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forme bilinéaire symétrique. On peut alors conclure que ? est bien une forme quadratique. Soit v l'endomorphisme associé `a ?. On sait que : ?(
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L2 MASS41 Algèbre
8P;Q2R2[X]; '(P;Q) =P(1)Q(¡1) +P(¡1)Q(1)
??????P;Q??R????R2[X]? ????¸2R?On a clairement :
'(Q;P) =Q(1)P(¡1) +Q(¡1)P(1) ='(P;Q) '(¸P+Q;R) = (¸P+Q)(1)R(¡1) + (¸P+Q)(¡1)R(1) =¸'(P;R) +'(Q;R) '(1;1) = 1:1 + 1:1 = 2'(1;X) ='(X;1) = 1:1 + (¡1):1 = 0 '(X;X) = 1:(¡1) + (¡1):1 =¡2'(1;X2) ='(X2;1) = 1:(¡1)2+ 1:(1)2= 2 '(X2;X2) = 12:(¡1)2+ (¡1)2:1 = 2'(X;X2) ='(X2;X) = 1:(¡1)2+ (¡1):12= 0 A=0 @2 0 20¡2 0
2 0 21
A P=0 @1 0 0 0 1 0¡1 0 11
A A0=tPAP=0
@1 0¡1 0 1 00 0 11
A0 @2 0 20¡2 0
2 0 21
A0 @1 0 0 0 1 0¡1 0 11
A 0 @1 0¡1 0 1 00 0 11
A0 @0 0 20¡2 0
0 0 21
A 0 @0 0 00¡2 0
0 0 21
AP(X) =a0(1¡X2) +a1X+a2X2
Q(X) =b0(1¡X2) +b1X+b2X2
'(P;Q) =¡2a1b1+ 2a2b2 q(P) =¡2a21+ 2a22SoitP2R2[X]?P=a0(1¡X2) +a1X+a2X2
P2Jp() ¡2a21+ 2a22= 0()a21=a22()a1=§a2
??a1=a2? ?? ? ?????P(X) =a0(1¡X2) +a1(X+X2)? ????P2V ect(1¡X2;X+X2) ??a1=¡a2? ?? ? ?????P(X) =a0(1¡X2) +a1(X¡X2)? ????P2V ect(1¡X2;X¡X2) J q=V ect(1¡X2;X+X2)[V ect(1¡X2;X¡X2) ????F=fP2R2[X]= P(0) = 0g? ?? ???? ???(1;X;X2)??? ??? ???? ??R2[X]?SoitP2R2[X]?P=a0+a1X+a2X2? ????(a0;a1;a2)2R3
P2F()P(0) = 0
()a0+a1:0 +a2:0 = 0 ()a0= 0 ()P=a1X+a2X22V ect(X;X2)F=V ect(X;X2)
????? ???? ??? ???? ??F? ?? ??????? ????F?=fP2R2[X]=8Q2F;'(P;Q) = 0g?SoitP2F?? ?? ???? ???? ?????'(P;X) ='(P;X2) = 0?
½P(1):(¡1) +P(¡1):1 = 0
P(1):(¡1)2+P(¡1):12= 0
½P(¡1)¡P(1) = 0
P(¡1) +P(1) = 0
????P(¡1) =P(1) = 0? Le polynômeP????? ???? ?? ????? ???? ??????? ?¡1??1? OrP2R2[X]?P??????? ?????P(X) =a(X¡1)(X+ 1) =a(X2¡1)?On a donc :
F ?=V ect(X2¡1) q(x) =x21+ 2x22+x23+ax24+ 2x1x2+ 4bx1x3+ 4bx2x3+ 2cx2x4 q(x) ='(x;x) '(x;y) =q(x+y)¡q(x)¡q(y) 2 '(x;y) =x1y1+2x2y2+x3y3+ax4y4+x1y2+y1x2+2bx1y3+2by1x3+2bx2y3+2by2x3+cx2y4+cy2x4 ?? ??????? ??q??? ??'? ??? ???? ? A=0 BB@1 1 2b0
1 2 2b c
2b2b1 0
0c0a1 C CA q(x) =x21+ 2x22+x23+ax24+ 2x1x2+ 4bx1x3+ 4bx2x3+ 2cx2x4 = (x1+x2+ 2bx3)2+x22¡4b2x23+x23+ax24+ 2cx2x4 (x1+x2+ 2bx3)2+ (x2+cx4)2+ (1¡4b2)x23+ (a¡c2)x24Sia¡c2>0;
??1¡4b2>0;?????rg(q) = 4??sgn(q) = (4;0) ??1¡4b2= 0;?????rg(q) = 3??sgn(q) = (3;0) ??1¡4b2<0;?????rg(q) = 4??sgn(q) = (3;1) ??a¡c2= 0; ??1¡4b2>0;?????rg(q) = 3??sgn(q) = (3;0) ??1¡4b2= 0;?????rg(q) = 2??sgn(q) = (2;0) ??1¡4b2<0;?????rg(q) = 3??sgn(q) = (2;1) ??a¡c2<0; ??1¡4b2>0;?????rg(q) = 4??sgn(q) = (3;1) ??1¡4b2= 0;?????rg(q) = 3??sgn(q) = (2;1) ??1¡4b2<0;?????rg(q) = 4??sgn(q) = (2;2) On est dans le cas oùrg(q) = 1??sgn(q) = (4;0)?On pose
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯X=x1+x2+ 2bx3=x1+x2Y=x2+cx4=x2+x4
Z=p1¡4b2x3=x3
T=p a¡c2x4=x41=X¡Y+T
x2=Y¡T
x 3=Z x 4=T ?? ???? ????? ?? ??????? ?? ???????P????? ???0 B B@x 1 x 2 x 3 x 41C CA=P0 B B@X Y Z T1 C CA? P=0 B
B@1¡1 0 1
0 1 0¡1
0 0 1 0
0 0 0 11
C CA v 1=0 B B@1 0 0 01 CCA; v2=0
BB@¡1
1 0 01 CCA; v3=0
B B@0 0 1 01 CCA; v4=0
B B@1 ¡1 0 11 C CAquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] forme bilinéaire symétrique définie positive produit scalaire
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