ENSEMBLES DE NOMBRES
Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ?. ?= 0;1;2;3;4.
REGLES DE CALCUL ENSEMBLES DE NOMBRE
https://math.univ-angers.fr/~labatte/institut/ENSEMBLES%20DE%20NOMBRES.pdf
Exercices sur le chapitre 1 - Les ensembles de nombres
Les ensembles de nombres. Exercice 1. (1) Faire un diagramme de Venn des ensembles
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Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ? appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ? On dit que l'ensemble ? est inclus dans l'ensemble ?
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L'ensemble ? a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666). ? est inclus dans ?.Quel est l'ensemble Q ?
?????Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs. On peut voir l'ensemble des nombres entiers comme l'ensemble regroupant les nombres entiers naturels? (N) et leurs opposés, les nombres entiers négatifs.C'est quoi l'ensemble Z ?
2 ? ?. L'ensemble des nombres réels est noté ?. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde. , 3 ou ? appartiennent à ?.
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I) Les nombres entiers
Nous avons vu dans le chapitre précédent les ensembles des entiers naturels Գ et des entiers
relatifs Ժ, petit rappel :łentiers naturels est noté Գ.
Գ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;
łentiers relatifs est noté Ժ.
Ժ = { ; -4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;Avec Գ ؿ
II) Les décimaux et les nombres rationnels
1) Définition
łdécimaux est noté ॰.
॰ fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 -à-dire fraction décimale. avec le nombre ࢇ אԺ et אłrationnels est noté Է.
࢈ avec ࢇ entier relatif et ࢈ entier relatif non nul.Remarques :
décimale, donc tout nombre décimal est aussi un nombre rationnel. Donc ॰ؿ2) Démonstration obligatoire :
Montrer que
avec אܽԺ et ݊א ଷ est un nombre décimal.Alors il existe deux nombres entiers ܽ
Par conséquent ଵ
ଷ = ܽ avec אܽ Or un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Or la somme des chiffres de tout nombre de la forme ͳͲ est égal à 1 suivit de ݊ zérosPourtant nous avons montré que si ଵ
ଷ est un nombre décimal, alors, ͳͲ est divisible par 3, donc : " ଵ ଷ est un nombre décimal » nous mène à une contradiction, on3) Exemples
Exemple 1 : La fraction ଵ
ଷ est un nombre rationnel, elle est le quotient de deux nombres. Nous avons vu dans la précédente démonstration que ଵ (On peut aussi faire la division décimale après la virgule est infinie).Donc ଵ
ଷ pas un nombre décimal mais un nombre rationnel.Exemple 2 : La fraction ଷ
ସ est un nombre rationnel, il est le quotient de deux nombres. Si on fait la division décimale de 3 par 4 on obtient 0,75 et 0,75 = ହDonc ଷ
ସ est aussi un nombre décimal.III) Les nombres réels
1) Les nombres irrationnels
a) Définition : irrationnels. Ce sont tous les nombres ayant une infinité de chiffre après la virgule et qui ne ࢈ avec ࢇ entier relatif et b entier relatif non nul. Par exemples ξ ; ξૠ ; ࣊ sont des nombres irrationnels. b) Démonstration obligatoire : Prouver que ξ est irrationnelNous allons utiliser
Pour cela supposons le contraire : ξʹ est un nombre rationnel, dans ce cas il existe deux nombres entiers et ݍ avec ݍ്Ͳ tel que ξʹ = étant une fraction irréductible.St : 2 = ;
;ǤPar conséquent, ;ൌʹݍ; dans ce cas ; est un nombre pair et dans le chapitre (nombres entiers : nombre pair est pair, q ainsi que leurs réciproques) on peut donc en déduire que est aussi un nombre pair. Dans ce cas il existe un nombre entier ݇tel que = ʹ݇, ݇אEt donc en remplaçant par ʹ݇on obtient : ሺʹ݇ሻ;ൌ;ൌʹݍ;
Ͷ݇;ൌʹݍ; et donc ݍ;ൌʹ݇; ce qui prouve que ݍ² est aussi pair et, pour les mêmes raisons
que précédemment, est donc aussi un nombre pair. On arrive donc à une absurdité, car dans ce cas on obtient que les nombres et sont simultanément pairs alors que et ݍdevrait être premiers entre eux puisque
est irréductible. Donc ξ2) Les nombres réels
Définition :
nombres réels tous les nombres rationnels et irrationnels. Cet ensemble est noté Թ.0 - 4 - 0,43
653 Գ Ժ ॰ Է Թ
-123 14,22 ߨ
On écrit : Գ ؿԺ ؿ॰ ؿ Է ؿ nombres est inclus dans le précédent ( ensemble appartiennent aussi aux ensembles situés à droite dans la relation)3) La droite numérique
Définition :
appelé abscisse du point M dans le repère (O, I). Réciproquement à tout nombre réel ࢞ lui correspond un unique point M de la droite graduée appelée droite numérique. Remarque importante s est noté Թ, il contient tous les nombres connus et étudiés en classe de seconde, cet ensemble est infini et totalementܽ et ܾ
écrire ܽ൏ܾ ou ܽൌܾ ou ܾܽ de longueur, correspondant au nombre.Exemple 1 :
Le nombre ξʹ a été placé avec précision sur la droite numérique en reportant au compas la
Son hypoténuse faisant ξʹǤ
ଷ ; ; M est ξʹ .Exemple 2 :
Les abscisses des points A, B, C, D, E et F sont respectivement :ݔ = 0 ; ݔ = 1 ; ݔ = 4 ; ݔ = -2 ; ݔா = 2,46 et ݔி = - ξ͵
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