Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
En dimension finie une forme bilinéaire symétrique b sur E ×E est donc non dégénérée si et seulement si sa matrice dans une base de E est inversible.
Université Claude Bernard Lyon 1 Licence Sciences
DEFINITION 3 : FORME BILINEAIRE SYMETRIQUE ANTISYMETRIQUE ET ALTERNEE b forme bilinéaire sur E. On dit que b est : ? Symétrique : Si ( ) ( ). ?
Math-IV-algèbre Formes (bi)linéaires
Proposition 3.5.1 Si E et F sont de dimension finie si B : E × F ? K est une forme bilinéaire non dégénérée
V-formes-quadratiques.pdf
Il existe des formes bilinéaires non dégénérées ayant une forme quadratique non définie. Par exemple si E = R2
ALGÈBRE BILINÉAIRE Table des matières 1. Formes quadratiques
13 déc. 2019 ?x y ? E
Formes bilinéaires et quadratiques - Formes sesquilinéaires et
On l'ap- pelle le rang de la forme bilinéaire b (resp. de la forme quadratique associée). Lorsque b est non dégénérée (i.e. de rang n
Formes quadratiques groupe orthogonal
Un plan hyperbolique est un espace vectoriel P de dimension 2 muni d'une forme bilinéaire symétrique b non dégénérée
UNE BREVE HISTOIRE DES FORMES BILINEAIRES 1
les formes quadratiques avant les formes bilinéaires c'est l'approche
Panorama sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques
On dit qu'elle est non-dégénérée si i? est bijective cela équivaut `a ce que j? le soit. On appelle rang (resp. noyau) de ? celui de i?
Espaces hyperboliques
formes bilinéaire symétrique non dégénérée qui se décompose en somme directe de deux sous-modules totalement isotropes. PROPOSITION 1.
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En dimension finie une forme bilinéaire symétrique b sur E ×E est donc non dégénérée si et seulement si sa matrice dans une base de E est inversible
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On l'ap- pelle le rang de la forme bilinéaire b (resp de la forme quadratique associée) Lorsque b est non dégénérée (i e de rang n i e de noyau
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Proposition 6 1 1 Une forme bilinéaire est non dégénérée si et seulement si sa matrice dans une base quelconque de E est inversible Exercice 13 Montrer qu'en
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Remarque : ? La restriction d'une forme bilinéaire régulière à un ss-espace vectoriel de E peut être dégénérée ? SI b est non dégénérée : L'application
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13 déc 2019 · Soit b une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E et F ? E un sous-espace Alors dim E = dim F + dim F? Preuve
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Une fbs/fq de rang n est dite non dégénérée III Cas des réels : positivité • Définition : Soit R ? EQ : une forme quadratique sur le R-ev E
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— Toute forme quadratique non nulle q sur un K-espace vectoriel E de dimension 2 peut s'écrire sous la forme q = ?l où ? est un scalaire non nul et l une forme
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Nous définissons de même non dégénérée à droite et non dégénérée (à doite et à gauche) Dimension finie : représentation matricielle des formes bilinéaires II
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Polarité Dans ce paragraphe on fixe une forme quadratique non dégénérée q sur l'espace vectoriel E de forme polaire b Soient ?
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2 4 Formes non dégénérées 2 4 1 Théor`eme Soit f une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un K-espace vectoriel E de dimension finie
Universit´e de NiceAnn´ee 2006-2007
Pr´eparation `a l"Agr´egation Externe de Math´ematiquesAlg`ebre et G´eom´etrie
Panorama sur les formes bilin´eaires et les formes quadratiquesSoitEun espace vectoriel de dimension finie sur un corpsK, de caract´eristique diff´erente de 2.
Sauf mention du contraire, les formes bilin´eaires et quadratiques consid´er´ees ont pour espace
de d´epartE. On ne traite pas ici du contexte euclidien, ni des th´eor`emes de cor´eduction.
1. Formes bilin´eaires
D´efinition 1Une applicationφ:E×E→Kest ditebilin´eairesiiφ:x?→(y?→φ(x,y))est `a
valeurs dansE?et lin´eaire surE, ce qui ´equivaut `a ce quejφ:x?→(y?→φ(y,x))le soit.
On dit queφestsym´etrique(resp.antisym´etrique, oualtern´ee) siiφ=jφ(resp.iφ=-jφ).
