Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
? Comme ? {0? } l'algorithme s'arrête sur une famille libre et génératrice de . Théorème de la base incomplète. Soit un -ev de dimension finie.
Dimension finie
Pour déterminer la dimension d'un espace vectoriel il suffit de trouver une base de E (une famille à la fois libre et génératrice) : le cardinal (nombre
III. Espaces vectoriels
La description du sous-espace vectoriel F par un syst`eme d'équations paramétriques permet de trouver rapidement des vecteurs appartenant `a F.
Espaces vectoriels
Soit un espace vectoriel sur ? et 1 2
Noyau et image des applications linéaires
C'est plus facile que trouver une base : c'est la dimension de L'image de f est le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de sa matrice.
Les 3 formes dun système linéaire
est un sous espace vectoriel de Rm. Preuve. On cherche à trouver une base pour Ker(f). ... Comment trouver une base de Im(f )? On échelonne A en ?A on.
Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base
Trouver les composantes du vecteur w = (11
Valeurs propres vecteurs propres
https://www.math.univ-paris13.fr/~schwartz/L2/diag.pdf
Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications
simultanément pour conserver l'espace de solution et avoir ainsi des systèmes équivalents. Trouver une base d'un sous espace vectoriel de.
[PDF] Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
Bases et dimension d'un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d'un espace vectoriel
[PDF] BASES DUN ESPACE VECTORIEL - Toutes les Maths
Puisque xG ? G g (xG) existe et g (xG) = f (xG) = y On a bien trouvé un antécédent de y par g Posons alors n = dim E p = dim G et considérons une base (
[PDF] Bases
Définition Une base d'un sous-espace vectoriel de Rn c'est un syst`eme générateur libre de ce sous-espace vectoriel Comme sous-espace vectoriel de Rn
[PDF] Bases et coordonnées dans un espace vectoriel de dimension finie
Dans cette partie nous allons voir que les colonnes de coordonnées d'un même vecteur v ? E dans deux bases de E différentes sont liées entre elles par une
[PDF] STRUCTURE DESPACE VECTORIEL - Christophe Bertault
Pour trouver une base d'un espace vectoriel on en cherche d'abord une famille génératrice en l'écrivant comme un Vect puis on essaie de montrer que la
[PDF] Dimension finie - Exo7 - Cours de mathématiques
Pour déterminer la dimension d'un espace vectoriel il suffit de trouver une base de E (une famille à la fois libre et génératrice) : le cardinal (nombre
[PDF] Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base - Exo7
Calculer les coordonnées de v = (1+i1?ii) dans cette base Soit E est un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces vectoriels
[PDF] ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE
Le nombre de vecteurs dans une base s'appelle la dimension et nous verrons comment calculer la dimension des espaces et des sous-espaces 1 Page 2 1 Famille
[PDF] Chapitre 4 Base et génératrice
L'ensemble des solutions de l'équation x - y - 2z = 0 forme-il un sous espace vectoriel? Si oui en donner une base et determiner sa dimension
Comment déterminer la base d'un espace vectoriel ?
1. Pour montrer que la famille {v1,v2,v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice. Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est libre. (b) Montrons que la famille {v1,v2,v3} est génératrice.Comment montrer que B est une base ?
En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V.C'est quoi une base d'un espace vectoriel ?
Définition 3 Une famille F = { v1,, vn} d'un espace vectoriel V sur un corps K est dite génératrice lorsque tout vecteur v ? V est combili de ses vec- teurs. Ainsi par exemple le vecteur (0, 1, 2) est combili de (1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4) avec les coefficients ? = ?1,µ = 1,? = 0.
