Chapitre 5 – Fonctions linéaires et affines
* Si une fonction est linéaire alors sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. * Réciproquement
Les fonctions
Une fonction numérique f est une relation entre deux ensembles de nombres La droite correspondant à une fonction linéaire passe forcément par l'origine.
Fonctions Fonctions linéaires affines et constantes
Le nombre s'appelle le facteur de linéarité (ou coefficient de linéarité). a. La représentation graphique d'une fonction linéaire est toujours une droite qui
LES DROITES ET LES PENTES
l'hypothèse que la quantité dépend du prix de façon linéaire. Solution : Il nous faut pour obtenir l'équation de la droite
Fiche méthode Tracer une courbe sur Excel Lexemple proposé se
L'exemple proposé se base sur un suivi de l'absorbance en fonction du temps afin d'avoir la courbe de régression sous la forme d'une droite linéaire.
Fonctions Linéaires et affines I. Fonction linéaire II. Représentation
Propriété : La représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient a est une droite passant par l'origine du repère. Le nombre a est appelé
Une fonction linéaire
Tests de positionnement. Classe de seconde. Mathématiques eduscol.education.fr. Général. Technologique. Professionnel. Lycée. Une fonction linéaire
Ch 11 Sommaire 0- Objectifs FONCTIONS LINÉAIRES et AFFINES
linéaire x ? ax. • Lire et interpréter graphiquement le coefficient d'une fonction linéaire représentée par une droite. • Déterminer par le calcul l'image
Chapitre 6 – Fonctions linéaires et affines
Démonstrations : admises. Vocabulaire : le coefficient de la fonction linéaire est appelé coefficient directeur ou pente de la droite. c) Propriétés. Soit
Chapitre 4 : Régression linéaire
fonction linéaire. Graphiquement la relation est représentée par une droite d'équation y = b0 + b1x. Ce modèle particulier comporte deux paramètres (coe
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On appelle fonction linéaire toute fonction f dont l'expression peut s'écrire sous la forme f (x) = a x où a est une constante Ce nombre a est alors appelé
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Exercice 1 Mettre une croix où la réponse est oui La fonction est une fonction linéaire affine constante f(x) = 5x + 2 g(x) = 3x² h(x) = 5x
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Une fonction linéaire (ou de proportionnalité directe) est définie de la manière suivante où m est un nombre réel quelconque Les fonctions linéaires se
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Sur le graphique on a tracé une droite quelconque à travers les données et on représente les erreurs pour quelques points 4 Page 5 Graphique 3 : b )
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La représentation graphique d'une fonction constante linéaire ou affine est une droite • Pour une fonction affine : l'équation associée à la droite est : y =
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La fonction linéaire est une fonction du type f : x ? ax Elle rend compte d'une situation de proportionnalité Elle peut notamment modéliser la variation
Comment savoir si une droite est linéaire ?
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. On dit que l'équation de la droite est : y = ax. a est aussi appelé le coefficient directeur de cette droite.Pourquoi une droite est linéaire ?
* Si une fonction est linéaire, alors sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. * Réciproquement, si la représentation graphique d'une fonction est une droite qui passe par l'origine du repère, alors cette fonction est linéaire.Comment tracer une droite linéaire ?
Méthodes. La représentation d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. Il suffit donc de déterminer un autre point pour pouvoir tracer la droite. Pour cela on calcule l'image d'un nombre non nul par la fonction.- Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 0, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 0. Pour déterminer a, il suffit de se placer sur le point correspondant à l'ordonnée à l'origine (b).
Fonctions Linéaires et affines
I. Fonction linéaire
Définition
Soit a un nombre donné.
On définit une fonction linéaire f lorsque, à tout nombre x, on associe le nombre ax. Le nombre a est le coefficient de linéarité de la fonction. Le nombre ax est l'image du nombre x par la fonction linéaire.Notations :
On note f : x → ax la fonction linéaire f de coefficient a. On note f(x) l'image du nombre x par la fonction linéaire f.On écrit f(x) = ax.
x f(x) = axExemple :
La fonction f qui, a un nombre x, fait correspondre son double est une fonction linéaire ; son coefficient est 2.