On dit qu"elle estnon-d´eg´en´er´eesiiφest bijective, cela ´equivaut `a ce quejφle soit. On appelle
rang(resp.noyau) deφcelui deiφ, qui est ´egal `a celui dejφ(resp. siφest sym´etrique ou
antisym´etrique). La matrice d"une forme bilin´eaire sur une base(ei)deEest celle dejφdans les base(ei) et(e?i). Elle est sym´etrique (resp. antisym´etrique) si et seulement siφl"est. Lemme 2L"espace des formes bilin´eaires est somme directe de celuides formes sym´etriques et de celui des formes antisym´etriques.D´efinition 3Siφest sym´etrique ou antisym´etrique, alors on d´efinit l"orthogonal d"une partie
AdeEcomme ´etant l"orthogonal deiφ(A) =jφ(A)?E?. Une base est diteorthogonalesi deux vecteurs distincts la composant sont orthogonaux.Lemme 4Siφest non-d´eg´en´er´ee, l"orthogonalit´e d´efinit une involution d´ecroissante de l"en-
semble des sous-espaces de dimensionrdeEdans celui des sous-espaces de dimensiondimE-r. Lemme 5Toute forme bilin´eaireφsym´etrique ou antisym´etrique induit surE/kerφune forme bilin´eaire non-d´eg´en´er´ee.2. R´eduction des formes bilin´eaires sym´etriques et antisym´etriques
Th´eor`eme 6Toute forme bilin´eaire sym´etrique admet une base orthogonale. Corollaire 7Si tout ´el´ement deKadmet une racine carr´ee dansK(en particulier siK=C),alors toute forme bilin´eaire sym´etrique et non-d´eg´en´er´ee admet une base orthonormale.
Corollaire 8SiK=R, alors toute forme bilin´eaire sym´etriqueφadmet pour matrice sur une base adapt´ee une matrice diagonale dont les coefficients valent1,-1ou0. On appellesignature deφle couple(r,s), o`ur(resp.s) est le nombre de coefficients diagonaux ´egaux `a1(resp.-1), elle est ind´ependante de la base choisie. que(ei)i≥2p+1est une base dekerφ.Corollaire 10S"il existe une forme quadratique antisym´etrique non-d´eg´en´er´ee surEalors
dimEest paire.3. Formes quadratiques et r´eduction des formes quadratiques
D´efinition 11On appelleforme quadratiquetoute fonctionqdeEdansKtelle qu"il existeune forme bilin´eaireφv´erifiantq(x) =φ(x,x)pour toutx?E. On dit alors queqestattach´ee
`aφ. La forme quadratique attach´ee `a une forme antisym´etrique est nulle. On appelleforme polairede la forme quadratiqueql"unique forme bilin´eaire sym´etriqueφ`a laquelleqest attach´ee. On dit queqestnon-d´eg´en´er´eesiφl"est; on appellenoyau(resp.
rang) deqcelui deφ; on dit que deux vecteurs sontorthogonauxpourqs"il le sont pourφ; siK=R, on appellesignaturedeqcelle deφ.
On appellevecteur isotropede la forme quadratiqueqtout vecteur sur lequelqs"annule.On appellecˆone isotropel"ensemble des vecteurs isotropes. On dit queqestd´efiniesi son cˆone
isotrope est nul. On dit d"un sous-espaceFdeEqu"il esttotalement isotropesi la restriction deq`aFest nulle.Lemme 12Siqest une forme quadratique d´efinie et non-d´eg´en´er´ee, alors elle v´erifieF??F=
Epour tout sous-espaceFdeE.
Th´eor`eme 13Toute forme quadratique de rangpest une combinaison lin´eaire depcarr´es de formes lin´eaire lin´eairement ind´ependantes. Corollaire 14Si tout ´el´ement deKadmet une racine carr´ee dansK(en particulier siK= C), alors toute forme quadratique de rangpest une somme de carr´es depformes lin´eaire lin´eairement ind´ependantes. Corollaire 15SiK=R, alors toute forme quadratique de rangpest une combinaison lin´eaire,de coefficients dans±1, depcarr´es de formes lin´eaires lin´eairement ind´ependantes. La signature
(r,s)deqest telle quer(resp.s) est le nombre de carr´es affect´es de coefficients1(resp.-1).En particulier, une telle forme est d´efinie si elle est d"unepart non-d´eg´en´er´ee et d"autre part
soit positive, soit n´egative. Elle admet une base orthonormale si et seulement si elle est d´efinie
positive.4. Isotropie
Th´eor`eme 16Toute forme quadratique admet un sous-espace totalement isotrope maximal et tous les sous-espaces totalement isotropes maximaux ont mˆeme dimension. Corollaire 17Soitqune forme quadratique non-d´eg´en´er´ee. AlorsEest la somme directe de trois sous-espacesE1,E2etE3, o`uE1etE2sont totalement isotropes,iφ:E1→E?2est bijective, E1etE2sont orthogonaux `aE3etqrestreinte `aE3est d´efinie.
Corollaire 18SiK=R, et siqest non-d´eg´en´er´ee, la dimension des sous-espaces totalement
isotrope maximaux pourqestmin{r,s}, o`u(r,s)est la signature deq. SiK=C, la dimension des sous-espaces totalement isotropes est la partie enti`ere dedimE/2.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13[PDF] forme bilinéaire antisymétrique
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