[PDF] Algèbre Linéaire 4 nov. 2013 Une telle

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AlgèbreLinéaire

S2 Mathématiques-Informatique

R. Taillefer

4 novembre 2013

Table des matières

Corps1

I Matrices2

A Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 A.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

B Opérations élémentaires sur les lignes d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 C Matrices échelonnées, méthode de Gauss et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 C.1 Application : systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 C.2 Application : calcul de l"inverse d"une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . 14

II Espaces vectoriels16

A Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 B Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

C Indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22
D Bases et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
D.1 Rang d"une matrice; calcul du rang d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . . 26
D.2 Sous-espaces vectoriels d"un espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . 27

III Applications linéaires 29

A Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
B Applications linéaires et sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

C Matrice d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33
C.1 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
C.2 Rang d"une application linéaire et rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . 36

IV Déterminant d"une matrice 38

V Application : équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants 41

Corps Dans ce cours,Kest uncorps; en général il s"agira deR,CouQ, mais nous allons en redonner la définition générale pour que vous ayiez précisément les axiomes. Définition.Uncorpsest un ensemble non videK, muni de deux applications, diteslois: lasommeou addition+:KK!Ket lamultiplication:KK!K, qui vérifient : (1)pour tous a,b,c dansK, on a(a+b) +c=a+ (b+c)(associativité),

(2)il existe un élément02Ktel que pour tout a2Kon ait0+a=a=a+0; cet élément0est unique et

il est appeléélément neutreounul(pour l"addition) deK,

(3)pour tout a2K, il existe un élément a02Ktel que a+a0=0=a0+a;pour chaque a,l"élément a0est

unique, il est appeléopposéde a et il est notéa. (4)pour tous a,b dansK,on a a+b=b+a. On dit que l"addition est commutative. (5)pour tous a,b,c dansKon a a(bc) = (ab)ac (associativité),

(6)il existe un élément12Ktel que pour tout a2Kon ait1a=a=a1;cet élément1est unique et il

est appeléélément unitédeK, (7)pour tous a,b,c dansKon a(a+b)c=ac+bc et a(b+c) =ab+ac (distributivité), (8)pour tous a,b dansK, on a ab=ba. (9)pour tout a2Kavec a6=0, il existe a002Ktel que aa00=1=a00a;pour chaque a,l"élément a00est unique, il est appeléinversede a et il est noté a1ou1a Exemple.Les exemples avec lesquels nous travaillerons sontR,CetQ. Mais nous pouvons citer d"autres exemples de corps : sipest un nombre premier, alorsZ/pZest un corps; l"ensemble de

toutes les fractions rationnelles (quotients de fonctions polynômes) à coefficients réelsR(X)est un

corps. 1

I Matrices

A Définitions et règles de calcul

Définition A.1.Soient n,p dansN. Unematricenpà coefficients dansKest un tableau à n lignes et

p colonnes d"éléments deK, que l"on note 0 B @a

11a12a1p............

a n1an2anp1 C A

ou(aij)en abrégé (ou encore(aij)16i6n,16j6p). Les aij2Ksontles coefficientsde la matrice : le premier

indice est celui de la ligne et le deuxième est celui de la colonne. On dit que a ijest le coefficient(i,j)de la matrice. Dans le cas où n=p, on dit que la matrice estcarrée. Si A= (aij)16i6n,16j6pest une matrice np et si B= (bij)16i6r,16j6sest une matrice rs, alors A=B si et seulement si n=r,p=s et aij=bijpour tous i et j.

Exemple.A=1 02

2 1 1 . Dans les notations ci-dessus,a11=1=a22=a23,a12=0,a13=2 et a 21=2.
La matrice 22B= (bij)définie parbij=i+2jpour tousietjest la matrice3 5 4 6 Notation A.2.L"ensemble des matricesnpà coefficients dansKest notéMn,p(K)ou plus simple- mentMn(K)sin=p.

Définition A.3.Soit A2 Mn(K)une matrice carrée. Les coefficientsdiagonauxde A sont les coefficients

a iipour16i6n.

Une matrice carrée A2 Mn(K)est dite

âdiagonalesi seuls les coefficients diagonaux de A sont éventuellement non nuls, c"est-à-dire aij=0

dès que i6=j. La matrice A est de la forme0 B @a 110 0
0 ...0

0 0ann1

C A.

