[PDF] [PDF] Construction des ensembles de nombres N Z et Q - Mathieu Mansuy

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Chapitre III

Construction des ensembles de

nombresN,ZetQ

1 Construction deN

Dans cette section nous allons voir comment on peut ´etablir les propri´et´es essentielles deN`a partir des axiomes introduits en 1889 par le math´ematicien Italien Giuseppe Peano (1858-1932). Axiomes de Peano -Il existe un ensembleN, une applicationsdeNdansNet un

´el´ement (not´e0) deNtels que :

(i)8x2N;8y2N; s(x) =s(y) =)x=y, (ii)062s(N), (iii) (Axiome d'induction)SoitP½N. SiPv´erifie

½02P

8x2N; x2P=)s(x)2P

AlorsP=N.

D´efinitions -L"images(x) d"un entierxpar l"applicationsest appel´ee lesuccesseurde x, etsest appel´ee l"application successeur. Remarques -L"axiome (i) signifie que l"applicationsest injective et l"axiome (ii) exprime que 0 n"est le successeur d"aucun entier. Quant `a l"axiome (iii), il traduit leprincipe de r´ecurrence.

une relation de r´ecurrence. Le th´eor`eme suivant garantit la pertinence de leur d´efinition.

Th´eor`eme 1.1

SoientEun ensemble non vide,fune application deEdansEeta2E. Il existe une unique suiteu:N¡!Ev´erifiant les deux conditions u(0) =a

8n2N; u(s(n)) =f(u(n)):

47

48CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRESN,ZETQ

Remarque -Pour les besoins des r´edactions de cette section, on utilise ici la notation u(n) au lieu deunpour le terme de rangnde la suite : il est consid´er´e comme l"image de l"´el´ementndeNpar l"applicationu. Preuve -L"existence de la suiteuest admise (la d´emonstration n"est pas tr`es difficile mais fait appel `a la caract´erisation desapplicationscommegraphesde relations binaires, non rappel´ee dans ce cours).

½u(0) =a

8n2N; u(s(n)) =f(u(n))et½u0(0) =a

8n2N; u0(s(n)) =f(u0(n)):

PosonsP=fn2N= u(n) =u0(n)g. Cet ensemble v´erifieP½Net 02P(puisque u(0) =u0(0) =a).

De plus sin2P, on a

u(s(n)) =f(u(n)) =f(u0(n)) =u0(s(n)); de sorte ques(n)2P. On peut donc conclure grˆace `a l"axiome (iii) queP=N. Ainsi pour toutn2N,u(n) =u0(n), c"est-`a-direu=u0.2

1.1 Construction de l"addition

Th´eor`eme 1.2

Il existe une application¾:µN£N!N

(appel´ee addition) v´erifiant : (1)8k2N;8m2N;8n2N;(k+m) +n=k+ (m+n) (l"addition est associative) (2)8k2N;8n2N; k+n=n+k(l"addition est commutative) (3)8k2N; k+ 0 = 0 +k=k(0 est ´el´ement neutre) (4)8k2N; k+ 1 =s(k) Preuve -Pour d´efinir l"application¾, on fixe un entierket on applique le Th´eor`eme 1.1 avecE=N,f=seta=k. Il existe donc une unique applicationsk:N¡!Ntelle que (?)sk(0) =ket (??)8n2Nsk(s(n)) =s(sk(n)): Cette construction ´etant valable pour toutk2N, on peut poser pour tout (k;n)2N£N: k+n=sk(n): On d´emontre d"abord la propri´et´e (4) en ´ecrivant pourkentier quelconque, k+ 1 =sk(1) =sk(s(0)) =s(sk(0)) =s(k):

On d´emontre ensuite la propri´et´e (3).

On a d'une part pour toutk2Nla relationsk(0) =k, c"est-`a-direk+ 0 =k. s

0(0) = 0. De plus, sin2P,nv´erifie la relations0(n) =n. On en tire grˆace `a (??) :

s

0(s(n)) =s(s0(n)) =s(n);

1. CONSTRUCTION DEN49

de sorte ques(n)2P. Par application de l"axiome (iii), il vientP=N, c"est-`a-dire

8k2N;0 +k=k :

Finalement la propri´et´e (3) est valide : 0 est ´el´ement neutre pour l"addition.

