[PDF] Compte rendu TP C1 : 1.1Détermination statique de

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Gabriel Scherer TS3LE PENDULE ÉLASTIQUE

1.Étude manuelle d'un pendule élastique vertical.Schéma :Ressort

constante de raideur k

Masselote

Masse m

Support

Table

Schéma du montage utiliséTPP6.odt 2/17

1.1Détermination statique de la raideur k du ressort élastique.On fait varier la masse m suspendue au ressort élastique, et on mesure à

chaque fois l'allongement x = l - l0, avec l = longueur du ressort, et l0 = longueur du ressort à vide.On remplit le tableau suivant :m (g). 0 20 40
60
80
100..
150.
mg (N)00,1960,3920,5880,7840,981,47x=llo (cm)0481215,819,829,3On montre que le module de la tension F du ressort est égale au module du poids P = m.g de la masse m suspendue au ressort.On trace le graphe F = f(x) :TPP6.odt 3/17

On modélise cette courbe passant par l'origine.On vérifie bien que l'on a la relation F = P = k.xOn peut déterminer à l'aide du graphe la constante de raideur k du ressort :k = 5,42 N/m1.2Détermination dynamique de la raideur k du ressort

élastique.On fait varier la masse m suspendue au ressort élastique et on fait osciller le ressort. On mesure à chaque fois 10 périodes T, et on remplit le tableau suivant .m ( g)20 .50 .100.150.200 .10 T (s)3,746,358,3910,2911,44.

.T (s)0,3740,3650,8391,0291,144On trace le graphe T = f(m) et on modélise avec le modèle " puissance » :On en déduit que T = B.mn, avec : n≈0.5TPP6.odt 4/17

On a donc :T = B.mOn remplit le tableau suivant, avec T², ce qui permet de supprimer la racine

de l'expression trouvée précédemment:On trace le graphe T² = f(m) :On modélise cette courbe passant par l'origine.On a bien la relation T² = A.m, et on a donc :B² = AOn peut donc calculer A :

A≈6.75TPP6.odt 5/17

m (*10

3kg)02050100150200

T (s)00,3740,3650,8391,0291,144T2(s2)00,1390,40,71,061,31

Sachant que T = 2πm

k, on peut trouver une relation entre A et k :A =

4²π

kOn a donc : k=4²π A=

4²π

6,75=5,85On peut comparer les valeurs de la constante de raideur k du ressort

déterminée par les deux méthodes différentes :Les deux valeurs de k trouvées sont assez proches, mais on peut supposer que

la valeur trouvée avec le ressort statique sont plus proches de la valeur réelle,

car les mesures sont beaucoup plus faciles à réaliser. 2.Étude d'un pendule élastique horizontal à l'aide d'une

table à digitaliser.2.1Rappel des formules du pendule horizontal (avec frottements négligeables).Période :T =

2πm

kÉquation horaire :x = xmax.sin(

2tπ

Tφ), avec ω=2π

TVitesse :V = Vmax.cos(

2tπ

Tφ), avec Vmax = 2π

T.xmaxEnergie cinétique :Ek = 0,5.m.V²Energie potentielle élastique (pour un pendule élastique oscillant dans un

plan horizontal) :Epp = 0,5.k.x²TPP6.odt 6/17 Energie mécanique (pour un pendule élastique oscillant dans un plan

horizontal) :Em = Ek + Epp2.2Expérience.Schéma du dispositif expérimental :Table horizontale

Ressort,

constante de raideur k

Mobile

autoporteur

Table horizontale

Ressort,

constante de raideur k

Mobile

autoporteur

Schéma du montage à l'équilibre

Schéma du montage lors de l'expérienceTPP6.odt 7/17

Photo d'une table à digitaliser.Les ressorts restent tendus au cours du mouvement oscillatoire suivant l'axe du

ressort.2.3Enregistrement du mouvement en utilisant la table à

digitaliser et le logiciel Digwin.On choisit dans le logiciel Digwin d'avoir un nombre de points par seconde

maximum, c'estàdire de 192.Pour réaliser un enregistrement, on lance le pendule élastique avant

d'accepter le déclenchement automatique sur le logiciel.Après avoir réalisé les enregistrements, on les enregistre au format Regressi

pour pouvoir les exploiter par la suite.2.4Exploitation des enregistrements.2.4.1Faible amplitude.On vérifie que l'on a pour l'enregistrement :x = xmax.sin(2tπ