On la note f : x → 2x ou f(x) = 2x.
x - 3 f(x) = 2x - 6L'image de - 3 par f est notée f (- 3).
f (- 3) = 2 × (- 3) = - 6 Donc l'image de - 3 par la fonction linéaire f est - 6.Propriété :
Toute situation de proportionnalité peut se traduire mathématiquement par une fonction linéaire.
Exemple :
Le périmètre d'un carré est proportionnel au côté du carré. La fonction linéaire associée, notée p est définie par p : x → 4x ou p(x) = 4x. x 5 p(x) = 4x 20On calcule, par exemple, p(5) = 4 × 5 = 20.
Cela signifie que l'image du nombre 5 par la fonction p est le nombre 20, soit que le périmètre d'un carré de côté 5 est 20.
II. Représentation graphique d'une fonction linéairePropriété :
La représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient a est une droite passant par l'origine du repère.
Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite.Remarque :
La droite passe par le point A(1 ;a).
Le nombre a indique l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses.Exemple 1 :
Je représente graphiquement la fonction linéaire f définie par f : x → 2x. La représentation graphique de f est la droite (d1) qui passe par l'origine du repère et le point A1(1 ; 2).
(Elle passe aussi par le point de coordonnées (- 3 ; - 6)) On lit que l'image de 4 est 8 et que le nombre qui a pour image - 3 est - 1,5. Les coordonnées (x ; y)d'un point de la droite (d1) vérifient l'équation y = 2x.
On dit que la droite (d
1) a pour équation y = 2x.
Exemple 2 :
Je représente graphiquement la fonction linéaire g définie par g : x → - 3 4 x. La représentation graphique de g est la droite (d2) qui passe par l'origine du repère et le point A1(1 ; - 3
4 (Elle passe aussi par le point de coordonnées (4 ; - 3))× a
× 2
× 4
III. Fonction affine
1°/ Généralités
Définition :
Etant donnés deux nombres a et b, on définit une fonction affine f lorsque, à tout nombre x, on associe le nombre ax + b.
Les nombres a et b sont les coefficients de f.
Le nombre ax + b est l'image de x par f.
Notation :
La fonction affine de coefficients a et b est notée f : x ???→ ax + b ou f(x) = ax + b. f(x) est l'image de x par la fonction f.Exemple :
La fonction affine de coefficients 2 et - 3 est notée f : x ???→ 2x - 3 ou f(x) = 2x - 3. L'image de 5 est notée f(5) et f(5) = 2 × 5 - 3 = 10 - 3 = 7 L'image de - 4 est notée f(- 4) et f(- 4) = 2 × (- 4) - 3= - 8 - 3 = - 11Cas particuliers :
• Pour b = 0 : f est déterminée par f : x ???→ ax . C'est donc une fonction linéaire. Une fonction linéaire est donc une fonction affine particulière. • Pour a = 0 :f est déterminée par f : x ???→ b . Quelle que soit la valeur de x son image est égale au nombre b.
Cette fonction affine est dite fonction constante.Propriété :
Pour une fonction affine f, les accroissements de f(x) sont proportionnels aux accroissements de x.Si la fonction est définie par x ???→ ax + b, le coefficient de proportionnalité des accroissements est le nombre a.
Démonstration :
x1 et x2 sont deux nombres distincts quelconques.
f(x1) - f(x2)
x1 - x2 = ax1 + b - (ax2 + b)
x1 - x2 = a(x1 - x2)
x1 - x2 = a
Exemple :
On considère la fonction f : x
???→ 2x - 3. On sait que f(- 4) = - 11 et f(5) = 7. On calcule : f(- 4) - f(5) - 4 -5 = - 11 - 7 - 4 - 5 = - 18 - 9 = 2 on a bien trouvé 2, coefficient a pour le fonction f(x) = 2x - 32°/ Application
Déterminer une fonction affine connaissant deux nombres et leurs images.Exercice
: Trouver la fonction affine f telle que - 1 a pour image 4 et 5 a pour image 1 Traduction des données : Comme f est une fonction affine, alors f est de la forme xα ax + b où a et b sont les inconnues.
Comme f(- 1) = 4 alors a × (- 1) + b = 4 ou - a + b = 4 Comme f(5) = 1 alors a × 5 + b = 1 ou 5a + b = 1 On obtient le système de deux équations ??? - a + b = 45a + b = 1 où a et b sont les inconnues.