P=fn2N=8k2N;8m2N;(k+m) +n=k+ (m+n)g:

L"entier 0 appartient `aP, puisque pour toutk2Net toutm2N, on a d"apr`es (3) (k+m) + 0 =k+m=k+ (m+ 0): Soitn2P. En remarquant que (k+m)+n=k+(m+n) peut s"´ecriresk+m(n) =sk(m+n), on peut ´ecrire (k+m) +s(n) =sk+m(s(n)) (par d´efinition de¾) =s(sk+m(n)) (d"apr`es (??)) =s(sk(m+n)) (par la remarque ci-dessus) =sk(s(m+n)) (d"apr`es (??)) =sk(s(sm(n))) (par d´efinition de¾) =sk(sm(s(n))) (d"apr`es (??)) =k+ (m+s(n)) (par d´efinition de¾): Cela montre qu"alorss(n)2P. L"axiome (iii) permet encore de conclure queP=N, c"est-`a-dire que (1) est satisfaite : l"addition est associative . aussi de l'axiome (iii). On applique d"abord cet axiome `a

P=fn2N=8m2N; s(m+n) =s(m) +ng

pour v´erifier que

8m2N;8n2N; s(m+n) =s(m) +n :

Puis on l"applique `a

P

0=fn2N=8k2N; k+n=n+kg

pour obtenir (2).2

1.2 Construction de la multiplication

Th´eor`eme 1.3

Il existe une application¼:µN£N!N

(appel´ee multiplica- tion) v´erifiant : (1)8k2N;8m2N;8n2N;(k:m):n=k:(m:n) (la multiplication est associative) (2)8k2N;8n2N; k:n=n:k(la multiplication est commutative) (3)8k2N; k:1 = 1:k=k(1 est ´el´ement neutre) (4)8k2N;8m2N;8n2N; k:(m+n) =k:m+k:n(la multiplication est distributive (m+n):k=m:k+n:kpar rapport `a l"addition) (5)8n2N; n:0 = 0:n= 0 (0 est ´el´ement absorbant)

50CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRESN,ZETQ

Preuve -La preuve repose sur des arguments analogues `a ceux utilis´es pour d´emontrer le th´eor`eme 1.2.

E=N,f=sketa= 0.

Il existe donc une unique applicationpk:N¡!Ntelle que Cette construction ´etant valable pour toutk2N, on pose ensuite pour tout (k;n)2N£N: k:n=pk(n): Les propri´et´es (1) `a (5) s"obtiennent ensuite en appliquant l"axiome (iii) `a des ensembles

Pconvenablement choisis.2

1.3 Construction de la relation d"ordre

Le but est de retrouver la relation d"ordre usuelle sur les entiers naturels (not´ee·), en la d´efinissant `a partir des notions introduites pr´ec´edemment. On peut le faire par exemple en disant que pournetpentiers, n·p() 9k2N; p=n+k :(1) tion (iii) (nous ne d´etaillerons pas les preuves ici).

Th´eor`eme 1.4

a) La relation·d´efinie par (1) est unerelation d"ordre: elle est r´eflexive :8n2N; n·n; anti-sym´etrique :8n2N;8p2N;(n·p)^(p·n) =)(n=p); transitive :8n2N;8p2N;8q2N;(n·p)^(p·q) =)(n·q): b) C"est une relation d"ordretotal:8n2N;8p2N;(n·p)_(p·n). c) Elle estcompatibleavec l"addition et la multiplication :

8n2N;8p2N;8q2Nn·p=)n+q·p+q ;

8n2N;8p2N;8q2Nn·p=)n:q·p:q :

d) Toute partie non vide deNadmet un plus petit ´el´ement. On montre de plus que lorsquen·p, l"entierkfigurant dans (1) estunique. On l"appelle ladiff´erencedepetnet on notek=p¡n.

1.4 Diff´erentes formulations du principe de r´ecurrence

SoitHnune propri´et´e d´ependant de l"entiern. On peut lui associer le sous-ensemble

PdeNd´efini par

P=fn2N=Hnest vraieg:

L"axiome d"induction (le troisi`eme axiome de Peano) prend alors la forme du th´eor`eme suivant.

2. RELATIONS D"´EQUIVALENCES51

Th´eor`eme 1.5

- Principe de r ecurrence (faible) -Supposons qu"une propri´et´eHn (d´ependant den2N) v´erifie : (1) - il existen02Ntel queHn0est vraie, (2) - pour toutn2Ntel quen¸n0, on aHn=) Hn+1. Preuve -SoitP=fk2N=Hn0+kest vraieg. On aP½Net 02P(d"apr`es (1)). Par ailleurs, sik2P, l"entiern=n0+kv´erifien¸n0etHnest vraie. Il r´esulte de (2) queHn+1est vraie ´egalement, c"est-`a-dire (puisque (n0+k) + 1 =n0+ (k+ 1)), k+ 12P. Finalement l'axiome d'induction permet d'a±rmer queP=N, et donc queHnest vraie pour toutn¸n0(puisquen¸n0si et seulement sin=n0+kaveck2N).2

Remarques -Dans un raisonnement par r´ecurrence, la propri´et´eHnest appel´ee l"hypoth`ese

de r´ecurrence, la preuve de (1) est appel´ee l"initialisationdu raisonnement et on traduit la propri´et´e (2) en disant queHnesth´er´editaire.