âtriangulaire supérieuresi les coefficients en-dessous de la diagonale sont nuls, c"est-à-dire aij=0

dès que i>j. La matrice A est de la forme0 B @a 11a1n

0......

0 0ann1

C A.

âtriangulaire inférieuresi les coefficients au-dessus de la diagonale sont nuls, c"est-à-dire aij=0dès

que i ......0 a n1ann1 C A.

Exemple.Les matrices deM2(R)qui sont

âdiagonales sont lesa0

0b

âtriangulaires supérieures sont lesa b

0c 2

âtriangulaires inférieures sont lesa0

b c aveca,b,cdansR. Définition A.4.Les matrices deM1,n(K)sont appeléesmatrices ligne. Elles ont une seule ligne. Les matrices deMn,1(K)sont appeléesmatrices colonne. Elles ont une seule colonne.

Notation A.5.Lamatrice identitédeMn(K), notéeIn, est la matrice dont tous les coefficients sont

nuls à l"exception de ceux placés sur la diagonale, qui valent 1.

Par exempleI2=1 0

0 1 ,I3=0 @1 0 0 0 1 0

0 0 11

A , etc. Lamatrice nulledeMn,p(K), notée 0, est la matrice dont tous les coefficients sont nuls.

A.1 Opérations sur les matrices

Définition A.6.

âAdditionousommede matrices.

Soient A= (aij)et B= (bij)dansMn,p(K). Lasomme des matricesAetB, notée A+B2 M

n,p(K), est la matrice dont le coefficient(i,j)est aij+bij. [Attention :pour pouvoir additionner deux

matrices il faut qu"elles aient même taille!] âMultiplication d"une matrice par un élément deK. Soientl2Ket A= (aij)2 Mn,p(K). La matricelA est la matrice dont le coefficient(i,j)estlaij.

Exemple.SoientA=1 02

2 1 1 etB=1 3 5 2 74 . AlorsA+B=0 3 3 4 83 , 2A= 2 04 4 2 2 etB=135 27 4
Propriétés A.7.SoientA,B,Ctrois matrices dansMn,p(K)et soientletmdeux éléments deK.

Alors :

(i)(A+B) +C=A+ (B+C)et on note cette matriceA+B+C. On dit que la somme est associative. (ii)A+B=B+A. On dit que la somme estcommutative. (iii)l(A+B) =lA+lB. On dit que la multiplication par les éléments deKestdistributivepar rapport à la somme de matrices. (iv)(l+m)A=lA+mA. (v)(lm)A=l(mA)et on note cette matricelmA.

Démonstration.Nous allons démontrer(i), les autres sont similaires et sont laissées en exercice.

Posons doncA= (aij),B= (bij)etC= (cij)avec 16i6net 16j6p. Alors le coefficient (i,j)deA+Bestaij+bijdonc le coefficient(i,j)de(A+B) +Cest(aij+bij) +cij. Le coefficient (i,j)deB+Cestbij+cijdonc le coefficient(i,j)deA+ (B+C)estaij+ (bij+cij). Mais l"addition dansKest associative, donc(aij+bij) +cij=aij+ (bij+cij). C"est vrai pour tous les(i,j), donc

(A+B) +C=A+ (B+C).Nous allons maintenant définir le produit de deux matrices. Nous commencerons par le produit

d"une matrice ligne par une matrice colonne (dans cet ordre!). 3 Définition A.8.Soit A= (a1ap)2 M1,p(K)une matrice ligne et soit B=0 B @b 1... b p1 C

A2 Mp,1(K)une

matrice colonne. Le produit de A par B, noté AB, est la matrice11dont le coefficient est a1b1++apbp=

p j=1ajbj.[Attention.C"est le même p dans les deux matrices.]

Exemple.

21 00
@1 3 71
A = (21+ (1)(3) +07) = (5). On fait une première généralisation, qui interviendra aussi dans la suite. Définition A.9.Soit A= (aij)2 Mn,p(K)et soit B=0 B @b 1... b p1 C

A2 Mp,1(K)une matrice colonne. Le produit

de A par B, noté AB, est la matrice colonne n1dont la ièmeligne est le produit de la ièmeligne de A par B,

comme défini précédemment. [

Attention.

Ici aussi, c"est le même p dans les deux matri ces.] Remarque.Le coefficient de laièmeligne deABest doncai1b1+ai2b2++aipbp=åp j=1aijbj.

