant de M que l'on exprimera en fonction de AB et AC.
5 Dans le plan P muni d'un repère O, ,i j , on considère les points A 2; 1, B(4 ; 2) et C(3 ; 1).
Pour tout réel m, on note G le barycentre des points pondérés A; 2 1m, B; 2m et C; 3 2m .Justifier que G existe.
1°) Calculer les coordonnées de G.
2°) Exprimer Gy en fonction de Gx. En déduire que G appartient à une droite fixe D dont on donnera l'équation
réduite.6 Soit ABC un triangle quelconque. On note G le barycentre des points pondérés (A ; - 2), (B ; 3), (C ; 1) et g le
barycentre des points pondérés (A ; - 2) et (B ; 3).1°) Construire g et G.
2°) Que représente le point G pour le segment [Cg] ?
7 Dans le plan P muni d'un repère O, ,i j , on considère trois points quelconques A AA ;x y, B BB ;x y et
C CC ;x y.
On note G l'isobarycentre des points des points A, B, C.Calculer les coordonnées de G.
8 Soit ABC un triangle quelconque.
On note I le barycentre des points pondérés (A ; 2), (B ; - 3) et (C ; 4). On note également J le barycentre des points pondérés (A ; 1) et (C ; 2).1°) Construire I et J.
2°) Démontrer que J est le milieu du segment [BI].
9 Soit ABCD un rectangle.
Pour la figure, on prendra la droite (AB) horizontale ; A à gauche de B ; la droite (CD) au-dessus de la droite (AB).
Déterminer l'ensemble E des points M du plan P tels que l'on ait MA MB MC MD .Représenter E sur une figure codée.
10 Soit A et B deux points quelconques du plan P tels que l'on ait AB = 8.
Déterminer l'ensemble E des points M de P tels que l'on ait MA MB 4 .11 Soit ABCD un rectangle.
Soit G le barycentre des points pondérés (A ; 1), (B ; 1), (C ; 1), (D ; 2). Construire G en utilisant un seul barycentre partiel judicieusement choisi. Faire une figure codée en respectant la disposition demandée dans l'exercice 9 .12 Soit ABC un triangle quelconque.
On note I le milieu de [BC] et J le milieu de [AI].Faire une figure codée.
Exprimer J comme barycentre des points pondérés A, B, C affectés de coefficients à déterminer.
13 Soit ABC un triangle quelconque.
Déterminer l'ensemble E des points M du plan P tels que le vecteur MB MC et AC soient colinéaires.
Représenter l'ensemble E sur une figure codée.14 Soit ABCD un carré.
On note G le barycentre des points pondérés (A ; 2), (B ; - 3) et (C ; 2).1°) Construire G.
2°) Démontrer que B et G sont symétriques par rapport à D.
15 Soit ABC un triangle quelconque.
On note I le barycentre des points pondérés (A ; 1) et (B ; 3). On note J le barycentre des points pondérés (A ; 1) et (C ; 2).1°) Construire I et J.
2°) Soit G le point d'intersection des droites (CI) et (BJ).
Démontrer que G est le barycentre des points pondérés (A ; 1), (B ; 3), (C ; 2). Indication : on notera G' le barycentre des points pondérés (A ; 1), (B ; 3), (C ; 2).16 Soit ABC un triangle quelconque.
On note I le barycentre des points pondérés (A ; - 1) et (B ; 3), J le barycentre des points pondérés (A ; - 1) et
(C ; 2) et K le barycentre des points pondérés (B ; 3) et (C ; 2). Démontrer que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes.17 Soit ABC un triangle quelconque.
On note G le barycentre des points pondérés (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 3). La droite (CG) coupe la droite (AB) en un point I.Exprimer I comme un barycentre partiel.
En déduire AI en fonction de AB.
18 Soit ABC un triangle quelconque.
Soit O un point quelconque du plan.
On note I le point tel que OABI soit un parallélogramme ; J le point tel que OBCJ soit un parallélogramme ; K le
point tel que OCAK soit un parallélogramme. Démontrer que O est le centre de gravité de IJK.19 Soit ABC un triangle quelconque. On note I le milieu du segment [IJ].
Pour tout réel k différent de 2, on note G le barycentre des points pondérés (A ; k), (B ; 1) et (C ; 1).
1°) Démontrer que G appartient à la droite (AI).
2°) Déterminer k tel que G est le milieu du segment [AI].
20 Soit ABC un triangle équilatéral de côté a (*a).
On note O le centre de son cercle circonscrit.
1°) Calculer OA en fonction de a.
2°) Déterminer l'ensemble E des points M du plan P tels que l'on ait MA MB MC 3a .
Travail personnel
Contrôle continu
p.260 Exercices 5, 6, 7, 8. p.261 Exercices 9 et 10.Séquence bac
Ancienne édition Nouvelle édition
p.273 Exercices 2 et 5. p.274 Exercice 6. p. 281 Exercices 1, 2, 3. p.275 Exercices 2 et 5. p.276 Exercice 6. p. 282 Exercices 1 et 3Interros des lycées
p.243 Exercices 1 et 2. p.244 Exercices 3 et 4. p.245 Exercices 5, 6, 7. p.247 Exercice 9.Corrigés
9 Déterminons l'ensemble E des points M du plan P tels que l'on ait MA MB MC MD .
Soit I le milieu de [AB] et J celui de [CD].