Corollaire 1.6

- Principe de r ecurrence (forte) -Supposons qu"une propri´et´eHn (d´ependant den2N) v´erifie : (1) - il existen02Ntel queHn0est vraie, (2) - pour toutn2Ntel quen¸n0, on a(Hn0^ ¢¢¢ ^ Hn) =) Hn+1.

Corollaire 1.7

- Principe de r ecurrence (a deux termes) -Supposons qu"une propri´et´eHn(d´ependant den2N) v´erifie : (1) - il existen02Ntel queHn0etHn0+1sont vraies, (2) - pour toutn2Ntel quen¸n0+ 1, on a(Hn¡1^ Hn) =) Hn+1.

Corollaire 1.8

- Principe de r ecurrence (finie) -Supposons qu"une propri´et´eHn (d´ependant den2N) v´erifie : (1) - il existen02Ntel queHn0est vraie, (2) - il existe un entierN > n0tel que :8n2 fn0;:::;N¡1g,Hn=) Hn+1.

2 Relations d"´equivalences

2.1 D´efinition

D´efinitions -a) Un ensembleE´etant donn´e, unerelation binaireRsurE£Eest appel´ee unerelation d"´equivalencesi et seulement si elle est r´eflexive :8x2E; xRx; sym´etrique :8x2E;8y2E; xRy=)yRx; transitive :8x2E;8y2E;8z2E;(xRy)^(yRz) =)(xRz): b) SoientRune relation d"´equivalence sur un ensembleEetx2E. On appelleclasse d"´equivalencedexsuivantRl"ensembleCR(x) =fy2E = xRyg.

52CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRESN,ZETQ

On appelleensemble quotientdeEpour la relationRl"ensemble de toutes les classes d"´equivalences d"´el´ements deEselonR. On le noteE=R. Ainsi

E=R=fCR(x); x2Eg:

C"est un sous-ensemble de l"ensembleP(E) des parties deE. Exemple -Dans l"ensembleN, la relation d´efinie parest une relation d"´equivalence. Il y a deux classes d"´equivalences : l"ensemble des entiers pairs (qui constitue la classe de 0) et l"ensemble des entiers impairs (qui constitue la classe de 1). AinsiE=R=fCR(0);CR(1)g.

Proposition 2.1

8x2E;8y2CR(x); CR(y) =CR(x):

Preuve -Soity2CR(x), autrement ditxRy.

Siz2CR(y), alorsyRzd"o`u par transitivit´e,xRzc"est-`a-direz2CR(x). Ainsi C R(y)½CR(x). On montre de mˆeme l"inclusion inverse.2

2.2 Lien avec les partitions d"un ensemble

D´efinition -SoitFun sous-ensemble deP(E). On dit queFest unepartitiondeEs"il v´erifie : (1)8F2 F; F6=;, (2)8F2 F;8G2 F; F6=G=)F\G=;, (3)

F2FF=E.

Th´eor`eme 2.2

SoitRune relation d"´equivalence sur un ensembleE. L"ensemble quotient

E=Rest une partition deE.

Preuve -(1) PourF2E=R, il existex2Etel queF=CR(x). OrR´etant r´eflexive, on ax2CR(x). AinsiF6=;. (2) SoientFetGdeux ´el´ements deE=R. Il existex2Eety2Etels queF=CR(x) etG=CR(y). On raisonne par contraposition. SiF\G6=;, il existez2F\G. On d´eduit de la proposition 2.1 queCR(x) =CR(z) =CR(y) soitF=G. (3) Pour toutx2E, on aCR(x)½E, de sorte que[ x2EC

R(x)½E. Par ailleurs, on a

pour toutx02E,x02CR(x0) d"o`ux02[ x2EC

R(x) et finalementE½[

x2EC

R(x).2

Th´eor`eme 2.3

SoitFune partition d"un ensembleE. Il existe une unique relation d"´equivalence surEtelle queF=E=R. Preuve -Si une telle relationRexiste, elle doit n´ecessairement v´erifier

8x2E;8y2E; xRy()(9F2 F; x2Fety2F):

Ceci d´etermineRde mani`ere unique.

a bienE=R=F.

