Alg`ebre linéaire 3 : normes produits scalaires
https://www.ceremade.dauphine.fr/~mischler/Enseignements/L2AL3/poly1617.pdf
V-formes-quadratiques.pdf
Définition 32 – On appelle produit scalaire sur E une forme bilinéaire symétrique telle que la forme quadratique associée soit définie positive.
Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
Définition 2.7 Le noyau de la forme bilinéaire symétrique b noté ker(b) Par exemple
Produit scalaire espaces euclidiens
Relations entre le produit scalaire et la norme associée . Un produit scalaire sur E est donc une forme bilinéaire symétrique définie positive.
1. Formes bilinéaires. Formes quadratiques. . 1.1. Définitions. Soit E
Produit scalaire. Espaces Euclidiens. 2.1. Soit E un R-espace vectoriel. Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique définie positive
Chapitre 3 Produit scalaire espaces vectoriels euclidiens
Un produit scalaire sur. E est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur E × E. Un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit
Sommaire 1. Produit Scalaire sur E
On dit aussi que q est positive non-dégénérée. Le même vocabulaire s'applique à la forme bilinéaire symétrique. 1.4. Produit Scalaire sur E. Définition :
Notes de cours Alg`ebre 2 Table des mati`eres
21 déc. 2010 Définition Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique b dont la forme quadratique associée est définie positive.
Chapitre14 : Produit scalaire sur un R-ev
Ici E désigne un R-ev. I Définition. Définition : Un produit scalaire sur E
ALGÈBRE BILINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE Semestre 4 2016-2017
21 avr. 2017 Définition 1.1. Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique définie positive. La norme euclidienne associée à un produit ...
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Définition 2 7 Le noyau de la forme bilinéaire symétrique b noté ker(b) Par exemple pour le produit scalaire dans R3 l'orthogonal d'une droite
[PDF] Formes quadratiques - Université de Rennes
Définition 32 – On appelle produit scalaire sur E une forme bilinéaire symétrique telle que la forme quadratique associée soit définie positive
[PDF] 1 Formes bilinéaires Formes quadratiques 11 Définitions Soit E
Produit scalaire Espaces Euclidiens 2 1 Soit E un R-espace vectoriel Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique définie positive
[PDF] CHAPITRE 2 FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES ET FORMES
Savoir vérifier qu'une application est une forme bilinéaire (positive définie positive) 4 Formes bilinéaires symétriques en dimension finie : matrice
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18 sept 2008 · Définition 2 3 1 On appelle produit scalaire sur un espace vectoriel réel E une forme bilinéaire symétrique définie positive
[PDF] Sommaire 1 Produit Scalaire sur E - Christophe Caignaert
Définition : Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur E W (uv) se note le plus souvent ?uv?
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On appelle noyau de la forme bilinéaire symétrique b (resp de la forme quadratique associée) le noyau de l'ap- plication ?b C'est le sous-espace vectoriel
[PDF] Comment définir la notion de produit scalaire
Un produit scalaire sur V est une forme bilinéaire symétrique et définie positive Le cas complexe Nous introduisons d'abord une variation sur la notion de
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Comme s est une forme qua- dratique par définition elle est associée `a une certaine forme bilinéaire g (non nécessairement symétrique) Le même calcul que
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21 avr 2017 · Définition 1 1 Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique définie positive La norme euclidienne associée à un produit
Comment montrer qu'une forme bilinéaire est définie positive ?
La forme quadratique q est dite positive si q(x) ? 0 pour tout x ? E (donc, si s = 0). La forme quadratique q est dite définie positive si q(x) > 0 pour tout x non-nul (donc, si r = dim(E)). (0). de f en 0.Comment montrer qu'une forme bilinéaire est symétrique ?
Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique, il suffit de montrer qu'elle est linéaire par rapport à une variable, au choix, et qu'elle est symétrique. en faisant jouer la symétrie et la linéarité par rapport à chaque variable. On obtient bien la deuxième linéarité.Est-ce que le produit scalaire est positif ?
D'après ton cours, un produit scalaire est une forme, bilinéaire, symétrique, définie, positive.- Il s'agit de déterminer la matrice associée à dans la base canonique, soit. L'élément de la première ligne première colonne de est le coefficient de x 1 y 1 dans l'expression explicite de f ( x , y ) ; il est donc égal à 1.
