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Ann´ee 2006-20071`ereSSI1

Chap 1 :Polynˆomes

I. Trinˆome du second degr´e

D´efinition 1 :Un trinˆome du second degr´e est une expression de la formeax2+bx+c, aveca?= 0.

Remarque :Un trinˆome du second degr´e est d´efini surR. Nous allons d´eterminer une technique pour r´esoudretoutesles ´equations du typeax2+bx+c= 0 appel´ees

´equation du second degr´e.

1) Forme canonique du trinˆome

On sait r´esoudre les ´equations suivantes :

•x2-3 = 0

•(x+ 2)2-5 = 0

•3?

(x+ 1)2-2 3? = 0

En fait on a 3

(x+ 1)2-2 3? = 3x2+6x+1 mais les deux formes ne sont pas toutes les deux aussi

pratiques pour r´esoudre 3x2+ 6x+ 1 = 0 qui est souvent la forme sous laquelle l"´equation apparaˆıt.

La forme 3

(x+ 1)2-2 3? s"appelle laforme canoniquedu trinˆome 3x2+ 6x+ 1. L"id´ee int´eressante c"est qu"on peut toujours r´esoudre une ´equation du second degr´e lorsque le trinˆome est sous forme canonique et on peut toujours mettre un trinˆome sous forme canonique. Proposition 1 :Pour tout trinˆome on a :ax2+bx+c=a? x+b2a? 2 -b2-4ac4a2? -→d´emonstration

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2) R´esolution de l"´equationax2+bx+c= 0,(a,b,c)?R?×R2

Pour r´esoudreax2+bx+c= 0 c"est donc le signe deb2-4acqui nous int´eresse. D´efinition 2 :SoitP(x) =ax2+bx+c, on appelle discriminant deP(x) = 0, le nombre

Δ =b2-4ac.

On a alors :

ax

2+bx+c= 0??

x+b 2a? 2 -Δ4a2= 0 cara?= 0.

•Si Δ<0,?

x+b 2a? 2 -Δ4a2>0 donc l"´equation n"a pas de solutions dansR.

•Si Δ = 0,?

x+b 2a? 2 = 0 d"o`ux=-b2aest racine double.

•Si Δ>0, alors Δ =⎷

Δ2puisP(x) = 0??

x+b2a? 2 Δ2

4a2= 0

qu"on peut factoriser en x+b

2a+⎷

2a?? x+b2a-⎷ 2a? = 0,x1=-b-⎷

2aetx2=-b+⎷

2a sont donc les solutions surRde l"´equationP(x) = 0. Th´eor`eme 1 :SoitSl"ensemble des solutions deax2+bx+c= 0.

Si Δ<0,S=∅.

Si Δ = 0,S=?

-b 2a?

Si Δ>0,S=?

-b-⎷

2a;-b+⎷

2a? -→d´emonstration Remarque :Siaetcsont de signes contraires, on a Δ>0.

3) Factorisation et racines

Proposition 1 :(HP)Si le trinˆomeax2+bx+cadmet deux racinesx1etx2(´eventuellement ´egales dans le cas d"une racine double) alors,S=x1+x2=-b aetP=x1×x2=ca. -→d´emonstration Exemple :On peut le v´erifier sur l"exemplex2-3x+ 2 = 0.

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On a ´egalement une sorte de r´eciproque :

Proposition 2 :(HP)Si deux nombres ont pour sommeSet pour produitPalors ils sont solutions de l"´equationX2-SX+P= 0. -→d´emonstration On peut toujours factoriser un trinˆome qui a des racines :

Th´eor`eme 2 :Si le trinˆomeax2+bx+cadmet deux racinesx1etx2(´eventuellement ´egales) alors,

?x?R,ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). -→d´emonstration

4) Signe du trinˆome

Dans chacun des trois cas pour Δ on peut d´eterminer le signe du trinˆome en fonction dexgrˆa¸ce `a la

forme canonique.

•Si Δ<0 :a?

x+b 2a? 2 -Δ4a2? est du signe deaet doncax2+bx+caussi.

•Si Δ = 0 :a?

x+b 2a? 2? est aussi du signe deasauf pourx=-b2a(il est alors nul). •Si Δ>0 :ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) et ainsi pour d´eterminer son signe il suffit de faire un tableau de signes : x-∞x1x2+∞ (x-x1)-0++ (x-x2)--0+ (x-x1)(x-x2)+0-0- ax2+bx+csigne dea0signe de-a0signe dea -→penser `a multiplier para

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On peut ainsi r´esumer la situation avec le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 3 :De la forme canonique du trinˆome, on d´eduit :

Si Δ<0,ax2+bx+cest toujours du signe dea.