3. CONSTRUCTION DEZ53

tel quex2Fety2F, et d"autre partG2 Ftel quey2Getz2G. Commey2F\G il vientF=G, de sorte quex2Fetz2F. Mais alorsxRz. Pour montrer queF=E=R, on remarque d"abord que pour toutF2 Fet toutx2F, on aF=CR(x). En effet d"une part la relationy2Fentraˆıne quexRy, et doncy2 CR(x). D"autre part, la relationy2 CR(x) entraˆınexRy, c"est-`a-dire qu"il existeG2 Ftel quex etysoient tous deux dansG. Mais alorsF\G6=;, d"o`uF=G. Ainsiy2F. x2F, on obtientF=CR(x) et doncF2E=R. ailleurs, il existeF2 Ftel quex2F. On en tireF=CR(x) =G, de sorte queG2 F.2

3 Construction deZ

3.1 Introduction

admettant un ´el´ement neutree: et telle que tout ´el´ement admette un sym´etrique pour cette loi : tative :

Une propri´et´e importante est que dans un groupe, tout ´el´ement estr´egulier, c"est-`a-dire

que tout ´el´ementxv´erifie : Cette propri´et´e est importante car elle permet d"effectuer des simplifications lorsqu"on

r´esout des ´equations. On la prouve en utilisant l"existence de l"´el´ement sym´etriquex0de

x: on ´ecrit par exemple Revenons `a l"ensemble des entiers naturels. L"addition dansNest associative et admet

0 pour ´el´ement neutre. Mais (N;+) n"est pas un groupe, car 0 est le seul ´el´ement admettant

un ´el´ement sym´etrique (on a vu en TD que8(n;p)2N£N; n+p= 0 =)n=p= 0).

Cependant, on a la proposition suivante.

54CHAPITRE III. CONSTRUCTION DES ENSEMBLES DE NOMBRESN,ZETQ

Proposition 3.1

Tout ´el´ement deNest r´egulier pour l"addition. Preuve -On raisonne par r´ecurrence. En effet il s"agit de montrer (compte tenu de la commutativit´e de l"addition) que pour tout entiern, la propri´et´e H n:8p2N;8q2N; p+n=q+n=)p=q est vraie.

² H

0est vraie du fait que 0 est ´el´ement neutre.

²Supposons queHnsoit vraie pour un certainn2N. Montrons queHn+1est vraie. Consid´erons deux entierspetqtels quep+(n+1) =q+(n+1). On tire de l"associativit´e de l"addition que (n+p) + 1 = (n+q) + 1 c"est-`a-dires(n+p) =s(n+q) (o`usd´esigne l"application). Comme l"applicationsest injective, on a n´ecessairement n+p=n+q. On peut alors conclure grˆace `aHnquep=q. On a ainsi ´etabli queHn+1 est vraie. n2N.2 On cherche `a construire un ensembleZ¾N, muni d"une loi interne qui en fasse un groupe, et qui co¨ıncide avec l"addition lorsqu"on l"applique `a des entiers naturels.

La construction va utiliser la remarque suivante.

Sin,psont deux entiers naturels, on a vu que la diff´erencen¡p(c"est-`a-dire l"entier ktel quen=p+k) est d´efinie seulement dans le cas o`up·n. De plus, lorsquep·netp0·n0, on a l"´equivalence suivante : n¡p=n0¡p0()n+p0=n0+p :

En effet, notonsk=n¡p.

Sin¡p=n0¡p0, alorsn0=p0+ket doncn+p0=p+k+p0=p+n0. (p0+k)+p=n0+p: par usage de la proposition 3.1 (pest r´egulier), on obtientn0=p0+k, soitn0¡p0=n¡p.. On remarque cependant que, contrairement au membre de gauche qui ne peut prendre de sens que pourp·netp0·n0, le membre de droite a un sens quelque soit l"ordre des entiersp,n(etp0,n0).

3.2 D´efinition deZ

On d´efinit surN2=N£Nla relationRpar

8(n;p)2N2;8(n0;p0)2N2;(n;p)R(n0;p0)()n+p0=n0+p :

Proposition 3.2

La relationRest une relation d"´equivalence surN2.

Preuve -Le r´eflexivit´e et la sym´etrie sont imm´ediates. V´erifions la transitivit´e.

Soient (n;p), (n0;p0) et (n00;p00) trois ´el´ements deN2tels que (n;p)R(n0;p0) et (n0;p0)R(n00;p00). On a alors n+p0=n0+petn0+p00=n00+p0;

3. CONSTRUCTION DEZ55

d'oµu en ajoutant membre µa membre,n+p00+ (n0+p0) =n00+p+ (n0+p0). Comme n

0+p0est r´egulier pour l"addition (proposition 3.1), on en tiren+p00=n00+p, c"est-`a-dire

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