Chapitre 3
Produit scalaire, espaces
vectoriels euclidiens3.1 Produit scalaire, norme euclidienne
D´efinition 3.1
SoitEun espace vectoriel r´eel. Unproduit scalairesur Eest une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive surE×E. Un espace vectoriel r´eel de dimension finie muni d"un produit scalaire est appel´eespace euclidien. Si(x,y)?→(x|y)est un produit scalaire surE, lanorme euclidienne d"un ´el´ementx?Eest?x?=p (x|x). Un espace vectoriel r´eel de dimension infinie muni d"un produit scalaire est couramment appel´e espace pr´ehilbertien r´eel. On notera en g´en´eral (x|y) le produit scalaire. E§??⎷??∫ ?? ⎷?????? ∫??????? ¬ L? ⎷?????? ∫??????? ?∫??? ∫??Rn; six= (x1,...,xn) ety= (y1,...,yn) sont deux vecteurs deRn, on pose (x|y) =Pn i=1xiyiOn a bien ?x?2=Pn i=1x2i>0 quandx?= 0. 2. scalaire surMn(R). En effet, siA= (ai,j) n"est pas la matrice nulle, on a trace(AtA) =P i,ja2i,j>0. 3. S???El"espace vectoriel r´eel (de dimension infinie) des fonctions conti- nues sur [0,1] `a valeurs dansR. On pose, pourfetg´el´ements de E, (f|g) =Z 1 0 f(t)g(t)dt . 1516CHAPITRE 3. ESPACES EUCLIDIENS
Ceci d´efinit bien un produit scalaire car sifn"est pas identiquement nulle, on aR10f(t)2dt >0.
?x?= 0?x= 0 et?λx?=|λ|?x?pour tout r´eelλ. Voici d"autres pro- pri´et´es. Proposition 3.2 (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz)SoitEun espace vec-
toriel r´eel muni d"un produit scalaire(· | ·),?·?la norme euclidienne associ´ee.Alors pour tousxetydeEon a
L"´egalit´e a lieu si et seulement sixetysont colin´eaires.Proposition 3.3 (In´egalit´e triangulaire)
SoitEun espace vectoriel r´eel
muni d"un produit scalaire(· | ·),? · ?la norme euclidienne associ´ee. Alors pour tousxetydeEon a L"´egalit´e a lieu si et seulement siy= 0ou s"il existe un r´eelt≥0tel que x=ty.3.2 Orthogonalit´e, base orthonormale
Un produit scalaire est une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee. Dans un espace euclidienEon a donc dimF+ dimF?= dimEpour tout sous-espaceE. Mais on a mieux :Proposition 3.4
SoitEun espace euclidien,Fun sous-espace deE. L"or- thogonalF?deFpour le produit scalaire est un suppl´ementaire deFdans E. On l"appelle le suppl´ementaire orthogonal deFdansE. On reprend la d´efinition de base orthogonale d´ej`a vue pour une forme bi- lin´eaire sym´etrique et on la compl`ete.D´efinition 3.5
SoitEun espace euclidien de dimensionn. Une base
(e1,...,en)deEest diteorthogonalequand(ei|ej) = 0pour tousi?=j. Elle est diteorthonormalesi en plus?ei?= 1pouri= 1,...,n.3.2. ORTHOGONALIT
´E, BASE ORTHONORMALE17
L? ??∫? ?e1,...,en) est orthonormale si et seulement si la matrice du produit scalaire dans cette base est la matrice identit´eIn, ou encore si et seulement si le produit scalaire de deux vecteursx=Pn i=1xieiety=Pn i=1yieiest donn´e par (x|y) =Pn i=1xiyi. peut en faire une base orthonormale en rempla¸canteipar1 ?ei?ei. On obtient donc :Proposition 3.6
Tout espace euclidien admet une base orthonormale. Grˆace `a cette proposition, on voit comment l"´etude d"un espace euclidien de dimensionnse ram`ene `a celle deRnavec son produit scalaire usuel. Proposition 3.7 (Proc´ed´e d"orthogonalisation de Gram-Schmidt) Soit(e1,...,en)une base quelconque d"un espace euclidienE. Alors on peut fabriquer par r´ecurrence une base orthogonale(ε1,...,εn)deEde la forme 1=e12=e2-λ1,2ε1...