Si Δ = 0,ax2+bx+cest toujours du signe deasauf pourx=-b

2a(il est alors

nul).

Si Δ>0,ax2+bx+cest :

•du signe dea`a l"ext´erieur des racines.

•du signe de-a`a l"int´erieur des racines.

Ce qui donne sous forme de tableau

x-∞x1x2+∞ ax2+bx+csigne dea0signe de-a0signe dea -→d´emonstration

5) Interpr´etation g´eom´etrique

On consid`ere la fonctionf:?R-→R

x?-→ax2+bx+c. On appelleCfsa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e. On peut retrouver les r´esultats des th´eor`emes pr´ec´edents surCf: Oy xx1x2C f a >0Δ>0Oy xx0C f a >0Δ = 0Oy x a >0Δ<0C f Oy x x1x2 C fa <0Δ>0 Oy x x0 C fa <0Δ = 0 Oy x a <0Δ<0 C f

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II. Polynˆomes

1) D´efinition

On commence par d´efinir lesfonctions polynˆomesqui sont des outils tr`es utiles en Analyse. D´efinition 3 :Unefonction polynˆomeest une fonctionP:R?→Rtelle que

P(x) =anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0=n?

k=0a kxk. o`ua0,a1, ...,ansont des nombres r´eels et o`unest un entier naturel. Vocabulaire :Les nombres r´eelsa0,a1, ...,ans"appellentcoefficientsdu polynˆomeP.

On lita??indice??n.

Le nombreapxps"appelle leterme de degr´epdu polynˆomeP.

Le nombrea0x0=a0s"appelle le

terme constantdu polynˆomeP. Exemple :f(x) =x2-2x+ 1,g(x) =-2 + 5x-35,h(x) = 21...

2) Degr´e

D´efinition 4 :Sian?= 0,nest ledegr´edeP. On noten= degP. Remarque :Un polynˆome constant non nul (?x?R,P(x) =a0?= 0) a pour degr´e 0.

Le polynˆome nul n"a pas de degr´e.

Proposition 2 :SiPetQsont deux polynˆomes non nuls, alors degPQ= degP+ degQ. -→d´emonstration Th´eor`eme 4 :On a l"´equivalence suivanteP=Q??degP= degQ les coefficients dePetQsont identiques. -→d´emonstration faisable avec le cours sur les limites, sinon admise.

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Corollaire 1 :Un polynˆome est nul si et seulement sitous ses coefficients sont nuls. Plus pr´ecis´ement, pour toutxr´eel on a : P(x) =anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0= 0??a0= 0,a1= 0, ...,an= 0. -→d´emonstration

3) Factorisation

D´efinition 5 :SoitPun polynˆome de degr´en?1. On appelleracine(ouz´ero) dePtout nombre atel queP(a) = 0. D´efinition 6 :On dit qu"un polynˆomePestfactorisablepar (x-a) s"il existe un polynˆomeQtel que pour toutxr´eel :P(x) = (x-a)Q(x) Avec ces d´efinitions on a le th´eor`emefondamental suivant : Th´eor`eme 5 :(HP)aest racine deP??Pest factorisable par (x-a). -→d´emonstration admise car longue et peu int´eressante en 1°S.

Remarque :?degP=n

P(x) = (x-a)Q(x)?degQ=n-1

On peut en d´eduire une technique pourcompl`etement factoriser un polynˆome : la technique par identification des coefficients. Exemple :Pour factoriser le polynˆomeP(x) =x3+x2-4x-4 il faut connaˆıtre au moins une racine. Pour cela on calcule quelques valeurs, par exempleP(0),P(1) etP(-1). Une fois qu"on a une racine on peut ´ecrireP(x) = (x+ 1)Q(x) o`uQest un polynˆome de degr´e 2. On peut ´ecrireQ(x) =ax2+bx+cet en d´eveloppant (x+1)(ax2+bx+c) ondoit retrouverPd"o`u un syst`eme `a 3 ´equations et 3 inconnues `a r´esoudre. -→P(x) = (x+ 1)(x+ 2)(x-2).

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