D'après la relation fondamentale, MP MA MB 2MI et MP MC MD 2MJ . Recherche de l'ensemble E (sous la forme d'une chaîne d'équivalences)M E si et seulement si MA MB MC MD
si et seulement si 2MI 2MJ si et seulement si 2 MI 2 MJ si et seulement si 2MI 2MJ si et seulement si MI MJConclusion (identification de E)
E est la médiatrice de [IJ].
Figure.
10 Déterminons l'ensemble E des points M de P tels que l'on ait MA MB 4 .
Soit I le barycentre de (A ; 1) et (B ; 1).
I est le milieu de [AB].
D'après la relation fondamentale, MP MA MB 2MI . Recherche de l'ensemble E (sous la forme d'une chaîne d'équivalences)M E si et seulement si MA MB 4
si et seulement si 2MI 4 si et seulement si 2 MI 4 si et seulement si 2MI 4 si et seulement si MI 2Conclusion (identification de E)
E est le disque fermé de centre I et de rayon 2.Figure.
12 J est le milieu de [AI] donc J est le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (I ; 2).
I est le milieu de [BC] donc I est le barycentre des points pondérés (B ; 1) et (C ; 1).D'après la règle d'associativité du barycentre, J est le barycentre des points pondérés (A ; 2), (B ; 1) et (C ; 1).
13 Déterminons l'ensemble E des points M du plan P tels que le vecteur MB MC et AC soient colinéaires.
Soit G le barycentre des points pondérés (B ; 1) et (C ; 1).G est le milieu de [BC].
D'après la relation fondamentale, MP MB MC 2MG . M E si et seulement si MB MC et AC sont colinéaires si et seulement si 2MG et AC sont colinéaires si et seulement si MG et AC sont colinéaires Conclusion : E est la droite passant par G et parallèle à (AC).14 Ecrire les hypothèse au début de l'exercice.
Hypothèses : ABCD carré
G barycentre de (A ; 2), (B ; - 3) et (C ; 2).
1°) BG 2BA 2BC
On construit aisément le point G.
2°) Démontrons que B et G sont symétriques par rapport à D.
On a BG 2BA 2BC .
Or ABCD est un carré donc BA BC BD .
Par conséquent, BG 2BD .
On en déduit que D est le milieu de [BG].
Par suite, B et G sont symétriques par rapport à D.15 Hypothèses : ABC triangle quelconque.
I est le barycentre de (A ; 1) et (B ; 3).
J est le barycentre de (A ; 1) et (C ; 2)
(BJ) (CI) = {G}1°) Construction de I et J (égalités de position) :
3AI AB4
2AJ AC3
2°) Démontrons que G est le barycentre des points pondérés (A ; 1), (B ; 3), (C ; 2).
Soit G' le barycentre des points pondérés (A ; 1), (B ; 3), (C ; 2). Par hypothèse, I est le barycentre de (A ; 1) et (B ; 3).Donc par associativité du barycentre, G' est le barycentre des points pondérés (I ; 4) et (C ; 2).
Par conséquent, G'(CI).
Par hypothèse, J est le barycentre de (A ; 1) et (C ; 2).Donc par associativité du barycentre, G' est le barycentre des points pondérés (J ; 3) et (C ; 3).
Par conséquent, G'(BJ).
G' est donc le point d'intersection de (CI) et (BJ).On en déduit que G' = G.
Donc G est le barycentre des points pondérés (A ; 1), (B ; 3), (C ; 2).16 Hypothèses : ABC un triangle quelconque.
I : barycentre de (A ; - 1) et (B ; 3)
J : barycentre de (A ; - 1) et (C ; 2)
K : barycentre de (B ; 3) et (C ; 2).
Démontrons que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes. Soit G le barycentre des points pondérés (A ; - 1), (B ; 3) et (C ; 2). Par hypothèse, I est le barycentre de (A ; - 1) et (B ; 3). Donc par associativité du barycentre, G est le barycentre de (C ; 2) et (I ; 2).Par conséquent, G (CI).
Par hypothèse, J est le barycentre de (A ; - 1) et (C ; 2). Donc par associativité du barycentre, G est le barycentre de (K ; 5) et (A ; - 1).Par conséquent, G (AK).
G est donc le point d'intersection des droites (CI), (BJ) et (AK). (CI) (BJ) (AK) = {G} Conclusion : Les droites (CI), (BJ) et (AK) sont concourantes en G.17 Soit I' le barycentre des points pondérés (A ; 1) et (B ; 2).
G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 3). Donc par associativité du barycentre, est le barycentre de (I' ; 3) et (C ; 3). G est donc l'isobarycentre de C et I' et par suite, G est le milieu de [CI'].On en déduit que C, I' et G sont alignés.
I'(CG).
De plus, I' (AB) donc I' est le point d'intersection de (CG) et (AB).On en déduit que I = I'.
Conclusion : I est le barycentre des points pondérés (A ; 1) et (B ; 2) et par suite, 2AI AB3 .
18 Hypothèses : ABC triangle.
OABI, OBCJ, OCAK sont des parallélogrammes.
Démontrons que O est le centre de gravité de IJK.OABI est un parallélogramme donc OI AB .
OBCJ soit un parallélogramme donc OJ BC .
OCAK soit un parallélogramme donc OK CA .
Donc OI OJ OK AB BC CA AA 0 .
Par suite, O est l'isobarycentre des points I, J, K et donc O est le centre de gravité de IJK.quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30[PDF] barycentre 4 points
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