Je résous par la méthode d'élimination par combinaison. (- a + b) - (5a + b) = 4 - 1 - a + b - 5a - b = 3 - 6a = 3Méthode 1 :
a = - 1 2Je remplace a par - 1
2 dans la 1ère équation : 1 2 + b = 4 d'où b = 7 2Je remplace a par - 1
2 et b par 7 2 dans la 2ème équation : 5 × (())- 1 2 + 7 2 = 2 2 = 1 !Le couple (-
1 2 ; 7 2 ) est la solution du système. Conclusion : La fonction f est déterminée par xα - 1
2 x + 7
2 ou f(x) = - 1 2 x + 7 2 Traduction des données : Comme f est une fonction affine, alors f est de la forme x ???→ ax + b où a et b sont les inconnues.Les accroissements de f(x) sont proportionnels aux accroissements de x et le coefficient de proportionnalité est a.
Calcul du coefficient de proportionnalité a.On sait que a =
f(x1) - f(x2)
x1 - x2
Si x1= -1 et x2 = 5 alors f(x1) = f(-1) = 4 et f(x2) = f(5) = 1. On obtient :
a = f(-1) - f(5) - 1 - 5 = 4 - 1 - 1 - 5 = 3 - 6 = - 12 (ou - 0,5)
Calcul du coefficient b : Comme f(5) = 1 alors : 5a + b = 1 donc 5 × ( - 1 2 ) + b = 1 donc b = 1 + 5 2 = 7 2 Conclusion : On retrouve la fonction f déterminée par xα - 1
2 x + 7
2 ou f(x) = - 1 2 x + 7 2 IV. Représentation graphique d'une fonction affine1°/ Généralités
Propriété :
Dans un repère (O;I,J), la représentation graphique de la fonction affine f : x ???→ ax + b est une droite (d).
Une équation de (d) est y = ax + b.
(d) est parallèle à la représentation graphique de la fonction linéaire g : x ???→ ax.
Vocabulaire
Soit (d) la représentation graphique de la fonction affine f : x ???→ ax + b • (d) passe par le point B(0 ; b), et b est appelé ordonnée à l'origine de f.• Le coefficient de linéarité de la fonction affine f est a et s'appelle le coefficient directeur de la droite (d).
• La fonction linéaire g : x ???→ ax est la fonction linéaire associée à f.Remarque :
Lorsque a = 0, la fonction affine f est définie par f(x) = b. ; c'est une fonction constante dont la représentation graphique est une droite
parallèle à l'axe des abscisses et qui passe par le point (0 ; b).Exemple
Soit f : x
???→ 2 x + 3 La représentation graphique de f est la droite (d) d'équation : y = 2x + 3. La droite (d) passe par le point B(0 ;3) ; l'ordonnée à l'origine est 3.Le coefficient de linéarité est 2.
La fonction linéaire g associée à f est g : x ???→ 2x . La droite (d') qui représente graphiquement g est parallèle à la droite (d).Méthode 2 :
O I J
2°/ Résolution graphique d'un système de deux équations à deux inconnues.
Propriété
La solution du système : ??? y = ax + b
y = a'x + b' , lorsqu'elle existe, est le couple des coordonnées du point d'intersection des droites
d'équations : y = ax + b et y = a'x + b'.Exemple :
Soit (d) et (d') les droites d'équations respectives y = - x + 5 et y = 2x - 1.Tracer (d) et (d' ) dans le même repère.
(d) passe par (0 ; 5) et (5 ; 0) (d') passe par (0 ; -1) et (1 ; 1) Les droites (d) et (d') se coupent au point de coordonnées (2 ; 3)La solution du système
??? y = - x + 5y = 2x - 1 est le couple (2 ; 3)Remarque :
Cette méthode ne sera pas utilisée pour résoudre un système d'équations ( sauf méthode imposée) car elle a des limites : Le graphique doit être très précis et lorsque les coordonnées ne sont pas des entiers leur valeur exacte est difficilement lisible. 1 1 O (d 5 5 -1 (d') 2 3quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] application bilinéaire exercices corrigés
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