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Objectifs : présenter les concepts algébriques fondamentaux ( polynômes, anneaux factoriels, extensions de corps).
13579111318 C (1h20)1 DSX
XXX XXX XXX XX DSX XXX XX36 TD (1h20)X
X X XX XX X X XX XX X X XX XX X X XX XX X X XX XX X X XX X3 DMDM1DM2DM3
Programme 1. Rappel sur les anneaux, idéaux, théorème de factorisation. Localisation dans un anneau intègre (2 cours)2. Anneaux noethériens (2 cours)-Suites croissantes d'idéaux, existence de maximaux.-Énoncé de l'axiome du choix et du lemme de Zorn, application à l'existence d'idéaux maximaux dans un anneau nonnoethérien.-Théorème de transfert de Hilbert.-Théorème de Krull (dans le cas noethérien).3. Anneaux de polynômes à plusieurs variables (4 cours)-Définition et propriétés générales.-Division euclidienne. Développement de Taylor. -Polynômes symétriques, résultant, discriminant.4. Anneaux factoriels (5 cours) -Divisibilité, éléments irréductibles. -Anneaux principaux (dont anneaux euclidiens), anneaux factoriels.-Décomposition de fractions rationnelles en éléments simples. -Transfert de factorialité. - Critère d'Eisenstein d'irréductibilité. - Applications : polynômes cyclotomiques sur Q ; résolution d'équations diophantiennes; idéaux premiers de C[X, Y]. Corps finis5. Extensions de corps (5 cours) -Rappel sur les espaces vectoriels. -Nombres algébriques, extensions algébriques. -Corps de rupture, corps de décomposition.-Définition d'une clôture algébrique (existence admise). - Corps finis (classification, Frobenius). Polynômes irréductibles, polynômes cyclotomiques. Modalités de contrôle des connaissancesEpreuves de la session 1DuréesCoefficientsExamen3h0.7
Contrôle continu, note du DS3h0.3
Epreuves de la session 2DuréesCoefficientsExamen3h1quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] algebre exercices corrigés
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