Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
? Comme ? {0? } l'algorithme s'arrête sur une famille libre et génératrice de . Théorème de la base incomplète. Soit un -ev de dimension finie.
Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base
Exercice 2. Dans R4 on considère l'ensemble E des vecteurs (x1x2
III. Espaces vectoriels
Les vecteurs obtenus donnent une base de l'espace vectoriel. Remarque. • Les vecteurs obtenus sont toujours linéairement indépendants il n'est pas nécessaire
Familles libres génératrices
http://math.univ-lille1.fr/~doeraene/svsem4/bases.pdf
Rappels sur les applications linéaires
Un endomorphisme d'un espace vectoriel E est une application linéaire de E dans E. définie par l'image des vecteurs d'une base (e1...
Dimension finie
Dans la suite les espaces vectoriels sont supposés non réduits à {0}. Théorème 3 (Théorème d'existence d'une base). Tout espace vectoriel admettant une famille
IV. Applications linéaires
Soit E un espace vectoriel de dimension n et B = (e1
Espaces vectoriels
L'ensemble est-il un sous espace vectoriel de ?. 4 ? Si oui en donner une base. Allez à : Correction exercice 5. Exercice 6. Dans l'espace ?.
SYSTEMES LINEAIRES
13 sept. 2004 Définition : base. Une famille (v1...
Applications linéaires matrices
http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=exomaths:exercices_corriges_application_lineaire_et_determinants.pdf
[PDF] Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
Bases et dimension d'un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d'un espace vectoriel
[PDF] Espaces vectoriels
1 déc 2014 · Dans un espace vectoriel de dimension finie tout sous-espace est lui-même de dimen- sion finie inférieure ou égale à celle de l'espace Le
[PDF] Bases
Définition Une base d'un sous-espace vectoriel de Rn c'est un syst`eme générateur libre de ce sous-espace vectoriel Comme sous-espace vectoriel de Rn
[PDF] ESPACE VECTORIEL DE DIMENSION FINIE
Le nombre de vecteurs dans une base s'appelle la dimension et nous verrons comment calculer la dimension des espaces et des sous-espaces 1 Page 2 1 Famille
[PDF] Espaces vectoriels - Exo7 - Cours de mathématiques
Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs de sorte que l'on puisse additionner (et soustraire) deux vecteurs u v pour en former un troisième u + v
[PDF] BASES DUN ESPACE VECTORIEL - Toutes les Maths
Le théorème de la base incomplète permet d'affi rmer qu'il existe au moins une base B telle que L?B?G c q f d Remarque 1 Les espaces vectoriels usuels Kn
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Un ensemble E est un K-espace vectoriel (ou un espace vectoriel sur K e v en 2 Une famille libre et génératrice de E est appelée une base de E
[PDF] STRUCTURE DESPACE VECTORIEL - Christophe Bertault
Le corps est qualifié de corps de base pour E Les règles de calcul de cette définition sont exactement celles auxquelles les vecteurs du plan et de l'espace
[PDF] Chapitre 4 Base et génératrice
Question Est-ce qu'un cercle ou une demi-droite est un sous espace vectoriel ? Théorème fondamental : Dans une droite D un plan P un
[PDF] Espaces vectoriels
Pour définir la notion de base d'un espace vectoriel on est amené `a introduire la distinction entre partie et famille d'un espace vectoriel Lorsqu'elle est
Comment déterminer la base d'un espace vectoriel ?
En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V.Qu'est-ce que la base d'un espace vectoriel ?
Pour montrer que la famille {v1,v2,v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice. Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est libre. (b) Montrons que la famille {v1,v2,v3} est génératrice.Comment montrer une base ?
Pour montrer que trois vecteurs u , v et w sont coplanaires, il suffit de déterminer les réels ? et ? tels que w =?u +?v .
1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Chapitre IV
vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteursDans ce chapitre ܧ
I Familles libres, génératrices, bases
1. Définitions
Définition de famille libre, liée, indépendance linéaire - Dans le cas contraire, on dit que la famille est libre.Définition de famille génératrice
Définition de base
Une famille ࣠ de ܧ est une base de ܧ si et seulement si ࣠ est libre et génératrice de ܧ
2. Bases et coordonnées
Démonstration :
2 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soit ݒԦܧא
3. Exemples
composantes ݔ de ݒԦ. Attention, cela ne se produit que dans cette base particulière.