Tφ)-bTPP6.odt 8/17

Courbe :On détermine xmax, T, et b par modélisation :φxmax = 43,77mmT = 0,9s = 0,37 radφb = 0,046 mmb représente la force de frottements.On créé la nouvelle variable X = xb. Cette variable représente la véritable

variation d'abscisse de la masse.La donnée xmax représente la valeur de l'amplitude maximum du mouvement.La variable représente la phase du mobile au départ de l'enregistrement.φOn peut comparer la valeur de T trouvée expérimentalement avec celle

déduite des données de m et k :T=2πm k=1,032sLes deux valeurs de T sont peu éloignées l'une de l'autre.TPP6.odt 9/17

2.4.2Grande amplitude.Courbe :On peut modéliser la courbe par :X = Xmax.eh.t.sin(2tπ

T'φ)

On peut déterminer Xmax, h, T' et par modélisation de la courbe :φXmax = 78,6 mmh = 0,72T = 0,73s = 0,46 radφLes frottements considérés sont de forme fluides, puisque le mobile est placé

sur une table à coussin d'air. Les frottements solides sont donc quasiment nuls.TPP6.odt 10/17 Portrait de phase.On crée sous Regressi les grandeurs V = dX dt, Vr = V

ω.xmax et Xr =

X xmax.

On trace la courbe Vr = f(Xr) :Les points se rapprochent petit à petit de l'origine sous l'influence des

frottements, mais ceuxci sont encore assez faibles, et le rapprochement est

lent.Étude énergétique.Pour ce même enregistrement, on créé les nouvelles variables Ek = 0,5.m.V²,

Epé = 0,5.k.X² et Em = Ek + Epp.

-En fonction du temps t.On trace les graphes Epé et Ek en fonction de t :TPP6.odt 11/17

La période T1 de Ek et de Epp est de :T1 = 0,45sOn trace Em en fonction de t :Em baisse, ce qui prouve la présence de frottements fluides.-En fonction de l'élongation X.TPP6.odt 12/17

On trace les graphes Ek, Epp et Em en fonction de X.La cuvette de potentiel a une forme parabolique, les frottements ont peu

d'influence.Les barrières de potentiel sont atteintes pour x = 0,08m et x = 0,08m3.Étude des oscillations d'un pendule élastique vertical à

l'aide d'une webcam.3.1Enregistrement, film, et numérisation du mouvement.A l'aide d'une webcam et du logiciel IPI, on filme le mouvement d'une masse

au bout d'un pendule élastique.TPP6.odt 13/17

Schéma :Plan de la caméra

Règle graduée

(pour l'échelle)

Webcam

Ecran

Mobile aux

différents instants du film (t étant égal à la durée de persistance d'une image sur la caméra, on avait t=0,04s)

Ordinateur +

logiciel d'aquisition et de traitement vidéo (IPI)

Schéma du dispositif expérimental

0t 1t

2tPhoto d'un pendule élastique à l'état d'équilibreOn fait osciller le pendule librement, et on réalise l'enregistrement.TPP6.odt 14/17

Après avoir sélectionné les images " intéressantes » du film que nous venons de réaliser, c'estàdire celle où l'on voit le pendule osciller, on pointe sur chacune des images du film la position de la masse, avec le plus grand point

possible, pour numériser le mouvement.Une fois cette opération réalisée, on exporte les données vers Regressi pour

pouvoir exploiter les résultats.3.2Exploitation des résultats.3.2.1Équation horaire.On admettra que le mouvement peutêtre considéré comme vertical, pour

plus de simplicité. (On peut le vérifier à partir des données envoyées sous Regressi).On créé une nouvelle variable Y avec Y = Y1 - Y1o avec Y1o ordonnée de O,

point d'équilibre du pendule, l'axe des ordonnées étant orienté vers le bas.On trace Y = f(t), et on modélise le mouvement par une fonction sinusoïdale :On constate que les frottements sont négligeables, puisque Ymax ne semble

pas diminuer au cours du temps.On modélise donc par :Y = Ymax.eh.t.sin(2tπ

Tφ)

TPP6.odt 15/17

On peut déterminer à partir de cette nouvelle modélisation la valeur de la période T :T = 0,702sTPP6.odt 16/17

3.2.2Portrait de phase.On crée la variable Y' = dY

dt.

On créé ensuite la variable B' =

Y'

ω, avec ω=2π

T, et avec pour T la valeur

trouvée précédemment.On trace le graphe B' = f(Y) :Les points sont presque sur un cercle de rayon constant : on peut donc

considérer les frottements comme négligeables.4.Conclusion.Ce TP a permis de mieux comprendre les mécanismes liés au pendule

lastique, on constate que le comportement général est similaire à celui du pendule simple vu précédemment, et ce par des montages simples et des tudes de courbe.TPP6.odt 17/17quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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