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Exposé 41 : Définition et propriétés du barycentre de n points pondérés . Associativité ;

application à la détermination de barycentre attachés à des configurations usuelles du plan ,

de l'espace.Pré requis : -Points pondérés-vecteur-relation de Chasles- On notera E espace affine , Eesp. vectoriel associé1)Introduction Définition : Soient

n∈ℕ∗ et Aj,j1jn.On appelle fonction vectorielle de

Leibniz , l'application

fdéfinie EE m∑j=1 n jMAjPreuve : Soit O∈E.D 'après la relation de Chasles ∀M∈E, n jMO=mMOdonc f est constante ssi m=0.Si m≠0 , pour

u∈E, l'équation fM=fOmMO=ua une unique solution en M

donnée en M donnée par : OM=1 mfO-uet c'est donc une bijection de E sur E.

2)Définition et propriétés du barycentre de n points pondérés a)ThéorèmeThéorème : Soit

m=∑j=1 n

j( la masse du système de poids positifs.)La fonction vectorielle de Leibniz estConstante si m=0Bijective si m≠0

Théorème : Soit

n∈ℕ∗et soit Aj,j1jnun ensemble de points de pondérés tels

que m≠0. Alors il existe un unique point G tel que fG=0ie ∑j=1 n jGAj=0 Preuve : on a montré que la fonction vectorielle de Leibniz fest une bijection de E dans E. b)PropriétésOn suppose que m=∑j=1 n j≠0a) Homogénéité : Soit k∈ℝ∗, Aj,j1jna le même barycentre que

Preuve :

mMG=∑jMAjet ∑kjMAj=k∑jMAj=kmMGb)Ordre : Le barycentre de n points pondérés est inchangé si l'on permute les n points.c)Associativité : :

Preuve :G=bar

Aj,j1jn , donc ∑j=1 n n jGAj=∑j=1 p jGAj∑j=p1 n

jGAj=0Si H est le barycentre des p premiers points pondérés (quitte à modifier les indices) et μ leur

poids total , on a ( n

jGAj=0G est donc le barycentre des systèmes formé par (H, μ ) et des autres points pondérés.c)Barycentre de deux pointsPreuve : Pour

M∈AB,∃∈ℝtqAM=ABd'oùAM=1-AAABdonc M

est le barycentre de A,1-,B,InversementDéfinition : G∈Eainsi défini est appelé barycentre de n points pondérés

Aj,j1jnThéorème : Le barycentre de n points pondérés

Aj,j1jnest inchangé si on remplace

certains de ces points par leur barycentre affecté de la somme des masses de ces points (mi≠0)

Proposition : Soient A et B deux points de E. La droite (AB) est l'ensemble des barycentres de A et de B.Proposition : Soit G le barycentre de (A,a),(B,b) où A≠B et a+b≠0 , Alors

G∈AB

Preuve : Par définition : aAGbBG=0Soit a ou b ( au moins 1) est non nul donc AGet

BGson colinéaires.Remarque : Le segment [AB] est l'ensemble des barycentres des barycentres à coefficients

positifs ou nuls des points A et B3)Applications a)Théorème de CevaDémonstration :=> Si les droites sont parallèles , Thalès

nous donne le résultat.Si les droites sont concourantes , Soit G le point d'intersection des trois droites.

A,AB,ACbase du plan affine. ∃a,b,c∈ℝ3tqG={A,a,B,bC,c}On a b+c≠0 car sinon

aGA=-bCBet (BC)//(GA) : contradictionComme A,G,P aligné et

P∈BCon a

G= bar{(A,a),(P,b+c)} donc P=bar{(B,b),(C,c)}

D'où

pPBcPC=0donc PB PC=-c bEn effectuant la même chose sur les autres côtés : PB PC.QC QA.RA RB=-c b.-a c.-b c=-1<= Soit

G=AP∩BOetR'=CG∩ABThéorème :Soit ABC un triangle non plat.Soient P,Q,R des points situés respectivement sur (BC),(CA)et(AB) distincts des sommets du

triangle.(AP),(BQ),(CR) sont concourants ou parallèles <=> PB PC.QC QA.RA RB=-1 PB PC.QC

QA.R'A

R'B=-1=PB

PC.QC QA.RA

RBdonc

RA

RB=R'A

R'Bd'oùR'=R.

b)Isobarycentre d'un quadrilatère.Soit ABCD un quadrilatère quelconque.Soit I,J,K,L les milieux de respectivement [AB] ,[BC],[CD],[DA].Montrer que IJKL est un parallèlogramme.Montrer que les diagonales de IJKL et ABCD sont concourantes.Démonstration1)Soit O=m[IK] et O'=m[JL] , alors par l'associativité du barycentre on montre que

O=O'. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieux est un parallèlogramme.2)M=bar{(A,1),(C,1)} , M'=bar{(B,1),(D,1)} , O''=bar{(J,1),(L,1)} => O''=O'=Oquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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