i=ei-Pi-1 j=1λj,iεj... n=en-Pn-1 j=1λj,nεj en prenantλj,i=(εj|ei) ?εj?2. On aVect(e1,...,ei) = Vect(ε1,...,εi)pour i= 1,...,n.Proposition 3.8
SoitEun espace vectoriel r´eel muni d"un produit scalaire (· | ·), et soitFun sous-espace de dimension finie deE. Pour toutx?E, il existe un uniquepF(x)?Ftel quex-p(x)est orthogonal `aF. L"application pF:E-→E
x?-→pF(x) est un endomorphisme lin´eaire. Cet endomorphismepFs"appelle laprojec- tion orthogonale surF.18CHAPITRE 3. ESPACES EUCLIDIENS
Si (e1,...,er) est une base orthogonale deF, alors pF(x) =rX
i=1(ei|x) ?ei?2ei.3.3 Endomorphismes d"un espace euclidien
Dans toute cette section,Eest un espace euclidien, (· | ·) son produit scalaire et? · ?sa norme euclidienne.Proposition 3.9
Soitfun endomorphisme deE. Pour toutx?E, il existe un uniquef?(x)?Etel que, pour toutydeE, on a (f?(x)|y) = (x|f(y)). L"applicationf?:E→Eest un endomorphisme lin´eaire Cet endomorphisme f ?s"appellel"adjoint def. SiEest une base orthonormale deE, la matrice def?dans la baseEest la transpos´ee de la matrice defdans la baseE.D´efinition 3.10
Un endomorphisme d"un espace euclidien est ditsym´etri- que(ouautoadjoint) s"il est ´egal `a son adjoint. SiEest une base orthonormale de l"espace euclidienE, un endomor- phisme deEest sym´etrique si et seulement si sa matrice dans la baseEest sym´etrique.Proposition 3.11
Soitfun endomorphisme deE. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : 1.P??? ???∫x,ydeE, on a(f(x)|f(y)) = (x|y).
2.P??? ????xdeE, on a?f(x)?=?x?.
3. f ?f= IdE. U\endomorphisme orthogonaldeEest un endomorphisme qui v´erifie ces propri´et´es. Les endomorphismes orthogonaux forment un groupe, appel´e le groupe orthogonal deE.Exemple : les sym´etries orthogonales.
D´efinition 3.12
Une matriceM? Mn(R)est dite orthogonale sitM M=
I n. Les matrices orthogonales forment un sous-groupe du groupe lin´eaire, appel´e groupe orthogonal et not´eO(n,R).3.3. ENDOMORPHISMES D"UN ESPACE EUCLIDIEN19
S???E= (e1,...,en) une base orthonormale deE. Alors un endomor- phismefdeEest orthogonal si et seulement si (f(e1),...,f(en)) est une base orthonormale deE, et si et seulement si sa matrice dans la baseEest orthogonale.Proposition 3.13
Les endomorphismes orthogonaux (les matrices orthogo- nales) ont un d´eterminant ´egal `a1ou-1. Ceux (celles) de d´eterminant1 forment un sous-groupe du groupe orthogonal appel´e groupe sp´ecial orthogo- nal. Dans le cas des matrices, on le noteSO(n,R) Etude des groupes orthogonaux en dimension 2 et 3.Proposition 3.14
SoitEun plan euclidien.