Noyau et image des applications lineaires
DedouNovembre 2011
Noyau d'une application lineaire : denition
Denition
Sif:E!Fest une application lineaire, son noyau, noteKerfest l'ensemble des vecteurs deEquefannule :Kerf:=fv2Ejf(v) = 0g:Exemple
Le noyau de la projectionp:= (x;y;z)7!(x;y;0) deR3sur son plan horizontal est l'axe vertical deni parx=y= 0.Nature du noyau d'une application lineaire
Proposition
Le noyau d'une application lineaire deEdansFest un sous-espace vectoriel deE.Et ca se prouve... trop facile!Noyau et systeme lineaire homogene : exemple
Exemple
Le noyau def:= (x;y;z)7!(3x+ 5y+ 7z;2x+ 4y+ 6z) est l'ensemble des solutions du systeme3x+ 5y+ 7z= 0
2x+ 4y+ 6z= 0:Le m^eme dans l'autre sens
L'ensemble des solutions du systeme
3x+ 5y+ 7z= 0
2x+ 4y+ 6z= 0
est le noyau de l'application lineaire (x;y;z)7!(3x+ 5y+ 7z;2x+ 4y+ 6z).Noyau d'une application lineaire : exercice
Exo 1 a) Exprimez le noyau def:= (x;y;z;t)7!(3x+ 7zt;2y+ 6z) comme ensemble de solutions. b) Exprimez l'ensemble des solutions du systeme 8< :3x+ 4t= 0 yzt= 02x+y+zt= 0
comme noyau.Base d'un noyau : exemple
Exo corrige
Trouver une base du noyau de
f:= (x;y;z;t)7!(x+ 5y+ 7t;2x+ 4y+ 6z+t).Base d'un noyau : exercice
Exo 2Trouver une base du noyau de
f:= (x;y;z)7!(xy+z;x+yz).Dimension d'un noyau : exemple
Exo corrige
Trouver la dimension du noyau de
f:= (x;y;z;t)7!(x+ 5y+ 7t;2x+ 4y+ 6z+t).C'est plus facile que trouver une base : c'est la dimension de
depart diminue du rang de la matrice.Base d'un noyau : exercice
Exo 3Trouver la dimension du noyau de
f:= (x;y;z;t)7!(xy+z+t;x+yz+t;t).Rappel : image d'une application
Rappel(?)
L'image d'une applicationf:R2!R3(par exemple) c'est l'ensemble des imagesImf:=ff(v)jv2R2g
ou encoreImf:=fw2R3j9v2R2;w=f(v)g:
Image d'une application lineaire
Denition
Sif:E!Fest une application lineaire, son image, noteeImf, est donc l'ensemble des vecteurs deFde la formef(v) avecv2E:Imf:=ff(v)jv2Eg:Exemple
L'image de la projectionp:= (x;y;z)7!(x;y) deR3sur son plan horizontal est justement ce plan horizontal, d'equationz= 0.Nature de l'image d'une application lineaire
Proposition
L'image d'une application lineaire deEdansFest un sous-espace vectoriel deF.Et ca se prouve... trop facile! Image d'une application lineaire et colonnes de sa matriceExemple
L'application lineairef:= (x;y;z)7!(3x+5y+7z;2x+4y+6z) s'ecrit aussi f:= (x;y;z)7!x3 2 +y5 4 +z7 6 Sous cet angle on voit (?) que les vecteurs de l'image defsont exactement les combinaisons lineaires du systeme de trois vecteurs ((3;2);(5;4);(7;6)) :Im(x;y;z)7!3x+ 5y+ 7z
2x+ 4y+ 6z
=<3 2 ;5 4 ;7 6 > :Moralite L'image defest le sous-espace vectoriel engendre par les colonnes de sa matrice.Image d'une application lineaire : exemple
Exo corrige
Donnez des generateurs de l'image de
(x;y)7!(3x+ 7y;2y;xy).Image d'une application lineaire : exo
Exo 4Donnez des generateurs de l'image de
(x;y;z)7!(3x+ 7y;2y+z;xy;x+z). Base de l'image d'une application lineaire : exempleExo corrige
Donnez une base de l'image de
(x;y;z)7!(x+y+ 2z;yz;x+ 3y).On prend les generateurs comme on sait faire, et on enleve ceux qui sont en trop.Base de l'image d'une application lineaire : exo
Exo 5Donnez une base de l'image de
(x;y;z)7!(x+y;yz;x+z;x+ 2yz). Equations de l'image d'une application lineaire : exempleExo corrige
Donnez un systeme d'equations pour l'image de
(x;y)7!(x+y;y;2xy;x+ 3y).On sait trouver des generateurs, et a partir des generateurs, on sait trouver des equations. Equations de l'image d'une application lineaire : exo Exo 6Donnez un systeme d'equations pour l'image de
(x;y;z)7!(x+y+z;xy+z;3y;2x+ 3y+ 2z). Dimension de l'image d'une application lineaire : exempleExo corrige
Calculer la dimension de l'image de
(x;y;z)7!(x+y+z;xy+z;3y;2x+ 3y+ 2z).C'est le rang du systeme des colonnes de la matrice, donc c'est le
rang de la matrice. Equations de l'image d'une application lineaire : exo Exo 6Calculer la dimension de l'image de
(x;y;z)7!(x+y+z;x2y+z;x+ 2y+ 3z;2x+ 3yz).quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] comment trouver une base
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