Exemple.âSoitA=2 31

14 5 et soitB=0 @6 9 71
A Alors

2 31B= (32)et14 5B= (5)doncAB=32

5 0 @a b c d e f1 Ax y =0 @ax+by cx+dy ex+fy1 A Venons-en à la définition générale du produit de matrices. Définition A.10.Soient A2 Mn,p(K)et B2 Mp,q(K).Le produit des matricesAetB, noté AB2 M n,q(K), est la matrice nq dont la jèmecolonne est le produit de A par la jèmecolonne de B.

Attention.

Ce pr oduitn"est défini que si le nombr e

p de colonnes de A est égal au nombr e p de lignes de B . Remarque A.11.Si on noteA= (aij)16i6n,16j6petB= (bjk)16j6p,16k6q, alors le coefficient(i,k),

16i6n, 16k6q, eståp

l=1ailblk.

Exemple.SoitA=2 31

14 5 et soitB=0 @65 9 8 731
A . On a déjàA0 @6 9 71
A =32 5 . On calcule A 0 @5 8 31
A =17 52
. On a doncAB=32 17 552
Remarque.SiA,B2 Mn(K)sont des matrices diagonales, alors le calcul du produit est facile : 0 B @a 10 0 0 ...0

0 0an1

C A0 B @b 10 0 0 ...0

0 0bn1

C A=0 B @a

1b10 0

0 ...0

0 0anbn1

C A 4 Lemme A.12.SoitA2 Mn,p(K). Pour 16k6p, on noteEk2 Mp,1(K)la matrice colonne dont lekèmecoefficient est 1 et les autres sont nuls. Pour 16`6n, on noteF`2 M1,n(K)la matrice ligne dont le`èmecoefficient est 1 et les autres sont nuls.

AlorsAEkest lakèmecolonne deAetF`Aest la`èmeligne deA.Démonstration.PosonsA= (aij)etF`=f1fn. On a doncf`=1 etfr=0 pourr6=`.

Par définition du produit de matrices,F`A2 M1,p(K)est une matrice ligne àpcolonnes, dont le

coefficient de lajèmecolonne eståni=1fiaij=f`a`j=a`j. C"est bien lejèmecoefficient de la`èmeligne

deA.

PosonsEk=0

B @e 1... e p1 C A. On a doncek=1 eter=0 pourr6=k. Par définition du produit de matrices, AE kest une matrice colonne ànlignes, dont le coefficient de laièmeligne eståp j=1aijej=aikek=aik.

C"est bien leièmecoefficient de lakèmecolonne deA.Propriétés A.13.SoientA,A02 Mn,p(K),B,B02 Mp,q(K),C2 Mq,r(K)et soitl2K. Alors

(i)(A+A0)B=AB+A0BetA(B+B0) =AB+AB0. On dit que le produit de matrices estdistri- butifpar rapport à la somme de matrices. (ii)l(AB) = (lA)B=A(lB)et on note cette matricelAB. (iii)InA=AetAIp=A. (iv)(AB)C=A(BC)et on note cette matriceABC. On dit que le produit de matrices estassociatif.

Démonstration.Les premières propriétés résultent des propriétés correspondantes pour les éléments

deK. Démontrons(ii)et(iv). (iii)Avec les notations du lemmeA.12), on peut écrireIn=0 B @F 1... F n1 C

A(ligne par ligne). Laièmeligne

deInAest alors le produit de laièmeligne deInparA, c"est-à-direFiA. Mais d"après le lemme A.12), c"est laièmeligne deA. On en déduit queInA=A. Pour l"autre égalité, on procède de manière similaire, en notantIp=E1Ep(colonne par colonne). (iv)NotonsCjlajèmecolonne de la matriceC, avec 16j6r. Par définition du produit de matrices, lajèmecolonne de(AB)Cest(AB)Cj. Toujours par dé- finition du produit de matrices, lajèmecolonne deA(BC)estADjoùDjest lajèmecolonne de BC. Or celle-ci estDj=BCj. Donc lajèmecolonne deA(BC)estA(BCj). Pour démontrer que (AB)C=A(BC), il suffit donc de démontrer que(AB)Cj=A(BCj)pour toutj. Il suffit donc de démontrer la propriété lorsqueCest une matrice colonneq1. On suppose donc dans la suite queCest une matrice colonne (ie. r=1).

NotonsC=0

B @cquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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