1. S???(e1,e2)une base orthonormale deE, etfun endomorphisme or- thogonal deEde d´eterminant1. Alors il existe un r´eelθtel que la matrice defsoitµcosθ-sinθ (rotation d"angleθ). 2. S???fun endomorphisme orthogonal deEde d´eterminant-1. Alors il existe une base orthonormale(e1,e2)deEtelle que la matrice de fdans cette base soitµ1 0 (sym´etrie orthogonale par rapport `a une droite).Proposition 3.15
SoitEun espace euclidien de dimension 3,fun endo-
morphisme orthogonal deE. Alors il existe une base orthonormale(e1,e2,e3) deEtelle que la matrice defdans cette base soit0 @ε0 00 cosθ-sinθ
0 sinθcosθ1
A , o`u θest un nombre r´eel etε= 1(resp.-1) sidetf= 1(resp.-1). Dans le cas detf= 1,fest l"identit´e ou la rotation d"axe la droite engendr´ee pare1et d"angle g´eom´etriqueθ. Dans le casdetf=-1, c"est une sym´etrie orthogo- nale par rapport `a un plan, ou une telle symetrie suivie d"une rotation d"axe perpendiculaire au plan Dans le cas d"une rotationf(d´eterminant 1, diff´erente de l"identit´e), l"axe est la droite vectorielle propre defassoci´ee `a la valeur propre 1, et l"angle g´eom´etriqueθde la rotation est d´etermin´e par 1 + 2cos(θ) = trace(f).20CHAPITRE 3. ESPACES EUCLIDIENS
3.4 Diagonalisation des endomorphismes sy-
m´etriquesTh´eor`eme 3.16
Soitfun endomorphisme sym´etrique d"un espace euclidien E. Alors il existe une base orthonormale deEdans laquelle la matrice def est diagonale. D????\∫??????\¬On admet le lemme qui dit qu"un endomorphisme sym´etrique a ses valeurs propres r´eelles (ce lemme sera d´emontr´e au prochain chapitre). E. Pourn= 1, il n"y a rien `a d´emontrer. Supposons alorsn >1 et le r´esultat ´etabli pour un endomorphisme sym´etrique d"un espace euclidien de dimensionn-1. Soitλune valeur propre r´eelle def, etun?Eun vecteur propre de valeur propre associ´eeλ. On peut supposerunde norme 1, quitte `a le diviser par sa norme. L"hyperplanu?northogonal deunest stable parf.En effet, sixappartient `au?n, alors
(f(x)|un) = (x|f(un)) = (x|λun) =λ(x|un) = 0, et doncf(x) appartient aussi `au?n. O\ ⎷??? ??\? ??\∫??????? ?? ??∫???????\f|u?n:u?n→u?n. Le produit scalaire surEinduit une structure d"espace euclidien suru?n, pour laquellef|u?nest un endomorphisme sym´etrique. D"apr`es l"hypoth`ese de r´ecurrence, il existe une base orthonormale (u1,...,un-1) deu?nform´ee de vecteurs propres de f|u?n. Alors (u1,...,un) est une base orthonormale deEform´ee de vecteurs En termes de matrices, le th´eor`eme se traduit ainsi :Th´eor`eme 3.17
SoitMune matrice sym´etrique r´eelle de taillen. Alors il existe une matrice orthogonaleUtelle quetU M U=U-1M Usoit diagonale. On peut tirer quelques cons´equences de ce th´eor`eme. S?Mest une matrice sym´etrique. Il existe une matrice diagonaleDet une matrice orthogonaleUtelle queD=tU M U=U-1M U. La matriceD est congruente `aM, et doncDetMont mˆeme signature. La signature de Dest le couple form´e de son nombre de coefficients diagonaux strictement positifs et de son nombre de coefficients diagonaux strictement n´egatifs. Or les coefficients diagonaux deDsont les valeurs propres deM. Par cons´equent :Corollaire 3.18
SoitMune matrice sym´etrique. La signature deMest ´egale au couple form´e du nombre de ses valeurs propres strictement positives3.4. DIAGONALISATION DES ENDOMORPHISMES SYM
´ETRIQUES21
et du nombre de ses valeurs propres strictement n´egatives (valeurs propres compt´ees avec multiplicit´e). Exemple : Consid´erons la matrice sym´etrique de taillen >1 : M=0 BBB@0 1...1
1 0 ...............11...1 01
C CCA. ClairementM+Inest de rang 1, donc-1 est valeur propre de multiplicit´e au moinsn-1. Comme la trace deMest nulle,-1 est valeur propre de multiplicit´e exactementn-1 et l"autre valeur propre deMestn-1. Donc la signature deMest ((1,n-1).Corollaire 3.19
SoitEun espace euclidien etqune forme quadratique sur E. Alors il existe une base orthonormale deEqui est aussi orthogonale pour q. D????\∫??????\¬SoitEune base orthonormale deEetMla matrice deq dans la baseE. Il existe une matrice orthogonaleUtelle queD=tU M U soit diagonale. La matriceUest la matrice de passage `a une nouvelle base orthonormaleE?deE. La matrice deqdans la baseE?estD, et donc cettequotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] forme bilinéaire non dégénérée
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