Par exemple, deux vecteurs non colinéaires de Թ forment une base du plan engendré par ces
deux vecteurs.3 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
- Թ défini par une équation vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de ܲRemarque
vecteurs de manière optimale-à-dire en utilisant le minimum de paramètres. Ici, le et pas 100 ! déterminé par ݊ͳ coefficients. - Une famille de 3 vecteurs de Թ (cf. cours)4. La ndimension finie
Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie. Définition : ܧ est de dimension finie si ܧ génératrice finie.4 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
5. Propriétés clés
Les propriétés suivantes seront utilisées très souvent dans les preuves et les exercices.
Propriété 1 : Soit ࣠ une famille libre de ܧ. Alors la famille ࣠ᇱൌ࣠
et seulement si ݒԦܸב݁ܿ Propriété 2 : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ Alors ࣠ est liée si et seulement si il existe un vecteur ݒԦאgénératrice. Autrement dit, si et seulement si ݒԦא࣠ tel que ݒԦܸא݁ܿ
כSi ߣ non tous nuls. כ Si ߣ tel que ߣ5 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
ce qui est en fait un élément de ܸ݁ܿ6. Deux méthodes de construction de bases
Théorème d
espace vectoriel de dimension finie). Démonstration : Algorithme avec la propriété 2 :Théorème de la base incomplète
Soit ܧ
famille génératrice de ܧ. Il faut compléter ࣠ en une base de ܧ de la propriété 1 :՜Si oui, on garde ࣠.
כ On recommence pour tous les autres vecteurs de ܩCe qui veut dire que ࣠ est libre et génératrice de ܧ, -à-dire est une base de ܧ
Exemple : Plan vectoriel. Cf. cours.
6 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
II algèbre de cette année !1. Définitions
Théorème fondamental : dimension et cardinal des basesSoit ܧ
Alors toutes les bases de ܧ
dimension de ܧ et se note ܧ. On a de plus ܧExemples :
- Les espaces vectoriels de dimension ͳ sont les droites vectorielles. Les espaces vectoriels de dimension ʹ sont les plans vectoriels, etc.Intuitivement, on peut dire que la dimension ܧ
dont dépend un vecteur de ܧ : ԹଷǡԹସ ou Թଵ.Lemme clé
Soit ܧ un espace vectoriel engendré par ݊ vecteurs. Alors toute famille libre de ܧ cardinal inférieur ou égal à ݊.Lemme clé ֜
Démonstration du lemme : On procède par récurrence sur ݊. va montrer que ݊ implique que ࣠ est liée.՜ Si ߣ
7 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
՜ Si ߣ
On regarde le cas ܧ engendré par ݊ vecteurs : ܧൌܸ݁ܿOn a donc ܧൌܧ
(S) ൝݊െͳ vecteurs. Comme ܽܿ
(i.e. toute famille libre de E est de cardinal inférieur ou égal à ݊െͳ).՜ Sinon, il existe au moins un ߣ ߣ
ఒభ. On jecte dans les lignes suivantes du système (S). On trouve que2. Conséquences importantes
Théorème
Soit ܧ
est une base de ܧii) Toute famille génératrice de ܧ a au moins ܧ éléments. Si une famille génératrice de ܧ
a exactement ܧ ܧCorollaire utile
࣠ de ܧ8 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Problème : montrer que ࣠ est génératrice. Soit ݒԦ un vecteur quelconque de ܧ. La famille ࣠ . On a donc, par la propriété clé 1, ݒԦܸא݁ܿ࣠ est donc génératrice (de tout ݒԦܧא). ࣠ étant génératrice de ܧ ܧ
Démonstration ii) : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ avec ܧ : ࣠ génératrice avec ܧ sinon on peut extraire une sous famille qui est une base de ܧPropriété de la croissance de la dimension
Soit ܧ un ev de dim finie et ܨ un sev de ܧ i) ܨ de dimension finie et ܨܧ ii) Si de plus ܨൌܧ alors ܨൌܧ - Il y a une in : les droites vectorielles. - Il y a une in : les plans vectoriels. - on 3 : Թଷ lui-même.Démonstration i) :
- Si ܨ automatiquement ܧ݊). Montrons que ܮ est une base de ܨ
Soit ݒԦܨא quelconque. On considère ܮᇱൌܮ3. Rang des systèmes de vecteurs
9 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
dimension de ܸ݁ܿ Attention de ne pas confondre le rang et le ! Le cardinal est une notion plus abstraite basée sur la dimension.Proposition :
Démonstration i) : ܸ݁ܿ
࣠ est donc une base de ܸ݁ܿ Problème : Donner le rang de ࣠ en fonction de ܽ - Si ܽ libre et à 3 éléments. - Si ܽ10 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
III utilité des notions abstraite
vectoriel, de base et de dimension1. Le problème
cherche une fonction ݂ aussi simple et régulière que possible dont le graphe passe par ces -à-dire telle queOn cherche une fonction interpolatrice ܲ
possible. Analyse : Le problème est linéaire par rapport à ܲSi on a ൝
et ൝ et אߣAlors ൝
11 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Synthèse : On pose
On a une solution du problème général en posant interpolateur de Lagrange. On a Théorème 1 : unique polynôme de degré inférieur ou égal àSoit ܧ
Démonstration du TH1 en utilisant le TH2 :
faut montrer que ܲ ge.Démonstration du TH2 :
libre.12 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soient ߣǡߣଵǡǥǡߣିଵ tels que ߣܲߣଵܲଵڮߣିଵܲ
Alors, ݔאԹǡߣߣଵݔڮߣ Ce qui montre que ߣൌߣଵൌڮൌߣOn a donc ܧ
On pose ܧൌᇱ. ܧ
Vérifions. On a pour tout ݊א
Un exemple célèbre : ܽൌܾൌͳ֜ Problème : On veut les formules explicites ֜ Idée : On cherche des suites solution sous la forme ݑൌݎ avec ݎא caractéristique. - Si ߂ - Si ߂ en exo).13 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Théorème
tout ݊אԳ, on ait ݑൌߣଵݎଵߣ Conditions nécessaires : ൜ߣଵߣE est n espace vectoriel, il est donc stable par la loi +) avec ݓൌͲ et ݓଵൌͲ.
La preuve pour le cas ߂
On doit donc avoir ݑൌߣ
avec ൝On trouve ݑൌଵ
(est un entier !)Pour n assez grand, ݑ ଵ
On peut donner la croissance de la suite de Fibonacci. On a :՜ ». Elle représentait alors
une " proportion parfaite » (voir Wikipédia pour plus ).14 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
IV Supplémentaire, somme directe
1. Définitions
ܨܩ de deux sous espaces vectoriels de ܧ Définitions de somme directe et de supplémentaire1) On dit que deux sous espaces vectoriels ܨ et ܩ de ܧ
ݒԦൌݔԦݕԦ avec ݔԦܨאݕԦܩא2) Dans ce cas, on dit que ܩ est un supplémentaire de ܨ dans ܧ. On le note ܧൌܩْܨ
Premier exemple dans Թ:
Proposition : On a ܧൌ֞ܩْܨ൜ܧൌܨܩDémonstration :
(֜) : On suppose ܧൌܧ֜ܩْܨൌܨܩ. Soit ݒԦܩתܨא
Alors il existe forcément ݔԦܨאǡݕԦܩא décomposition ?2. Constructions et critères
Théorème
Tout sous espace vectoriel ܧ ܨ
supplémentaire dans ܧ F G15 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Démonstration :
Remarque importante sur la preuve
Cette démonstration montre comment fabriquer des supplémentaires : en complétant une base de ܧ ܨ. En particulier, tout sev ܨ de Թ possède un supplémentaire ܩparticulièrement simple : engendrés par certains vecteurs de la base canonique de Թ, i.e. du
type ܩൌܸ݁ܿPar exemple, tout plan ܲ
à la fois !
Théorème : critère de somme directe
Soit ܧ un espace vectoriel de dimension finie, ܨ et ܩ deux sous espaces vectoriels de ܧLemme : Soient ܨ et ܧ ܩ
F G16 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Démonstration du : Caractérisation de ܧൌܩْܨOn a ܧൌܩْܨ
Démonstration du lemme :
- 1er point à faire en exercice.Exemples :
- Dans Թଷ : une droite ܦ et un plan ܲ sont en somme directe ssi ܦתܲ sont supplémentaires dans Թସ.3. La formule de Grassmann
Pour conclure, on
17 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Théorème de Grassmann :
Soient ܨ et ܩ deux sous espaces vectoriels de ܧ Illustration : Si ܨܩܧ alors ܩתܨExemples :
- Deux plans vectoriels de Թଷ se coupent toujours au moins suivant une droite : facile - Deux sous-espaces de dimension 3 dans Թସ contiennent au moins un plan : moins facile à voir !Démonstration géométrique :
Soit ܸ un supplémentaire de ܩתܨ dans ܩOn montre que ܨܩൌْܸܨ
- Soit ݒԦܸתܨא. Alors ݒԦܩתܨא car ܩؿܸOn a donc ܨܩൌْܸܨ
F G O Vquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] forme quadratique exo7
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